能量守恒gydF4y2Ba
物理学中一些伟大的工具是所谓的“守恒定律”,它用某些在整个时间内保持不变的量来支持运动定律。在这些伟大的定律中,能量守恒定律指出,虽然能量可以改变形式,但它不能被创造或毁灭。gydF4y2Ba
在这里,我们将探讨动能和势能之间的分配,以及能量如何在某种意义上取代我们计算中的力。最后,我们介绍了物理的形式化方法,这些方法仅从能量的角度来分析系统的动态行为,从而完全取代了必须分析力的必要性。这种方法在凝聚态系统、量子场论和其他远远超出基本经典力学的问题中起着主导作用。gydF4y2Ba
内容gydF4y2Ba
动能守恒gydF4y2Ba
对于一个骑自行车的人来说,他们的动能gydF4y2Ba 等于从刹车到休息这段时间所散发的热量。如果他们不打滑,大部分的热量会加热刹车片和车轮的金属边缘。如果他们打滑,大部分的热量会进入轮胎中的橡胶和道路。在他们拉动刹车之前,这种能量可以观察到自行车部件的持续运动,即自行车的净向前运动和车轮的旋转。gydF4y2Ba
粒子还有其他形式的能量,比如引力势能,化学势能,电势能,弹簧势能等等,但动能是物体能量中明显来自于其持续运动的那部分。对于有质量的点粒子gydF4y2Ba ,以速度移动gydF4y2Ba 时,动能由公式给出gydF4y2Ba ,任何延伸物体的动能都可以由此建立起来。如果一个运动物体与另一个物体碰撞,并且没有耗散(没有热量释放,没有化学键重排等),那么碰撞后物体的总动能一定等于碰撞前运动物体的动能。gydF4y2Ba
在牛顿的gydF4y2Ba数学原理gydF4y2Ba,动量被定义并被认为是守恒的,但在他的论文中没有任何地方提到能量。牛顿能够计算出行星的椭圆轨道,而完全不需要参考能量。然而,如果我们从动量守恒的假设出发,我们就能推导出动能守恒,从而得到牛顿理论中隐藏的结构。gydF4y2Ba
桌子上碰撞的球gydF4y2Ba
考虑一个质量球gydF4y2Ba 有速度运动gydF4y2Ba 在静止质量球的方向上gydF4y2Ba .让两个球碰撞后的速度为gydF4y2Ba 而且gydF4y2Ba 分别。此外,假设碰撞是弹性的,即接近的相对速度与分离的相对速度相等且相反,即。gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
因此,随着动量守恒,我们有gydF4y2Ba
解这两个方程gydF4y2Ba 而且gydF4y2Ba 我们发现gydF4y2Ba
现在让我们计算初始动能和最终动能gydF4y2Ba 对于每个球gydF4y2Ba
使用的值gydF4y2Ba 而且gydF4y2Ba 从上面我们发现(经过一些乏味的代数运算)gydF4y2Ba
因此,弹性碰撞的总动能是守恒的。gydF4y2Ba
碰撞的时候呢?想象一下,我们有两个相同的球,以相等但相反的速度加速碰撞。有那么一瞬间,两个球都不动了。那么在这一时刻,球的动能去了哪里?gydF4y2Ba
两个球的碰撞不是瞬间发生的。在短时间内,球的动能被储存为弹性势能,之后重新分配以恢复球的原始动能。弹性能是储存在变形物体中的势能,例如弹性弹簧的压缩。在任何时候,球的运动势能和弹性势能的总和是恒定的。有关弹性碰撞的更多信息,请参见gydF4y2Ba弹性碰撞分析gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
在前面的例子中,我们看到在弹性碰撞中能量守恒失效了。当一个物体被引力场加速时呢?如果没有对势能的详细理解,我们能确定与动能交换的量吗?下面,我们分析一个在无摩擦斜坡上滑雪的特别有利可图的例子。gydF4y2Ba
斜面gydF4y2Ba
