到目前为止,我们已经理解了火箭在概念上是如何飞行的。现在让我们推导出推力火箭运动的中心方程。控制火箭运动的计算有些复杂,所以让我们从基础开始。gydF4y2Ba
火箭的运动本质上是动量守恒的结果。也就是说,对于一个给定的孤立系统,总动量将保持恒定。因此,如果火箭的主体部分在一个给定的方向上获得了任何速度,它只能来自以相反方向的速度喷射燃料。这种运动的发生使得火箭获得的动量与被喷射出的燃料所获得的动量完全平衡。gydF4y2Ba
分析运动最简单的方法是考虑火箭在释放大量燃料之前和之后的瞬间gydF4y2Ba
ΔgydF4y2Ba米gydF4y2Ba.为了简单起见,我们考虑一个以火箭初速度运动的观察者的坐标系。gydF4y2Ba
在燃料燃烧和发射之前,整个火箭以恒定的动量巡航gydF4y2Ba
米gydF4y2BaVgydF4y2Ba
船gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
为了提高火箭的速度,一包质量的燃料gydF4y2Ba
ΔgydF4y2Ba米gydF4y2Ba(下图中黑框部分)被燃烧并以速度向后喷射gydF4y2Ba
ugydF4y2Ba
相对于火箭,它减少了火箭的质量gydF4y2Ba
ΔgydF4y2Ba米gydF4y2Ba,并增加一定数量的火箭速度gydF4y2Ba
ΔgydF4y2BavgydF4y2Ba
船gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
这就是下图所示的情况:gydF4y2Ba
因为没有外力作用在系统上(系统被认为是火箭和它的燃料),总动量的变化一定是零。如果我们用燃烧后的总动量减去燃烧前的总动量,我们有gydF4y2Ba
0gydF4y2Ba=gydF4y2BaΔgydF4y2BapgydF4y2Ba=gydF4y2BapgydF4y2BatgydF4y2Ba−gydF4y2BapgydF4y2Ba0gydF4y2Ba=gydF4y2BaΔgydF4y2Ba米gydF4y2Ba(gydF4y2BaVgydF4y2Ba
船gydF4y2Ba−gydF4y2BaugydF4y2Ba
)gydF4y2Ba+gydF4y2Ba(gydF4y2BaVgydF4y2Ba
船gydF4y2Ba+gydF4y2BaΔgydF4y2BavgydF4y2Ba
船gydF4y2Ba)gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2Ba−gydF4y2BaΔgydF4y2Ba米gydF4y2Ba)gydF4y2Ba−gydF4y2BaVgydF4y2Ba
船gydF4y2Ba米gydF4y2Ba=gydF4y2BaVgydF4y2Ba
船gydF4y2Ba(gydF4y2BaΔgydF4y2Ba米gydF4y2Ba−gydF4y2BaΔgydF4y2Ba米gydF4y2Ba)gydF4y2Ba−gydF4y2BaugydF4y2Ba
ΔgydF4y2Ba米gydF4y2Ba+gydF4y2Ba米gydF4y2BaΔgydF4y2BavgydF4y2Ba
船gydF4y2Ba+gydF4y2BaVgydF4y2Ba
船gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2Ba−gydF4y2Ba米gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba−gydF4y2BaugydF4y2Ba
ΔgydF4y2Ba米gydF4y2Ba+gydF4y2Ba米gydF4y2BaΔgydF4y2BavgydF4y2Ba
船gydF4y2Ba,gydF4y2Ba
这就得到了质量和速度变化之间的如下关系:gydF4y2Ba
ugydF4y2Ba
ΔgydF4y2Ba米gydF4y2Ba=gydF4y2Ba米gydF4y2BaΔgydF4y2BavgydF4y2Ba
船gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
为什么我们可以忽略gydF4y2Ba
ΔgydF4y2BavgydF4y2Ba
船gydF4y2BaΔgydF4y2Ba米gydF4y2Ba上面计算的是什么?gydF4y2Ba
如果我们重新排列这个方程,取极限gydF4y2Ba
ΔgydF4y2BaS变成无限小的量gydF4y2Ba
(gydF4y2BaΔgydF4y2Ba米gydF4y2Ba→gydF4y2BadgydF4y2Ba米gydF4y2Ba,gydF4y2Ba
ΔgydF4y2BavgydF4y2Ba
船gydF4y2Ba→gydF4y2BadgydF4y2BavgydF4y2Ba)gydF4y2Ba,gydF4y2Ba我们有gydF4y2Ba
米gydF4y2BadgydF4y2Ba米gydF4y2Ba=gydF4y2BaugydF4y2Ba−gydF4y2Ba1gydF4y2BadgydF4y2BavgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
最后,我们有gydF4y2Ba
dgydF4y2Ba米gydF4y2Ba=gydF4y2Ba−gydF4y2BadgydF4y2Ba米gydF4y2Ba(火箭的质量变化等于减去无穷小燃料包的质量),所以我们的关系变成gydF4y2Ba
