拉格朗日力学GYDF4y2Ba

牛顿的运动定律是建立所有经典力学的基础。从天体力学到旋转运动，再到理想气体定律，一切都可以用牛顿写下的强大原理来解释。应用牛顿算法的主要困难在于识别物体之间的所有力，这需要一些独创性。GYDF4y2Ba

这都是因为牛顿定律是用向量写成的这在笛卡尔坐标系中是最容易使用的。当然可以在任何坐标系中重写向量，但这不是最透明的操作。我们还需要明智地选择坐标系，以便简化所有计算。此外，选择错误的参照系会引起混淆的伪影。GYDF4y2Ba

已故的伟大的约瑟夫·路易斯·拉格朗日GYDF4y2Ba

如果我们的重要量可以在最方便的坐标系中容易地重写和求解，该方案将更有用。我们想象的是用标量而不是向量来描述系统的能力。也就是说，写下质量、能量或动量平方等数字，它们在坐标变化下是不变的。这就是拉格朗日力学公式的目的。GYDF4y2Ba

让我们先回顾一下牛顿力学中的一些难题并指出是什么让它们如此难以解决。GYDF4y2Ba

在不尝试求解的情况下，我们指出了牛顿方法的一些具有挑战性的问题。GYDF4y2Ba

质量在滑动的楔子上GYDF4y2Ba

考虑下面滑动楔形块块的质量。滑块和楔块在重力作用下可自由移动，无摩擦。设置此问题很困难，原因有二。首先是质量GYDF4y2Ba $MGYDF4y2Ba$在地板上移动GYDF4y2Ba $MGYDF4y2Ba$以一个角度移动，这在选择坐标(地面框架中的笛卡尔网格，以及倾斜表面框架中的另一个网格)时产生了张力。第二个是法向力GYDF4y2Ba $MGYDF4y2Ba$和GYDF4y2Ba $MGYDF4y2Ba$取决于物体的运动GYDF4y2Ba $MGYDF4y2Ba$和GYDF4y2Ba $MGYDF4y2Ba$．GYDF4y2Ba

$$旋转环上的珠子GYDF4y2Ba

我们还可以考虑一颗珠子，它可以在一个旋转的箍上自由滑动。这种情况不容易用矢量来描述，因为重力要求我们使用笛卡尔坐标，而箍的约束要求我们使用极坐标。找到一种既容易思考又容易计算的表示法并非易事。GYDF4y2Ba

$$耦合的钟摆GYDF4y2Ba

作为最后一个例子，考虑耦合摆，其中一个摆挂在另一个的末端。这种情况受到便利坐标的选择、两个摆的耦合以及防止两个摆分开的约束的困扰。GYDF4y2Ba

这些问题中的每一个都很难通过通常的方法来解决，比如识别力，写下约束条件，转换成一个方便的坐标系，或者通过巧妙的代换来解耦方程。让我们以一份反愿望清单的形式，明确地概述这些困难。GYDF4y2Ba

• 向量表示GYDF4y2Ba：当我们需要改变坐标系时，用矢量表示系统会使我们瘫痪。例如，虽然很容易将重力记为GYDF4y2Ba $z - g \帽子{}GYDF4y2Ba$在笛卡尔坐标系中，用角度来表示摆的运动是最自然的GYDF4y2Ba $\西塔GYDF4y2Ba$荡秋千的时候。重写摆锤的加速度矢量GYDF4y2Ba $\ ddot vec {r}} {\GYDF4y2Ba$是繁琐的，需要对径向和方向单位向量的变换性质有专门的知识。在更复杂的问题中，这只会成为更大的障碍。与之相比，我们可以轻松地变换像动能这样的标量GYDF4y2Ba $\textrm{K.E.}=\frac12 m v^2\rightarrow\frac12 m\omega^2 r+\frac12 m\dot{r}^2GYDF4y2Ba$．因此，我们将受益于不含矢量的力学。GYDF4y2Ba