在恒定加速度下,物体运动一段距离gydF4y2Ba 在时间里gydF4y2Ba .对于在斜面上滑雪的人,这个时间为gydF4y2Ba .而且,滑雪者从坡顶开始休息,就有了速度gydF4y2Ba 在斜坡的底部。gydF4y2Ba
考虑动能的变化gydF4y2Ba .在斜面顶部,这个量等于0,在斜面底部它等于gydF4y2Ba .我们注意到gydF4y2Ba 就是重力的强度乘以滑雪者下降的垂直距离。此外,我们注意到数量gydF4y2Ba 在滑雪者的整个运动过程中,是否有一个常数,即动能与量的交换gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
显然,通过坠落的距离gydF4y2Ba ,滑雪者获得了动能gydF4y2Ba .这表明gydF4y2Ba 等于滑雪者的重力势能,根据滑雪者的垂直位置,可以重新分配为动能。gydF4y2Ba
因此,我们偶然发现了动能和重力势能之间的守恒关系。你可以想象,在这个例子中,守恒是由于系统遵循牛顿第二定律gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
总的来说,我们会看到能量守恒在无数其他情况下都成立。此外,在数个世纪的仔细实验中,从未发现(在宏观系统中)存在违例现象。由于这个原因,能量守恒被提升到定律的地位,也就是说,一个有望适用于宇宙中所有过程的原则。gydF4y2Ba
功能定理gydF4y2Ba
简单地说,工作就是做一些有成效的事情。在物理学中,如果力使物体发生位移,就说做功了。例如,当你在雪地上推雪橇,或者把一桶水提到窗台上,或者给自行车的轮胎打气,你都做了功。这个思想在功的定义中体现出来功是沿位移方向的力乘以位移。数学上,我们可以写下来gydF4y2Ba
在哪里gydF4y2Ba 是力向量和位移向量之间的夹角。gydF4y2Ba
你可以想象,对一个物体做功不仅能改变它的位移,还能改变它的动能。我们再次回到滑雪者在斜坡上的例子,看看这些想法是如何联系起来的。gydF4y2Ba
练习滑雪者gydF4y2Ba
回想一下上面关于滑雪者在斜坡上的结果。现在,考虑工作gydF4y2Ba ,在那里gydF4y2Ba 重力是沿斜面的吗gydF4y2Ba 是沿斜坡行进的距离。与gydF4y2Ba 而且gydF4y2Ba ,我们发现gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
这很奇怪。在下坡时,我们证明滑雪者获得了一定的动能gydF4y2Ba 也等于作用在粒子上的力,和粒子移动的距离的乘积。而且,如果我们把滑雪者以匀速拉上斜坡,他就会获得一定数量的势能gydF4y2Ba .有人可能会假设功向物体传递能量。gydF4y2Ba
的确,在滑雪者下降的过程中,引力场确实作用在滑雪者身上,使他向地球加速,在把他拉上山的过程中,我们确实对引力场做功。对场做功总是可以在以后得到补偿,因此我们说它是储存的动能,或者换句话说,势能。gydF4y2Ba
数学上,我们已经证明了gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
这表明滑雪者在重力作用下的累积拉力以牺牲他的初始势能为代价,产生了粒子的动能。因此,我们既可以把交换看作是引力场对滑雪者做的功,也可以把势能重新分配为动能。gydF4y2Ba
如果这种关系在一般情况下成立,那么它将非常有用,但到目前为止,这只是我们在计算中注意到的一个很好的巧合。接下来,我们将从牛顿定律中寻找一种将其建立在坚实基础上的方法。gydF4y2Ba
牛顿定律:功的基础gydF4y2Ba
根据第二定律,我们在速度变化和合力之间有如下关系(为了简单起见,我们在一维中工作,尽管结果很容易推广):gydF4y2Ba
重新安排,我们有gydF4y2Ba
因为gydF4y2Ba ,我们可以写gydF4y2Ba ,或gydF4y2Ba
