芝诺悖论

芝诺悖论是古老的悖论在数学和物理上。芝诺的悖论通过看似分析性的论证，旨在反驳一些常识性的结论，如“不止一种东西存在”或“运动是可能的”。许多这样的悖论都涉及到无限和利用反证法质疑或反驳这些常识性的结论

在许多情况下，这些悖论几个世纪都没有解决，或者其解决方案仍在争论中。一般来说,极限的ε - δ定义证明了无穷级数可以产生有限的结果，并为否定这些悖论提供了基础。接下来的问题被称为1954年发明的汤普森之灯(Thompson’s lamp)，它是这些悖论长期存在的证据。芝诺悖论在2400多年来一直是数学讨论的一部分。

运动是不可能的。 $_ \广场$

发展版本：

假设从A到B的路径长度为单位。
要从A地走到B地，他必须先走一半的距离。
他跑完一半的距离后，还必须跑剩下的一半距离，也就是四分之一。
然后，他还必须跑完这段距离的一半无限．
因此，运动是不可能的，原因如下:

• 任务的数量是无限的。
• 没有明确的最后一步。 $_ \广场$

回归版本：

要完成从A点到B点的旅行，他必须走一个单位距离。
但在那之前，他必须先跑完一半的距离，甚至在那一半之前那距离。
因此，运动一定是不可能的，因为

• 那将是无穷无尽的任务;
• 没有确定的第一步。 $_ \广场$

运动是不可能的。 $_ \广场$

假设一支箭从A射到B。
考虑任何即时。
因为在这一瞬间没有时间流逝，所以箭在运动过程中不会移动。
但是整个飞行过程都是由实例组成的。
因此，箭一定没有移动。 $_ \广场$

古代跑得最快的人阿喀琉斯在比赛中无法在乌龟领先的情况下超过乌龟。 $_ \广场$

构建 $x$-轴沿着跑道。

假设一开始阿喀琉斯在 $从$乌龟在 $x_1$这样 $从$在的左边 $x_1。$
对所有 $n \组1$当阿喀琉斯在 $x_n$，乌龟在 $间{n + 1}$,在那里 $x_n$在的左边 $间{n + 1}$阿喀琉斯在这中间的任何一点都没有超过乌龟 $间{n}$而且 $x_n$．
因此，阿喀琉斯不能超过乌龟，因为

• 那要花太长时间;
• 那将是无穷无尽的任务;
• 没有 $n$在哪里 $x_n$在的左边 $间{n}。$ $_ \广场$

看到∞进行严格的治疗。

在进一步深入探究芝诺的运动悖论之前，我们需要注意到，最基本的问题来自于无限除法与无限计数的问题。

为了理解这是怎么回事，我们将无限集分为两种类型:

• 可数无限:可被枚举的无限集合
• 不可数无限:一个不能被枚举的无限集合。

它可以被严格地证明连续或者说无限可分集实际上是无限的，空间和时间就是这样的(至少在经典物理学中是这样的或与这个问题相关)。事实上，连续体是真正分析的核心。

芝诺论证的主要谬误之一是，他实质上试图将空间和时间分解为离散的组成部分，从而列举出它们，这是对这种连续的对象无法做到的。

因此,问第一步是什么只要空间和时间是连续的就不是一个有效的问题。

请注意，我们有可能完成无数个任务，因为时间和空间一样，也是连续的。

看到序列的收敛性严格的治疗。

芝诺经常声称，运动永远不可能完成，因为阿喀琉斯必须移动无限多的积极步骤。

虽然步数是无限的，但它们的和仍然受有限的步数的限制，这就是我们所说的级数收敛。

对于任何 $n$， $\ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {n} \离开(\压裂{1}{2}\右)^我$等于 $左(1 - \ \压裂{1}{2}\右)^ n,$这告诉我们级数收敛于 $1.$

看到极限的ε - delta定义进行严格的治疗。

如你所料，这个阿罗悖论是一个除以0的问题。

首先，芝诺定义物体在运动时 $v = \frac{\Delta s}{\Delta t}$是正的。然后，他断言 ${\δs}$是零在瞬间，和索赔 $v$是零，这很荒谬。

解决办法是用 $v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t}，$这意味着 $v$是当有关的持续时间减少到零时，平均速度所接近的值。

正如拉塞尔所说，没有运动持续时间较短。相反，运动必须用它们的速度来描述。注意，我们对速度的新定义允许我们定义an处的速度即时．

一半的持续时间等于两倍的持续时间。 $_ \广场$

性病悖论

假设A、B和C是如图所示的大小相等的物体。
当A的行静止不动时，B和C的行以相同的速度分别向右和向左移动。
当最右边的B穿过1a时，它实际上穿过2c。
因为A和C的长度相等，所以一个给定持续时间的一半等于这个持续时间的两倍。 $_ \广场$

这里的谬误是，运动的物体不会以相同的速度超过静止的物体和运动的物体。

这是相对速度概念的关键。如果B和C的速度是 $v$，则其中一个相对于另一个的相对速度为 $2 v$，从而解决了这个悖论。