什么时候极限存在?gydF4y2Ba

的gydF4y2Ba限制gydF4y2Ba函数的是微积分中的一个基本概念。当极限存在时，gydF4y2Ba极限的定义gydF4y2Ba和它的基本gydF4y2Ba属性gydF4y2Ba是可以用来计算它的工具。本维基的重点将放在函数的极限是如何实现的gydF4y2Ba失败gydF4y2Ba存在于某一给定点，即使函数被定义在该点的邻域内。gydF4y2Ba

函数的极限不存在的一种常见情况是gydF4y2Ba片面的限制gydF4y2Ba存在与不平等:函数在这一点上“跳跃”。gydF4y2Ba

的极限gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$在gydF4y2Ba $从gydF4y2Ba$不存在。gydF4y2Ba^[1]gydF4y2Ba

函数的gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$在图中，片面的限制gydF4y2Ba $\ lim \ limits_ {x \ x_0 ^ -} f (x)gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $lim \ \ limits_ {x \ x_0 ^ +} f (x)gydF4y2Ba$两者都存在，但不相同，这是(双边)极限存在的必要条件。通常是这样写的gydF4y2Ba

$\lim_{x \to x_0} f(x) = \text{DNE}，gydF4y2Ba$

其中“DNE”代表“不存在”。gydF4y2Ba

另一种不存在极限的常见情况涉及函数“blow up”togydF4y2Ba $\ inftygydF4y2Ba$或gydF4y2Ba $- - - - - - \ infty。gydF4y2Ba$该图的特征是在点有一条垂直渐近线gydF4y2Ba $x = 0:gydF4y2Ba$

片面的限制gydF4y2Ba $f (x) = \ frac1xgydF4y2Ba$在gydF4y2Ba $x = 0gydF4y2Ba$不存在。gydF4y2Ba^{[２]gydF4y2Ba}

虽然这样说是正确的gydF4y2Ba $lim \ \ limits_ {x \ 0 ^ -} \ frac1 {x}gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $lim \ \ limits_ {x \ 0 ^ +} \ frac1 {x}gydF4y2Ba$不存在，在这种情况下，极限通常被写成gydF4y2Ba

$\ lim_ {x \ 0 ^ -} \ frac1 {x} = -文本{和}\ infty \ qquad \ \ qquad \ lim_ {x \ 0 ^ +} \ frac1 {x} = \ infty。gydF4y2Ba$

这是一种标准的表示法，它的好处是更具体地说明了这些极限不存在的情况。有关正式定义，请参见gydF4y2Ba无限的限制gydF4y2Ba部分。gydF4y2Ba

当单侧极限以同样的方式膨胀时，这可以缩短为一个单侧极限，例如:gydF4y2Ba

$\ lim_ {x \ 0 ^ -} \ frac1 {x ^ 2} ={和}\ \ infty \ qquad \文本qquad \ lim_ {x \ 0 ^ +} \ frac1 {x ^ 2} = \ infty。gydF4y2Ba$

所以,gydF4y2Ba

$\lim_{x\to 0} \frac1{x^2} = \infty，gydF4y2Ba$

但是应该强调的是gydF4y2Ba $x \ \ lim \ limits_ {0} \ frac1 {x ^ 2}gydF4y2Ba$不存在;gydF4y2Ba说它“等于。gydF4y2Ba $\ inftygydF4y2Ba$只是一种描述为什么它不存在的方式。gydF4y2Ba

第三类给出不存在极限的函数是最奇特的。如果gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$不跳还是不炸gydF4y2Ba $从gydF4y2Ba$但gydF4y2Ba $lim \ \ limits_ {x \ x_0} f (x)gydF4y2Ba$不存在，大概的情况是这样的gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$取多个彼此相距很远的值，即使它的参数越来越接近gydF4y2Ba $从。gydF4y2Ba$

标准的例子是gydF4y2Ba $F (x) = \sin \frac1xgydF4y2Ba$附近gydF4y2Ba $从= 0。gydF4y2Ba$

这个函数gydF4y2Ba $\ \ frac1x罪gydF4y2Ba$当它接近0时振荡无限次。gydF4y2Ba^[3]gydF4y2Ba

如果gydF4y2Ba $\lim\limits_{x\to 0^+} \sin \frac1x = LgydF4y2Ba$对一些人来说是真的gydF4y2Ba $lgydF4y2Ba$那么极限的定义就意味着存在一个开区间gydF4y2Ba $(0 \δ)gydF4y2Ba$的价值gydF4y2Ba $\ \ frac1x罪gydF4y2Ba$为gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$在这段时间内，gydF4y2Ba $0．1gydF4y2Ba$的gydF4y2Ba $lgydF4y2Ba$但无论多小gydF4y2Ba $\δgydF4y2Ba$可能吧，那就得控制住gydF4y2Ba $x_1 = \ frac1 {2 n \π}gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $x_2 = \ frac1{\大(2 n + \ frac12 \大)\π}gydF4y2Ba$对于一些足够大的gydF4y2Ba $N。gydF4y2Ba$自gydF4y2Ba $\sin \frac1{x_1} = 0gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $\sin \frac1{x_2} = 1，gydF4y2Ba$这是一个矛盾。gydF4y2Ba

值得强调的是，上面的例子都是函数gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$在这个点周围的开区间的每一点上都有定义gydF4y2Ba $从gydF4y2Ba$有疑问，除了可能gydF4y2Ba $从gydF4y2Ba$本身。还有其他一些函数的例子它们没有双边极限gydF4y2Ba $从gydF4y2Ba$因为这个假设是失败的。gydF4y2Ba

$x \ \ lim \ limits_ {0} \ sqrt {x}gydF4y2Ba$不存在的原因很简单gydF4y2Ba $\ sqrt {x}gydF4y2Ba$没有定义在任何开区间包含gydF4y2Ba $0，gydF4y2Ba$因为定义域是gydF4y2Ba $[0 \ infty)。gydF4y2Ba$

$x = 0gydF4y2Ba$定义域的端点为gydF4y2Ba $f (x) = \ sqrt {x}。gydF4y2Ba$^[4]gydF4y2Ba

1. Alexandrov, O。gydF4y2Ba不连续gydF4y2Ba．检索自2005年9月12日gydF4y2Bahttps://commons.wikimedia.org/wiki/File:Discontinuity_jump.eps.pnggydF4y2Ba
2. 理查兹,G。gydF4y2Ba等轴双曲线gydF4y2Ba．2008年7月2日，从gydF4y2Bahttps://commons.wikimedia.org/wiki/File:Rectangular_hyperbola.svggydF4y2Ba
3. 托马,M。gydF4y2Ba罪(1 / x)gydF4y2Ba．2012年9月18日，从gydF4y2Bahttps://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sin%281x%29.svggydF4y2Ba
4. 理查兹,G。gydF4y2Ba平方根gydF4y2Ba．2008年7月2日，从gydF4y2Bahttps://commons.wikimedia.org/wiki/File:Square_root_0_25.svggydF4y2Ba