这个关系表明,如果物体以速度运动gydF4y2Ba 它被推了一小段距离gydF4y2Ba 与力平行gydF4y2Ba ,它会得到额外的速度gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
在三维空间中,我们的结果是gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
这个关系为我们上面的猜想提供了基础,即力可以做功使粒子具有动能。我们现在可以利用这个关系来证明功-动能定理。gydF4y2Ba
功和动能的关系gydF4y2Ba
功-动能定理gydF4y2Ba
力对物体所做的净功(即功减去对任何外部场所做的功)等于物体的动能变化量:gydF4y2Ba
现在,在你展示证明之前,想想你可以证明这个定理的方法,试着自己证明它,不要担心你不能破解它,因为大多数人不能一次解决它。gydF4y2Ba
证明1gydF4y2Ba:gydF4y2Ba
如果我们把所有的增量推力加起来gydF4y2Ba 粒子在距离上接收到的能量gydF4y2Ba ,我们得到gydF4y2Ba .但是,我们已经证明了这一点gydF4y2Ba ,所以我们有gydF4y2Ba ,速度增量的总和。gydF4y2Ba
现在我们来计算gydF4y2Ba .开始,什么时候gydF4y2Ba 是零,gydF4y2Ba 是零;最后,它等于gydF4y2Ba .如果我们把增量分成gydF4y2Ba 等量的碎片,速度增加gydF4y2Ba 都是由gydF4y2Ba 我们可以把它从和式中提出来这样和式就变成了gydF4y2Ba .假设我们把速度增加除以很多时刻,这样gydF4y2Ba 是很大的,变化很小。gydF4y2Ba
现在,求和gydF4y2Ba 从gydF4y2Ba 来gydF4y2Ba 在gydF4y2Ba 大小相等的块很简单gydF4y2Ba 乘以的平均值gydF4y2Ba 超过范围:gydF4y2Ba
因此,gydF4y2Ba 等于gydF4y2Ba
这意味着gydF4y2Ba
这证明了如果我们作用于一个质量物体gydF4y2Ba 用一种力量gydF4y2Ba 越过一段距离gydF4y2Ba 最终得到一个动能gydF4y2Ba ,其中速度gydF4y2Ba 是由gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
证明2gydF4y2Ba:gydF4y2Ba
我们知道gydF4y2Ba
自gydF4y2Ba 由此可见gydF4y2Ba
这证明了gydF4y2Ba
因此,作用在物体上的力通过一段距离将能量传递给物体,我们称之为量,gydF4y2Ba ,工作。在无摩擦系统中,功等于力引起的能量变化:gydF4y2Ba
更一般地说,功等于能量的变化量加上释放到环境中的热量。gydF4y2Ba
利用势能工作gydF4y2Ba
势能是能量的一种形式,由于一个物体的结构或位置在场。它可以被视为动能的存储形式,因为它可以通过允许物体放松其在场中的位置或配置来转换为动能。例如,如果我们在电场中释放一个先前被限制在某个角度的电偶极子,或者在引力场中掉落一个大质量物体,势能就会通过弛豫转化为运动。gydF4y2Ba
大坝将大量的水储存在相当高的地方。当这些水被释放出来的时候gydF4y2Ba重力势能gydF4y2Ba转化为动能,水流动,进而推动涡轮机产生电能,这些电能可以作为电位能储存在电池中。因此,在缺水的时候,储存在高处的水被用来发电。因此动能可以被捕获,并以各种形式的势能储存起来,以供以后提取。gydF4y2Ba
动能和势能守恒gydF4y2Ba