• 识别部队GYDF4y2Ba例在运用牛顿定律时，我们必须考虑到所有的力以及它们的反力。在有多个粒子的系统中，当粒子之间的接触力爆炸成一个组合噩梦时，这可能会变得瘫痪。我们应该希望有一种机制，这种记帐不会妨碍我们分析感兴趣的问题。因此，如果我们能找到一种方法，使我们自己从矢量力的链条中解放出来，我们应该能够推理出更复杂的系统。GYDF4y2Ba

• 约束GYDF4y2Ba在牛顿力学中，我们必须在运动方程中明确地建立约束条件。例如，斜面上的质量必须服从斜面，这必须通过引入表示斜面约束的法向力来处理。这很快就会变得非常复杂，特别是当约束是由非刚性表面施加的时候，比如上面的第一个例子。如果可以隐式地施加约束，例如，在我们的坐标选择中，我们的任务就会容易得多。GYDF4y2Ba

我们现在提醒自己牛顿力学的原理，并提出一个公式，它将帮助我们以一种基于能量、无矢量的方式重塑力学。牛顿第二定律指出，任何粒子的加速度都是由作用在粒子上的净力给出的，其中加速度和净力都是一维、二维或三维的矢量：GYDF4y2Ba

$\vec{F}{uu\text{net}=m\vec{a}。GYDF4y2Ba$

我们回忆一下功能原理，它说明合力(即非约束力)对一个粒子所做的功等于粒子动能的增加。我们忽略了约束力，因为它们总是垂直于运动方向，因此对系统不做功。GYDF4y2Ba

考虑一个任意的、无穷小的位移GYDF4y2Ba $\delta\vec{r}GYDF4y2Ba$质点在合力作用下的位置。我们可以说GYDF4y2Ba $vec {F} \ \ cdot \三角洲\ vec vec{一}{r} = m \ \ cdot \三角洲\ vec {r}GYDF4y2Ba$. 如果我们沿着有限位移积分，我们会发现GYDF4y2Ba

$W = int \vec{F}_\text{net} \cdot \delta\vec{r}GYDF4y2Ba$

因此GYDF4y2Ba

$\int\left（\vec{F}\uu\text{net}-m\vec{a}\right）\cdot\delta\vec{r}=0。GYDF4y2Ba$

这一陈述被称为达朗贝尔原则，是我们努力的出发点。GYDF4y2Ba

现在，我们继续重新构想牛顿力学，消除我们在愿望清单中列出的抱怨。GYDF4y2Ba

我们的第一个愿望是把矢量力换成标量能量。我们记得保守力是那些可以写成势函数的空间导数的力，也就是。GYDF4y2Ba

$F_i=-\frac{\partial V（r_1，ldots，r_n）}{\partial r_i}。GYDF4y2Ba$

在最低水平（即粒子相互作用）所有的力都是保守的，但从宏观角度来看，粒子间的保守力通常用耗散力（如接触摩擦力或粘度）来近似。现在，让我们继续讨论保守力，然后再考虑如何适应耗散的乱七八糟。我们的第一步是重写牛顿第二定律GYDF4y2Ba $\vec{F}=m\ddot{\vec{r}GYDF4y2Ba$像GYDF4y2Ba

$m \ ddot vec {r}} {\ \ cdot \ vec {r} = -δ\ \压裂{部分V vec {r})(\ \}{\部分vec {r}} \ \ cdot \ vec {r} = -δ\ \大[\ nabla_r V (vec {r}) \ \]大δvec {r} \ \ cdot \。GYDF4y2Ba$

因此，通过将势能的空间导数与加速度矢量联系起来，我们省去了力。然而，我们仍然在处理向量。我们的下一个目标是消除我们对使用矢量来表示位置和速度的依赖。具体地说，我们想去掉任何包含位置向量导数的项，用标量的导数代替它们，比如能量。GYDF4y2Ba

