会议上的矛盾

的会议上的矛盾在这个场景中，玩家有两个信封，每个信封里都装着未知的钱，在被告知一个信封里装的钱是另一个信封的两倍之后，玩家被要求选择一个信封。

不正确，但令人信服的推理是否可以得出结论，如果允许的话，玩家改变他的选择总是最优的:假设玩家目前持有的信封包含什么 $D$ 美元。那么另一个信封里就会装着任何一个 $二维$ 或 $D \压裂{}{2}$ 美元，显然概率相等。这就得到了转换的期望值

$\压裂{1}{2}\ cdot (2 D) + \压裂{1}{2}\离开(\压裂{D}{2} \右)= \压裂{5 D} {4},$

这比预期的停留价值要大， $D$ ．因此，转换总是有益的。但这在直觉上是没有意义的，因为对称这就是为什么这有时被称为悖论。

这种明显的矛盾是值得注意的，因为推理上的失败说明了应用上的失败贝叶斯定理和条件概率，以及形式逻辑．对悖论稍加修改，问题就变成了一个重要的问题哲学尤其是在检测隐式推理方面。

正式的描述

假设一个玩家有两个信封 $A、B$ ，然后告诉他其中一个的钱是另一个的两倍。在选择一个信封后，玩家有机会保留这个信封(以及里面的钱)，或者切换到另一个信封。

的切换参数通过以下推理得出结论，切换总是有益的:假设玩家当前持有的信封包含 $D$ 美元。那么另一个信封里就会装着任何一个 $二维$ 或 $D \压裂{}{2}$ 美元，所以转换的期望值是

$\压裂{1}{2}\ cdot (2 D) + \压裂{1}{2}\离开(\压裂{D}{2} \右)= \压裂{5 D} {4},$

这比预期的停留价值要大， $D$ ．显然，这种推理肯定在某些地方有错误(从两个有限的信封中获得无限的期望值是荒谬的!)，但缺陷不是立即明显的。

最简单的解决办法是仔细重新检查期望值计算:

$\压裂{1}{2}\ cdot (2 D) + \压裂{1}{2}\离开(\压裂{D}{2} \右)= \压裂{5 D}{4}。$

这种计算的错误在于一个微妙的误解: $D$ 的值实际上代表了不同的值，这些值被错误地等同了。特别是，' $二维$ '表示另一个信封中的期望值因为它是更大的一个，而' $左(\ \压裂{D}{2} \右)$ '表示另一个信封中的期望值假设它是较小的一个．

换句话说，“第二个信封比第一个信封的钱少”这一附加信息意味着玩家应该更新自己对第二个信封的信念，让它比他在没有附加信息的情况下所期望的更小，同样地，第二个信封更大的情况也是如此。正确的计算应该是

$\ mathbb {E}({第二信封}= B \文本)= \ mathbb {E} (B | < B) P (< B) + \ mathbb {E} (B | > B) P (A > B),$

如果信封里装的是什么 $x$ 而且 $2 x$ 钱，确实决心要 $\压裂{3 x} {2}$ 直觉告诉我们。

另一种更直观的理解方法是考虑游戏中的总金额 $T$ ，无论你选择哪个信封，它都是固定的。但现在你信封里的钱因为它是更大的一个是明确的, $t \压裂{2}{3}$ ．还有你信封里的钱假设它是较小的一个是 $\压裂{T} {3}$ ．他从转换中获得的预期回报是那时

$\ mathbb {E}[文本{开关}\]= \压裂{1}{2}\压裂{2 t t}{3} + \压裂{1}{2}\压裂{T-2T} {3} = 0$

这意味着转换没有优点或缺点，这完全符合预期。

如果情境稍加修改，允许玩家在做出决定之前查看信封内部，显然的悖论仍然存在，因为这个机会不会给玩家新的信息(因为他会选择转换，使用朴素的期望值计算，而不管信封的价值)。

然而，事实证明，这个机会允许玩家选择更大的信封，其概率大于 $\压裂{1}{2}$ ！这是一个非常令人惊讶的结果，只有使用随机化策略．

首先，玩家选择a连续随机变量 $Z$ 在任何区间上都是正的;发行版本的选择并不重要(例如正态分布会很好的)。玩家首先选择一个随机数 $z$ 根据这个分布，并将它与信封里的数字进行比较 $米$ ．

这种策略的分析相对简单。有三种情况需要考虑:

案例1: $z$ 都小于两个信封里的数字。
在这种情况下，玩家会选择保留他的信封，不管1.a.是否有。玩家拥有更大的金额，即1.b。玩家拿的是小一点的。随机化在这里既不会帮助也不会伤害玩家;玩家仍然有均等的机会获得更大或更小的信封。
案例2: $z$ 都大于信封里的数字。
在这种情况下，玩家会选择换信封，不管2.a。玩家拥有更多的钱，即2。b。玩家拿着小一点的。再一次地，随机化在这里既不会帮助也不会伤害玩家;切换到更大或更小信封的机会是均等的。
案例3: $z$ 在每个信封的数字之间。
在本例中，如果3.a。玩家从较小的信封开始，他们会选择转换，最终得到较大的信封。如果3. b。如果玩家从更大的信封开始，他们便会选择留下。无论哪种情况，玩家最终都会得到更大的信封!

因此，只要第三种情况的发生概率为正，玩家就会得到更大的信封 $\压裂{1}{2}$ ．但事实确实如此 $Z$ 在任何间隔上都是正的(因此也是两个信封之间的间隔)，所以这个策略保证玩家的期望大于 $\压裂{1}{2}$ 概率。