戈特弗里德·威廉·莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz)在1676-1689年首次尝试定义动能,并注意到对于一些机械系统,它似乎是守恒的。但值得注意的是,法国数学家艾米丽·杜·夏特莱,第一个提出并推导出总动能和势能守恒。她知道艾萨克·牛顿的gydF4y2Ba数学原理gydF4y2Ba并将其翻译成法语,于1749年完成。在翻译的那些年里,她把她对守恒定律的推导作为牛顿论文的补充。不久之后,数学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)和约瑟夫-路易斯·拉格朗日(Joseph-Louis Lagrange)在她的作品的基础上发展了经典力学的数学形式主义。gydF4y2Ba
球gydF4y2Ba
在这个例子中,我们看到下落球的动能和势能的相互作用,当忽略空气阻力时,它们的和是恒定的。gydF4y2Ba
考虑一个质量球gydF4y2Ba 从高处落下的gydF4y2Ba 在地面之上。最初,由于球处于静止状态,它的动能和势能分别为gydF4y2Ba
让gydF4y2Ba 是球在高空时的速度gydF4y2Ba 在地面之上。从第二个运动学方程中gydF4y2Ba .因此,球在高度的动能gydF4y2Ba 是gydF4y2Ba
从势能的表达式,高度的势能gydF4y2Ba 是gydF4y2Ba
因此,能量的和是gydF4y2Ba ,这与初始能量之和相同。gydF4y2Ba
质量振荡的弹簧gydF4y2Ba当一个理想的弹簧被压缩或拉伸一段距离gydF4y2Ba 从弹簧力的原点开始gydF4y2Ba ,弹簧中储存的势能为弹簧常数gydF4y2Ba 它来自于用力压缩弹簧来对抗弹簧力gydF4y2Ba 是gydF4y2Ba
而振动质量的动能gydF4y2Ba 以速度运动gydF4y2Ba 是gydF4y2Ba
它们的和就是总能量gydF4y2Ba .gydF4y2Ba 因为总能量是守恒的gydF4y2Ba,gydF4y2Ba 是常数,所以两边都除以时间gydF4y2Ba ,我们有gydF4y2Ba
化简,我们有gydF4y2Ba
胡克定律说的是弹簧力作用在质量上gydF4y2Ba 在任意一点上等于gydF4y2Ba ,力到原点距离的线性函数gydF4y2Ba 在原点的方向上。这可以用时间来重申gydF4y2Ba
一个gydF4y2Ba 有解的阶微分方程,其中gydF4y2Ba 为常数:gydF4y2Ba
因此,具有振动质量的弹簧具有周期gydF4y2Ba 这是gydF4y2Ba
钟摆gydF4y2Ba
当摆出无质量的臂长gydF4y2Ba 与质量gydF4y2Ba 它的末端是夹角gydF4y2Ba 垂直方向上,重力势能为gydF4y2Ba
而质量的旋转动能gydF4y2Ba 是gydF4y2Ba
它们的和就是总能量gydF4y2Ba .gydF4y2Ba 因为总能量是守恒的gydF4y2Ba,gydF4y2Ba 是常数,所以两边对时间求导gydF4y2Ba ,我们有gydF4y2Ba
作为小的近似值gydF4y2Ba ,我们有gydF4y2Ba
一个gydF4y2Ba 有解的阶微分方程,其中gydF4y2Ba 为常数:gydF4y2Ba
因此,简单的摆,为小gydF4y2Ba ,有一个句号gydF4y2Ba 哪个只依赖于gydF4y2Ba 而且gydF4y2Ba
或者更一般地说,小gydF4y2Ba 但是转动惯量是gydF4y2Ba
在哪里gydF4y2Ba 是从支点到钟摆质心的距离。gydF4y2Ba
比较弹簧振荡方程和单摆方程,看看后者如何与胡克定律相类似。gydF4y2Ba
一般的能量守恒gydF4y2Ba