我们从达朗贝尔原则的陈述出发GYDF4y2Ba

$vec {F} _ \ \文字{净}\ cdot vec {r} = m \ \三角洲\压裂vec {r}} {d ^ 2 \ {dt ^ 2} \ cdot \三角洲\ vec {r},GYDF4y2Ba$

在哪里GYDF4y2Ba $vec {rδ\ \}GYDF4y2Ba$是粒子的无限小运动。我们可以马上把右边写成GYDF4y2Ba

$左(m \ \压裂{d} {dt} \离开(\压裂vec {r}} {d \ {dt} \ cdot \δvec {r} \ \右)- \压裂vec {r}} {d \ {dt} \ cdot \压裂vec {r}} {d \三角洲\ {dt} \右),GYDF4y2Ba$

我们在哪里应用了身份GYDF4y2Ba $^ ' = x^ ' y + y^ ' xGYDF4y2Ba$．GYDF4y2Ba

如前所述，我们有这个向量的方程GYDF4y2Ba $vec {r} \GYDF4y2Ba$这不涉及特定的坐标选择（笛卡尔坐标、球面坐标等）GYDF4y2Ba $r_1, \ ldots r_n:GYDF4y2Ba$

$\{{3}{{对齐}}}}}}{{{{{{对齐}}}}}}}}}}}{{{{{{{对齐}}}}}}}}}}}}}{{{{{}}}}}}}m m\MEMET\MEMEMET{{{{{{}}}}{{{{{{{{{{{{{{{d}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{dt}\left（\dot{\vec{r}}\cdot\frac{\partial\vec{r}}{\partial r\u k}\right）-\dot{\vec{r}\cdot\frac{\partial\dot{\vec{r}}{\partial r\u k}\right]\delta r\u k。\end{aligned}GYDF4y2Ba$

现在，任何GYDF4y2Ba $vec {r} \GYDF4y2Ba$，我们有以下标识，称为点取消：（为什么这是真的？）GYDF4y2Ba

点对消GYDF4y2Ba

如果我们展开一个向量GYDF4y2Ba $vec {r} \GYDF4y2Ba$在任何坐标系下GYDF4y2Ba $\{r\u 1，\ldots，r\u n\}GYDF4y2Ba$,我们有GYDF4y2Ba

$\frac{\partial\vec{r}}{\partial r}k}=\frac{\partial\dot{\vec{r}}}{\partial\dot{r}k}。GYDF4y2Ba$

利用这个身份，右手边变成GYDF4y2Ba

$m\sum\u k\left[\frac{d}{dt}\left（\dot{vec{r}}\cdot\frac{\partial\dot{vec{r}}}}}}{\partial\dot{r}{k}\right）\dot{\vec{r}\cdot\frac{\partial\dot{vec{r}}}{r}}}{r}}{。GYDF4y2Ba$

认识到GYDF4y2Ba $vec {r}}{\ \点= vec {v} \GYDF4y2Ba$，我们把它重写为GYDF4y2Ba

$\begin{aligned} &m\sum_k\left[\frac{d}{dt}\left(\frac {partial v^2}{partial \dot{r}_k}\right) - \ fra12 \frac{partial v^2}{partial r_k} \right]\delta r_k \ &= sum_k\left[\frac{partial T}{partial r_k} \right]\ frac{partial T}{partial r_k} \right]\delta r_k， \end{aligned}GYDF4y2Ba$

我们在第二行哪里做了替换GYDF4y2Ba $T = 12 mv^2。GYDF4y2Ba$

因此GYDF4y2Ba

$\{对齐}-开始\ sum_k \压裂{\部分V}{\部分r_k} \δr_k & = \ sum_k \离开[\压裂{d} {dt} \离开(\压裂{\部分T}{\部分\点{r} _k} \右)- \压裂{\部分T}{\部分r_k} \右]\δr_k \ \ 0 & =左\ sum_k \[\压裂{d} {dt} \离开(\压裂{\部分T}{\部分\点{r} _k} \右)- \压裂{\部分T}{\部分r_k} + \压裂{\部分V}{\部分r_k}r_k。结束\{对齐}GYDF4y2Ba$

