数论提升到第4级-在线设置1题

这一系列的问题帮助你理解如何解决关于丢番图方程的四级问题:

有多少个正整数的有序四倍 $(w x y z)$ 是否存在这样的情况 $w != x !+ y !+ z !\四吗?$

第一步:理解问题——定义术语

下列哪个是正整数的有序四重组满足这个条件

$w != x !+ y !+ z !\四吗?$

(w,x,y,z) =(3,2,2,2)

(w,x,y,z) =(2,3,2,2)

(w,x,y,z) =(3,2)

(w,x,y,z) =(3,2,1,0)

步骤2:收集信息——尝试小案例

开始的一个好方法是测试小案例，看看我们是否可以推断出更多的信息，甚至找到解决方案!

这个方程有正整数解吗

$w != x !+ y !+ z !$

在这种情况下 $W = 1?$

第三步:收集信息——尝试小案例

在前面的步骤中，我们检查了 $W = 1。$ 当我们处理右边的变量时会发生什么?因为变量是对称的，所以我们测试哪一个并不重要。

什么时候有正整数解吗 $Z = 2$ 这个方程

$w != x !+ y !+ z !\四吗?$

第四步:回顾——解释观察结果

让我们回顾并说出在第二步和第三步中所学的内容。

哪个变量，当值固定时，允许我们检查有限多个情况，以确定是否有一个解决方案

$w != x !+ y !+ z !\四吗?$

w

中的任何一个

x, y,

或

z

都不是，我们总是要检查无穷多个情况

第五步:制定计划——探索想法

从第4步开始，我们要考虑限制值时会发生什么 $w$ ．我们已经考虑过这种情况了 $W = 1$ 很小。让我们考虑更大的值会发生什么 $w$ ．

通过数值测试，有多少正整数解 $w != x !+ y !+ z !$ 与 $W = 4$ ?

第六步:回顾——解释观察结果

下面哪一项是对为什么没有解的最好解释 $W = 4$ 这个方程

$w != x !+ y !+ z !\四吗?$

自

x, y, z \ leq 3,

x + y ! + z !\leq 3\乘3!

自

w > 3,

x + y ! + z ! > 3 !

自

x, y, z \组1,

x + y ! + z !\组3

自

w = 4,

x + y ! + z ! = 4 !

第七步:整合信息

鉴于 $W \geq$ ，有多少个正整数解

$w != x !+ y !+ z !$

第八步:把它们放在一起——回答问题

有多少个正整数的有序四倍 $(w x y z)$ 是否存在这样的情况 $w != x !+ y !+ z !\四吗?$

数论提高到第4级-设置1