整个前半段gydF4y2Ba 世纪的时候,工程师们意识到热能是能量的另一种形式,能够做机械功。到1850年,gydF4y2Ba能量守恒定律gydF4y2Ba第一次被正式表述为gydF4y2Ba热力学第一定律gydF4y2Ba.在过去的几十年里gydF4y2Ba 世纪时,路德维希·玻尔兹曼根据物质是由原子构成的理论,提出了热和熵的统计力学理论,表明了动能和热能的等价性。随着时间的推移,人们认识到其他形式的能量,如弹性能量、电磁能量、化学能和核能,而能量守恒定律被推广到包括所有这些形式的能量。gydF4y2Ba
发射非弹性炮弹gydF4y2Ba
坦克发射一种特殊的空心炮弹gydF4y2Ba 它内部的氖原子非常冷(接近绝对零度开尔文),相对于壳层,原子不动。壳层的速度是gydF4y2Ba 每秒几米,然后它撞到一堵土墙上发生了百分之百的非弹性碰撞,这时炮弹就完全停止了。但是氖原子继续在壳层内以同样的速度弹跳。当壳体完全停止后,壳体内氖气体的温度是多少?gydF4y2Ba
把氖当作理想气体,即有质量的点状粒子,而忽略空心壳的质量或大小。氖原子gydF4y2Ba 或gydF4y2Ba 克,gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
的动能gydF4y2Ba 氖原子以gydF4y2Ba 米每秒gydF4y2Ba
因为总能量是守恒的gydF4y2Ba时,氖原子的动能已转化为热能。根据理想气体的统计力学,我们有gydF4y2Ba
在哪里gydF4y2Ba 是玻尔兹曼常数,和gydF4y2Ba 温度在gydF4y2Ba .由此,我们有了gydF4y2Ba
它刚好高于水的沸点。gydF4y2Ba
注意,这个结果不依赖于数字gydF4y2Ba 可以是1克氖原子,或者一个氖原子。的gydF4y2Ba温度gydF4y2Ba理想气体的质量完全取决于原子的质量和原子的平均速度,不是能量的一种形式,也不具有能量的物理维度gydF4y2Ba热能gydF4y2Ba所做的事。gydF4y2Ba
火箭gydF4y2Ba
火箭物理gydF4y2Ba描述一种火箭,它使用燃料作为储存形式的化学能,释放在火箭的燃烧室产生推力来推动它。当燃料耗尽时,火箭的质量下降,而速度增加。使用gydF4y2Ba动量守恒定律gydF4y2Ba,gydF4y2Ba火箭的速度是质量的函数gydF4y2Ba描述如何推导下列火箭方程:gydF4y2Ba
在哪里gydF4y2Ba 而且gydF4y2Ba 最终速度和质量分别是,gydF4y2Ba 而且gydF4y2Ba 初速度和质量,分别是gydF4y2Ba 是火箭排气的速度相对于火箭。gydF4y2Ba
我们可以利用能量守恒定律得到同样的结果:gydF4y2Ba
让gydF4y2Ba 是火箭的质量gydF4y2Ba 是燃料消耗的质量。同时,让gydF4y2Ba 是火箭速度的函数gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 相对于火箭的排气速度。那么我们有如下作为火箭/废气系统的总能量:gydF4y2Ba
第一项是火箭废气的动能,第二项是火箭的动能,最后一项呢gydF4y2Ba 是包含在未燃烧燃料中的势能。这种燃料转化为废气时的动能就是它在速度下的动能gydF4y2Ba ,所以我们可以把这个方程写成gydF4y2Ba
因为总能量是守恒的gydF4y2Ba,我们可以对两边求导gydF4y2Ba 结果是gydF4y2Ba
这与上面给出的火箭方程一致。这个方程是火箭物理学中最简化的形式,它假定所有的推力都是由燃烧气体的排气速度单独提供的。真正的火箭还需要考虑其他因素,比如喷嘴内的燃烧气体压力。gydF4y2Ba
核反应中的质能gydF4y2Ba