记住这个小位移GYDF4y2Ba $vec {rδ\ \}GYDF4y2Ba$这是武断的。在三维空间中，我们可以GYDF4y2Ba $\delta\vec{r}=\langle\delta\ux，0，\delta\uz\rangleGYDF4y2Ba$或GYDF4y2Ba $角度0,0，角度GYDF4y2Ba$但方程必须为真，与位移无关，即和中的每一项等于零，与坐标位移无关GYDF4y2Ba $\德尔塔·鲁克。GYDF4y2Ba$因此,我们有GYDF4y2Ba

$0 = \压裂{d} {dt} \离开(\压裂{\部分T}{\部分\点{r} _k} \右)+ \压裂{\部分\离开(V - T \右)}{\部分r_k}GYDF4y2Ba$

为每一个GYDF4y2Ba $KGYDF4y2Ba$．GYDF4y2Ba

对于保守力，GYDF4y2Ba $vGYDF4y2Ba$是位置变量的纯函数吗GYDF4y2Ba $\frac{\partial V}{\partial\dot{r}\u k}=0GYDF4y2Ba$．因此我们可以移动GYDF4y2Ba $vGYDF4y2Ba$代入导数GYDF4y2Ba

$\frac{\partial\left（T-V\right）}{\partial r\u k}=\frac{d}{dt}\frac{\partial\left（T-V\right）}{\partial\dot{r}k}。GYDF4y2Ba$

因此，我们从经典力学中完全消除了位置和速度矢量的使用。如果我们同意把动能和势能之差称为GYDF4y2Ba $L =过程GYDF4y2Ba$，我们可以把等式简化为GYDF4y2Ba

$\frac{\partial L}{\partial r_k}=\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{r}{k}。GYDF4y2Ba$

的数量GYDF4y2Ba $电视GYDF4y2Ba$称为系统的拉格朗日方程GYDF4y2Ba $LGYDF4y2Ba$叫做欧拉方程。在任何感兴趣的问题中，我们通过对每个变量的欧拉方程求值，以直接的方式得到运动方程。例如，在球坐标系中，我们有三个欧拉方程GYDF4y2Ba $r、 \thetaGYDF4y2Ba$,GYDF4y2Ba $\φ。GYDF4y2Ba$

这个GYDF4y2Ba拉格朗日GYDF4y2Ba,GYDF4y2Ba $LGYDF4y2Ba$，是动能之差GYDF4y2Ba $TGYDF4y2Ba$势能呢GYDF4y2Ba $V:GYDF4y2Ba$

$L(r， \dot{r}) \equiv T(r， \dot{r}) - V(r)。GYDF4y2Ba$

我们的最后一个目标是消除明确包含的约束力。也许在排除了力之后，我们也排除了约束力。事实上，它们在达朗贝尔原理的引入时就被抛弃了。在拉格朗日公式中，约束可以以几种方式合并;我们将关注最简单的。GYDF4y2Ba

当我们用坐标代替矢量时，一个重要的事实没有被提及。我们不仅消除了向量，而且用广义坐标重申了力学，也就是说，我们可以自由选择任何最自然的坐标系来描述我们的系统。例如，如果粒子被约束在球体表面上移动，我们可以使用球面坐标系，其中GYDF4y2Ba $RGYDF4y2Ba$是保持不变的。因此，我们通过选择坐标本质上包含了约束条件!GYDF4y2Ba

这一切都有点抽象。让我们将拉格朗日公式应用于一些问题，并对我们所做的事情产生一种具体的感觉。GYDF4y2Ba

在斜面上的质量GYDF4y2Ba

质量沿着斜面向下滑动，所以我们可以选择坐标为沿着斜面的距离GYDF4y2Ba $sGYDF4y2Ba$．在这个坐标系中，质量的动能是GYDF4y2Ba $T=\frac12 m\dot{s}^2GYDF4y2Ba$．如果我们定义初始势能为零，那么势能是GYDF4y2Ba $sGYDF4y2Ba$是由GYDF4y2Ba $V=+mgs\sin\thetaGYDF4y2Ba$,在那里GYDF4y2Ba $\西塔GYDF4y2Ba$为斜面的角度。GYDF4y2Ba