−gydF4y2Ba米gydF4y2BadgydF4y2Ba米gydF4y2Ba=gydF4y2BaugydF4y2Ba−gydF4y2Ba1gydF4y2BadgydF4y2BavgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
这就是说,随着火箭越来越轻,它需要喷射越来越少的燃料来获得相同量级的速度提升。不幸的是,这只会在一定程度上起作用,当我们的火箭完全耗尽燃料,到达gydF4y2Ba
vgydF4y2Ba马克斯gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
我们可以将这个关系从燃料燃烧开始到燃烧结束积分,得到速度作为火箭当前质量的函数:gydF4y2Ba
ugydF4y2Ba−gydF4y2Ba1gydF4y2Ba∫gydF4y2BavgydF4y2Ba0gydF4y2BavgydF4y2BafgydF4y2BadgydF4y2BavgydF4y2BavgydF4y2BafgydF4y2Ba=gydF4y2Ba−gydF4y2Ba∫gydF4y2Ba米gydF4y2Ba0gydF4y2Ba米gydF4y2BatgydF4y2Ba米gydF4y2BadgydF4y2Ba米gydF4y2Ba=gydF4y2BavgydF4y2Ba0gydF4y2Ba+gydF4y2BaugydF4y2BalngydF4y2Ba米gydF4y2BatgydF4y2Ba米gydF4y2Ba0gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
这表明,火箭飞船的速度是一个纯粹的函数它是在当前时间之前喷射出的燃料质量的函数。质量损失的速度是快是慢并不重要,重要的是当前时间内燃烧的总量。gydF4y2Ba
火箭在太空中的速度作为燃料燃烧的函数gydF4y2Ba
进行计算gydF4y2Ba
vgydF4y2BatgydF4y2Ba作为gydF4y2Ba
米gydF4y2BatgydF4y2Ba在火箭不在自由空间的情况下,而是与垂直重力场的强度作斗争gydF4y2Ba
ggydF4y2Ba.是gydF4y2Ba
vgydF4y2BatgydF4y2Ba仍然是状态函数gydF4y2Ba
米gydF4y2BatgydF4y2Ba,gydF4y2Ba或者是gydF4y2Ba
vgydF4y2BatgydF4y2Ba现在取决于燃料使用的历史编码在gydF4y2Ba
米gydF4y2BatgydF4y2Ba?gydF4y2Ba
46gydF4y2Ba
NgydF4y2Ba
72gydF4y2Ba
NgydF4y2Ba
148gydF4y2Ba
NgydF4y2Ba
以上都不是gydF4y2Ba
两艘驳船在静水中朝着同一个方向行驶,一艘以每小时10公里的速度行驶,另一艘以每小时20公里的速度行驶。当它们相互通过时,煤以1000公斤/分钟的速度从较慢的煤铲到较快的煤。gydF4y2Ba
如果(a)速度较快的驳船和(b)速度较慢的驳船的驱动发动机都不改变速度,那么它们必须提供多少额外的力?gydF4y2Ba
假设铲水总是完全斜向的,驳船和水之间的摩擦力不取决于驳船的质量。选择等于(a)和(b)的答案之和的答案。gydF4y2Ba
问题来源:gydF4y2Ba物理基础扩展,第九版gydF4y2Ba
火箭的逃逸速度:gydF4y2Ba
这是火箭摆脱地球引力并进入太空所需要的最小速度。火箭在一定高度处的动能gydF4y2Ba
hgydF4y2Ba由下式给出,它可以帮助我们推导出逃逸速度的表达式:gydF4y2Ba
2gydF4y2Ba1gydF4y2Ba米gydF4y2BavgydF4y2Ba2gydF4y2Ba=gydF4y2BaRgydF4y2BaGgydF4y2Ba米gydF4y2Ba米gydF4y2Ba−gydF4y2BaRgydF4y2Ba+gydF4y2BahgydF4y2BaGgydF4y2Ba米gydF4y2Ba米gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
从物理学的角度来看,发射台上的火箭是一种能量的储存形式。它需要利用这种能量来获得一个大于地球逃逸速度的速度,逃逸速度可以计算如下:gydF4y2Ba
2gydF4y2Ba1gydF4y2Ba米gydF4y2BaVgydF4y2BaegydF4y2Ba2gydF4y2Ba=gydF4y2BaRgydF4y2BaegydF4y2BaGgydF4y2Ba米gydF4y2BaegydF4y2Ba米gydF4y2Ba⟹gydF4y2BaVgydF4y2BaegydF4y2Ba2gydF4y2Ba=gydF4y2BaRgydF4y2BaegydF4y2Ba2gydF4y2BaGgydF4y2Ba米gydF4y2BaegydF4y2Ba⟹gydF4y2BaVgydF4y2BaegydF4y2Ba=gydF4y2BaRgydF4y2BaegydF4y2Ba2gydF4y2BaGgydF4y2Ba米gydF4y2BaegydF4y2Ba
≈gydF4y2Ba1gydF4y2Ba1gydF4y2Ba.gydF4y2Ba2gydF4y2BakgydF4y2Ba米gydF4y2Ba/gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba.gydF4y2Ba