氘原子,gydF4y2Ba 氢是氢的一种同位素,其核中含有一个质子和一个中子。如果其中两个原子以足够高的速度碰撞,以克服库仑势垒,就能发生聚变,产生氦-3原子gydF4y2Ba 和一个自由中子gydF4y2Ba .gydF4y2Ba 是氦的一种同位素,有两个质子但只有一个中子。这种聚变产生了多余的能量,这些能量在产物中以动能的形式被带走。gydF4y2Ba
以原子质量为单位gydF4y2Ba ,原子核的质量为gydF4y2Ba
每一个爱因斯坦gydF4y2Ba ,质能转换gydF4y2Ba 等于百万电子伏特gydF4y2Ba
现在,计算能量gydF4y2Ba 在gydF4y2Ba ,由以下氘+氘聚变反应产生:gydF4y2Ba
两个氘核的总质量是gydF4y2Ba 但是总质量gydF4y2Ba 而且gydF4y2Ba 是gydF4y2Ba 这更少。相对论说质量是能量的另一种形式,所以gydF4y2Ba因为总能量是守恒的gydF4y2Ba,失踪gydF4y2Ba 质量被转化为能量。用质量比gydF4y2Ba 转换,这算出来大约gydF4y2Ba
注意:gydF4y2Ba ,或电子伏特,不要与之混淆gydF4y2Ba ,或伏特。gydF4y2Ba 有能量的维度,或者焦耳,而gydF4y2Ba 等于焦耳除以电荷。gydF4y2Ba
如果产生的能量被产物带走了,如果动能和动量都是守恒的,聚变反应后中子的动能是多少?(忽略反应物氘原子核的初始动能。)gydF4y2Ba
守恒方程是gydF4y2Ba
让gydF4y2Ba 而且gydF4y2Ba 作为聚变产物的动能,我们可以根据两个守恒定律将两个方程重新表述如下:gydF4y2Ba
根据这些,我们可以算出中子的动能gydF4y2Ba
算出来大约是多少gydF4y2Ba 或gydF4y2Ba ,这是通常公布的值。gydF4y2Ba
ATP合酶,一个分子马达gydF4y2Ba
哈密顿,拉格朗日和诺特定理gydF4y2Ba
弹簧摆:拉格朗日力学预习gydF4y2Ba
上面给出的例子包括重力场中的一个摆,以及一个摆动的弹簧-质量系统。如果我们把它们结合起来呢?放松长度的无质量摆臂gydF4y2Ba 是能够纵向拉伸或压缩,和一个质量gydF4y2Ba 连着它的末端。那么质量的位置可以用两个待确定的函数来描述:gydF4y2Ba
总动能就是径向分量和切向分量的和gydF4y2Ba
总势能是重力势和弹簧势的和gydF4y2Ba
在哪里gydF4y2Ba 重力加速度和gydF4y2Ba 是弹簧常数。gydF4y2Ba
经典力学有两种方法(见gydF4y2Ba力学的拉格朗日公式gydF4y2Ba),可简要概括如下:gydF4y2Ba
通过勒让德变换可以证明它们是等价的。在这个练习中,我们用拉格朗日量来表示这个弹簧摆:gydF4y2Ba
这两个欧拉-拉格朗日方程是gydF4y2Ba
第一个是沿摆臂长度的径向力,第二个是切向力。这对微分方程的完整解超出了这里的范围,但给出这个例子是为了说明通过使用动能和势能而不是使用力和动量来处理经典力学问题的普遍效用。gydF4y2Ba
LC电路:通过拉格朗日方法gydF4y2Ba
经典的LC电路,以最简单的形式,由一个电感器和一个电容组成,两者都能储存能量:一个是电磁的,另一个是静电的。这个电路可以用基尔霍夫定律来分析,这是传统的方法。然而,为了证明拉格朗日方法的强大,它将能量视为一个广义的抽象量,下面是如何单独从能量角度分析LC电路的一种方法:gydF4y2Ba
让gydF4y2Ba 电荷是时间的函数gydF4y2Ba .同时,让gydF4y2Ba 为电感器的电感量,和gydF4y2Ba 电容器的电容。那么动能和势能的类比如下:gydF4y2Ba
拉格朗日是这样的gydF4y2Ba
欧拉-拉格朗日方程是gydF4y2Ba
能得到和基尔霍夫定律相同的解吗gydF4y2Ba
考虑到gydF4y2Ba 而且gydF4y2Ba