因此我们的拉格朗日量是GYDF4y2Ba

$L=\frac12 m\dot{s}^2-mgs\sin\theta。GYDF4y2Ba$

像GYDF4y2Ba $sGYDF4y2Ba$是这个问题中唯一的变量坐标，我们需要计算一个Euler方程，现在我们需要：GYDF4y2Ba

$\begin{aligned}\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{s}&=\frac{\partial L}{\partial s}\\m\frac{d}{dt}\dot{s}=-mg\sin\theta\\m\ddot{s}&=-mg\sin theta\theta\\\\ ddot{s}&-g\sin theta\seta}GYDF4y2Ba$

这就是斜面上质量的运动方程。注意，我们的解决方案几乎不需要思考。只要我们写下动能和势能，解就等于做一些毫无意义的导数。GYDF4y2Ba

天体力学GYDF4y2Ba

假设我们有一颗质量很大的恒星GYDF4y2Ba $MGYDF4y2Ba$还有一颗质量GYDF4y2Ba $MGYDF4y2Ba$比那颗星星小得多。行星和恒星通过引力势相互作用GYDF4y2Ba $V（r）=-GMm/r，GYDF4y2Ba$在哪里GYDF4y2Ba $RGYDF4y2Ba$是恒星和行星之间的距离。什么是运动方程？GYDF4y2Ba

---

考虑到问题的对称性，在极坐标中使用GYDF4y2Ba $RGYDF4y2Ba$是恒星和行星之间的距离GYDF4y2Ba $\西塔GYDF4y2Ba$地球绕轨道运行的角度。GYDF4y2Ba

行星的动能是GYDF4y2Ba $T=\frac12 m\dot{r}^2+\frac12 m\left（r\dot{\theta}\right）^2GYDF4y2Ba$．GYDF4y2Ba

因此我们的拉格朗日量是GYDF4y2Ba

${r}^2 + (r\dot{\theta}}^2 + GMm/r。GYDF4y2Ba$

现在，两者都是可能的GYDF4y2Ba $RGYDF4y2Ba$和GYDF4y2Ba $\西塔GYDF4y2Ba$所以我们要建立两个欧拉方程。那个GYDF4y2Ba $RGYDF4y2Ba$是由GYDF4y2Ba

$\begin{partial}\frac{d}{dt}\frac{partial L}{partial r} \ m\ddot{r} &= mr\dot{\theta}^2 - GMm/r^2， \end{aligned}GYDF4y2Ba$

这就是我们所期望的运动方程GYDF4y2Ba $RGYDF4y2Ba$．GYDF4y2Ba

对于GYDF4y2Ba $\西塔GYDF4y2Ba$我们有GYDF4y2Ba

${对齐}\ \开始压裂{d} {dt} \压裂{\部分L}{\部分\点{\θ}}& = \压裂{\部分L}{\部分\θ}\ \ \压裂{d} {dt} \离开(mr ^ 2 \点{\θ}\右)& = 0。结束\{对齐}GYDF4y2Ba$

欧拉方程GYDF4y2Ba $\西塔GYDF4y2Ba$告诉我们一些不同寻常的事情。括号里的量，行星的角动量，是运动的常数。GYDF4y2Ba

注意到，我们不需要知道力矩或角动量的任何东西，我们只是通过欧拉方程得到它。比较我们的拉格朗日方法的解使用牛顿算法GYDF4y2Ba推导开普勒定律GYDF4y2Ba．GYDF4y2Ba

