双信封悖论

的会议上的矛盾是这样一种场景:玩家面前有两个信封，每个信封里都装着未知数量的钱，在被告知其中一个信封里的钱是另一个的两倍后，被要求选择一个。

不正确但令人信服的推理可以得出结论，如果允许，玩家切换选择总是最优的:假设玩家当前持有的信封包含什么 $D$ 美元。那另一个信封就装任何一个 $二维$ 或者 $D \压裂{}{2}$ 美元，显然概率相等。这就得到了切换的期望值

$\压裂{1} {2} \ CDOT（2D）+ \压裂{1} {2} \左（\压裂{d} {2} \右）= \压裂{5D} {4}，$

这比留在这里的预期价值要大， $D$ ．因此，转换总是有益的。但这在直觉上毫无意义，因为对称的情况，这就是为什么这有时被称为一个悖论。

这个明显的悖论值得注意，因为推理上的失败说明了应用上的失败贝叶斯定理和条件概率，以及形式逻辑．对这一悖论稍加修改，就会使这一问题成为一个重要的问题哲学特别是在检测隐式的推理。

正式的描述

假设一个玩家拿到了两个信封 $A、B$ 他告诉我，其中一个的钱是另一个的两倍。在选择一个信封后，玩家可以选择保留这个信封(以及里面的钱)，或者选择另一个信封。

的切换参数结论是，通过以下推理，切换总是有益的:假设玩家当前持有的信封包含 $D$ 美元。那另一个信封就装任何一个 $二维$ 或者 $D \压裂{}{2}$ 美元，所以转换的期望值是

$\压裂{1} {2} \ CDOT（2D）+ \压裂{1} {2} \左（\压裂{d} {2} \右）= \压裂{5D} {4}，$

这比留在这里的预期价值要大， $D$ ．很显然，这个道理一定有毛病的地方（这是荒谬的，以获得两个有限信封无限的期待值！），但缺陷是没有立即明显。

最简单的解决方法是密切重新审视期望值计算:

$\压裂{1} {2} \ CDOT（2D）+ \压裂{1} {2} \左（\压裂{d} {2} \右）= \压裂{5D} {4}。$

这种计算的错误在于一个微妙的误解: $D$ 的计算中实际上代表不同的值，不正确地相等。特别是，' $二维$ '表示在另一个信封的预期值鉴于它是更大的一个和“ $\左（\压裂{d} {2} \右）$ '表示在另一个信封的预期值因为它是较小的一个．

换句话说,额外的信息“第二个信封包含更少的钱比第一”意味着玩家更新他的信念第二信封应小于他期望没有额外的信息,同样的方法的第二个信封是较大的一个。正确的计算应该是

$\ mathbb {E}({第二信封}= B \文本)= \ mathbb {E} (B | < B) P (< B) + \ mathbb {E} (B | > B) P (A > B),$

其中，如果包含信封 $x$ 和 $2 x$ 钱，确实决定了 $\压裂{3 x} {2}$ 直觉建议。

另外，也许更直观，理解分辨率的方法是考虑在游戏中的货币总量 $T$ ，无论你选择哪个信封，它都是固定的。但现在你信封里的钱鉴于它是更大的一个是明确的, $\压裂{2T} {3}$ ．还有你信封里的金额因为它是较小的一个是 $\压裂{T} {3}$ ．他从切换预期收益则

$\ mathbb {E}[文本{开关}\]= \压裂{1}{2}\压裂{2 t t}{3} + \压裂{1}{2}\压裂{T-2T} {3} = 0$

这就意味着切换没有好处也没有坏处，正如预期的那样。

如果情况略有修改,允许玩家审视信封在做出决定前,明显的矛盾继续为这个机会给玩家任何新的信息(他会选择开关,用天真的期望值计算,无论信封)的价值。

然而，事实证明，这个机会允许玩家选择概率大于 $\压裂{1}{2}$ ！这是一个非常令人惊讶的结果，只有使用随机化策略．

首先，玩家选择a连续随机变量 $Z$ 在任何区间上都是正的;发行方式的选择并不重要(例如正态分布也可以)。玩家首先选择一个随机数字 $z$ 根据这个分布，并与他信封里的数字进行比较 $米$ ．

对这一策略的分析相对简单。有三种情况需要考虑:

情况1： $z$ 比两个信封里的数字都少。
在这种情况下，球员会选择保住自己的信封，不管如果表1.A该播放器具有较大的量，或1.B.他们的球员有一个较小。随机化并不能帮助或伤害在这里玩家;玩家仍然具有较大或较小的包络的甚至机会。
案例2: $z$ 比两个信封里的数字都大。
在这种情况下，玩家将选择改变他的信封，无论2.a。玩家拥有更大的数量，即2 b。玩家有一个小的。再一次地，随机化不会帮助或伤害玩家;换到更大或更小的信封的机会是均等的。
案例3: $z$ 是在每个信封的数量之间。
在这种情况下，如果3.A.开始与小信封玩家，玩家会选择开关，因而具有较大的信封结束。如果3.B.而是开始与大信封玩家，玩家会选择留下来。在这两种情况下，玩家将结束与大信封！

因此，只要第三种情况有出现的概率为正，玩家将获得的概率大于大信封 $\压裂{1}{2}$ ．但是，这确实是因为案件 $Z$ 是正的任何间隔（以及因此还有两个包络之间的间隔），所以这个策略保证球员比期望的更大的 $\压裂{1}{2}$ 可能性。