从欧拉方程找到守恒量的例子并不是偶然的。这是拉格朗日力学一般特征的一个例子。在说明拉格朗日形式和运动守恒量之间的一般联系之前，我们将对我们的拉格朗日形式作进一步的观察。GYDF4y2Ba

注意在笛卡尔坐标系中，动能是GYDF4y2Ba $T=\frac12 m\dot{r}^2GYDF4y2Ba$. 因为势是位置的函数，所以速度GYDF4y2Ba $r \点{}GYDF4y2Ba$只会出现在动能项中。因此,数量GYDF4y2Ba $\压裂{\部分L}{\部分\点{r}}GYDF4y2Ba$在欧拉方程中总是等于GYDF4y2Ba $r m \导{}GYDF4y2Ba$．然而，这只是粒子的动量。因此，我们可以说GYDF4y2Ba $p_r=\frac{\partial L}{\partial\dot{r}GYDF4y2Ba$，也就是说，粒子的动量只是拉格朗日函数对速度的导数。GYDF4y2Ba

因此，我们可以将Euler方程改写为GYDF4y2Ba

${d}{dt}p_r = \frac{partial V}{partial r}。GYDF4y2Ba$

注意，在轨道力学的例子中，第二个欧拉方程产生了GYDF4y2Ba ${partial \ L}{partial \dot{\theta}} = mr^2\dot{\theta}GYDF4y2Ba$，粒子的角动量。因此,我们有GYDF4y2Ba $p_\theta = \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}GYDF4y2Ba$就像我们之前对线性动量做的那样。GYDF4y2Ba

事实上，通常情况下，拉格朗日对任何速度变量的偏导数等于与该变量相关的广义动量。GYDF4y2Ba

因此，我们可以将拉格朗日公式改写为GYDF4y2Ba

$\点{p}u i=\frac{\partial L}{\partial r{u i}。GYDF4y2Ba$

我们现在可以提出一个关于拉格朗日的守恒原理。GYDF4y2Ba

关于动量的诺特定理GYDF4y2Ba

如果坐标GYDF4y2Ba $r_kGYDF4y2Ba$不出现在系统的拉格朗日量中，则相应的动量是守恒量。GYDF4y2Ba

假设坐标GYDF4y2Ba $r_kGYDF4y2Ba$没有出现在拉格朗日公式中GYDF4y2Ba

${partial L}{partial r_k} = 0。GYDF4y2Ba$

因此，在轨道力学的例子中，我们可以看到拉格朗日不涉及角变量GYDF4y2Ba $\西塔GYDF4y2Ba$，因此角动量不随时间变化。GYDF4y2Ba

最后，我们回顾了我们在开始时为牛顿力学提出的两个难题。它是GYDF4y2Ba强烈地GYDF4y2Ba建议您尝试使用牛顿方法设置这些问题，以便更充分地了解拉格朗日公式的威力。GYDF4y2Ba

质量在滑动的楔子上GYDF4y2Ba

在这个问题中，物体和楔子都可以自由滑动。求质量的加速度。GYDF4y2Ba

建立坐标的一种方法是在曲面的坐标系中使用笛卡尔坐标系。让我们把楔左边缘的水平位置称为水平位置GYDF4y2Ba $x_wGYDF4y2Ba$，以及质量的水平位置GYDF4y2Ba $x_mGYDF4y2Ba$．GYDF4y2Ba

这里唯一的挑战是用GYDF4y2Ba $x_wGYDF4y2Ba$和GYDF4y2Ba $x_mGYDF4y2Ba$．楔形边缘与质量之间的相对水平距离为GYDF4y2Ba $x_m——x_wGYDF4y2Ba$. 如果我们把它想象成一个三角形的底面，它的斜边成直角GYDF4y2Ba $\西塔GYDF4y2Ba$，然后我们可以通过GYDF4y2Ba

$\begin{aligned} \text{hyp}\cos\theta &= (x_m - x_w) \\ \text{hyp}\sin\theta &= y \\ Rightarrow y &= tan\theta\left(x_m - x_w\right)结束\{对齐}GYDF4y2Ba$

因此,我们有GYDF4y2Ba $Y = tan\ (x_m - x_w\right)GYDF4y2Ba$和GYDF4y2Ba $\点{y}=\tan\theta\left（\dot{x}\u m-\dot{x}\u w\right）GYDF4y2Ba$.如果我们把水平面设为重力势能的零点GYDF4y2Ba $\大的(GYDF4y2Ba$这GYDF4y2Ba $V = -mg tan\theta (x_m - x_w\right)\big)，GYDF4y2Ba$我们可以把系统的拉格朗日函数写成GYDF4y2Ba

$L=\frac12 M\dot{x}w^2+\frac12 M\dot{x}M^2+\frac12 M\tan^2\theta\left（\dot{x}M-\dot{x}w\right）^2+mg\tan\theta\left（x{M-x\w\right）。GYDF4y2Ba$

因此，系统的运动由两个欧拉方程来定义GYDF4y2Ba

$\begin{aligned}\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{x}\w}&=\frac{\partial L}{\partial x{w}\\M\ddot{x}\w+M\left（\ddot{x}\w-\ddot{x}\M\right）\tan 2\theta&=-mg\tan theta\end{aligned}GYDF4y2Ba$

和GYDF4y2Ba

$\开始{对齐}\压裂{d} {dt} \压裂{\部分L}{\部分\点{x} _m} & = \压裂{\部分L}{\部分x_m} \ \ m \ ddot {x} _m + m \离开(\ ddot {x} _m - \ ddot {x} _w \) \ tan ^ 2 \θ& =毫克\ tan \θ。结束\{对齐}GYDF4y2Ba$

我们可以很容易地解出这个方程组GYDF4y2Ba $\ddot{x}\wGYDF4y2Ba$和GYDF4y2Ba $\ddot{x}\mGYDF4y2Ba$求系统的运动。GYDF4y2Ba

解GYDF4y2Ba $\ddot{x}\mGYDF4y2Ba$,我们发现GYDF4y2Ba

$\ ddot {x} _m = \ dfrac{毫克\床\θ}{m + m \ csc ^ 2 \θ}。GYDF4y2Ba$

为了检查我们的解决方案，我们可以取一个熟悉的极限。GYDF4y2Ba

如果GYDF4y2Ba $M\gg MGYDF4y2Ba$，则应在平面固定的地方恢复通常的斜面解。如果GYDF4y2Ba $M\gg M，GYDF4y2Ba$然后是质量的水平加速度GYDF4y2Ba $\ddot{x}\mGYDF4y2Ba$就变成了GYDF4y2Ba $g \床\ csc ^ 2θ/ \ \θ,GYDF4y2Ba$这等于GYDF4y2Ba $g \ cosθ\ \罪\θGYDF4y2Ba$．GYDF4y2Ba

因此，沿平面的质量加速度等于GYDF4y2Ba $g \罪\θGYDF4y2Ba$正如我们所料。GYDF4y2Ba

旋转箍上的珠子GYDF4y2Ba

在这个问题中，一颗珠子在一个由马达以角速度旋转的箍上滑动GYDF4y2Ba $\点{\phi}=\omegaGYDF4y2Ba$．一开始，珠子会根据它的初始位置向下或向上滑动，但最终它会在重力和向心加速度的平衡给出的一些平衡角度，由于房间的旋转。我们的问题是求平衡角GYDF4y2Ba ${eq} \ theta_ \文本。GYDF4y2Ba$

胎圈可沿刚性环箍自由滑动，因此系统中唯一的自由变量是角度GYDF4y2Ba $\西塔GYDF4y2Ba$珠子与竖直部分形成的。从问题的对称性可以清楚地看出球坐标的选择。我们可以把珠子的动能写成GYDF4y2Ba $T = = (r\dot{\ phi} r\sin\theta\right)^2 + (r\dot{\theta}^2\right)GYDF4y2Ba$．如果我们设环的底部为重力势能的最小值，那么我们就有GYDF4y2Ba $V=mg（1-\cos\theta）rGYDF4y2Ba$．因此拉格朗日等于GYDF4y2Ba

$L = \frac12 m \left(\dot{\phi} r\sin\theta\right)^2 + \frac12 m \left(r\dot{\theta} right)^2 + mg(\cos\theta - 1) rGYDF4y2Ba$

欧拉方程GYDF4y2Ba $\西塔GYDF4y2Ba$是GYDF4y2Ba

$\begin{aligned} \frac{d}{dt}\frac{partial L}{partial dot{\theta}} &= -mg sin r + m dot{phi}^2r^2 sin cos &= -m sin左(gr- ω ^2r^2 cos右)。结束\{对齐}GYDF4y2Ba$

因此,我们有GYDF4y2Ba $\ ddot{} \θ= 0GYDF4y2Ba$当GYDF4y2Ba $\θ\文本{eq}=\cos^{-1}\frac{g}{\omega^2 r}GYDF4y2Ba$．GYDF4y2Ba

注意,如果GYDF4y2Ba $\ddot{\theta}=0GYDF4y2Ba$那么我们有GYDF4y2Ba $\点{\theta}=\\text{constant}GYDF4y2Ba$. 但是,GYDF4y2Ba $\西塔GYDF4y2Ba$之间必须GYDF4y2Ba $0GYDF4y2Ba$和GYDF4y2Ba $\πGYDF4y2Ba$,GYDF4y2Ba $\点{\theta}GYDF4y2Ba$必须等于零(它不能在不改变方向的情况下持续改变一组有限值)。GYDF4y2Ba

旋转杆上的珠子GYDF4y2Ba

考虑一个有角速度的电机旋转的光滑杆。GYDF4y2Ba $\ωGYDF4y2Ba$. 在时间零点，一个质量珠GYDF4y2Ba $MGYDF4y2Ba$放置距离是多少GYDF4y2Ba $\εGYDF4y2Ba$沿着杆，自由滑动无摩擦，电机接通。表明珠的径向位置作为时间的函数是由GYDF4y2Ba

$r (t) = \ε\ cosh \ωt。GYDF4y2Ba$

由于杆的旋转是圆的，极坐标是描述系统的自然选择。系统没有势能，所以拉格朗日量是由动能给出的GYDF4y2Ba

$L=\frac12 m\dot{r}^2+\frac12 m r^2\dot{\theta}^2。GYDF4y2Ba$

从观察拉格朗日函数来看，似乎GYDF4y2Ba $\点{p}\θGYDF4y2Ba$是恒定的，因为GYDF4y2Ba $\西塔GYDF4y2Ba$没有出现在拉格朗日公式中。然而,回想一下,GYDF4y2Ba $\点{\θ}= \ωGYDF4y2Ba$是由旋转杆的马达施加的。因此，我们有一个欧拉方程GYDF4y2Ba $接待员:GYDF4y2Ba$

$\开始{aligned}\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{r}}&=\frac{\partial L}{\partial L}\\m\ddot{r}&=mr\dot{\theta}^2\\\&=mr\omega^2，结束{aligned}GYDF4y2Ba$

哪个有解决办法GYDF4y2Ba $r = Ae^{{\ t} + Be^{-\ t}GYDF4y2Ba$．GYDF4y2Ba

在时间零点，我们有GYDF4y2Ba $r=\epsilonGYDF4y2Ba$和GYDF4y2Ba $r \点{}= 0GYDF4y2Ba$，我们可以解出GYDF4y2Ba $A.GYDF4y2Ba$和GYDF4y2Ba $BGYDF4y2Ba$在初始条件下。我们发现GYDF4y2Ba $A = B = \ε/ 2GYDF4y2Ba$我们有GYDF4y2Ba $r=\epsilon\frac{e^{\omega t}+e^{-\omega t}}{2}=\epsilon\cosh\omega t。GYDF4y2Ba$