三角形的圆

如果三角形的三条边都是一个圆的切线，那么这个圆就是圆弧。在这种情况下，这个圆被称为内切圆，它的中心被称为内在中心,或内心．

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由于三角形的三条边都是内切圆的切线，所以圆心到这三条边的距离都等于圆的半径。因此，在上图中，

$\ lvert \眉题{OD} \ rvert = \ lvert \眉题{OE} \ rvert = \ lvert \上划线的{}\ rvert = r,$

在哪里 $r$表示内切圆的半径。

同时，由于三角形 $大气气溶胶\三角形$而且 $\三角形效果范围$分享 $\眉题{AO}$作为一个方面， $\角度ADO=\角度AEO=90^\circ，$而且 $\ lvert \眉题{OD} \ rvert = \ lvert \眉题{OE} \ rvert = r,$它们是RHS全等的。因此 $\角度OAD=\角度OAE。$用同样的方法，我们还可以推导 $\角度OBD=\角度OBF，$而且 $\角度OCE=\角度OCF。$

有界三角形的另一个重要性质是我们可以考虑的面积 $三角形ABC \$等于三角形面积的和 $\三角形AOB,$ $\三角形中行,$而且 $\三角形- COA。$因为这三个三角形各有一条边 $三角形ABC \$作为底，和 $r$的高度，面积 $三角形ABC \$可以表示为

$(\text{三角形ABC的面积)=\frac{1}{2} \乘以r \乘以(\text{三角形的周长})。$

综上所述，有界三角形的三个基本性质如下:

• 从中心点到每个顶点的段平分每个角。
• 圆心到每边的距离等于内切圆的半径。
• 三角形的面积等于 $\frac{1}{2}\times r\times(\text{三角形的周长})，$在哪里 $r$是内切圆的半径。

在上图中，圆 $O$半径为3的 $\三角形ABC。$如果的周长 $三角形ABC \$是30，面积是多少 $三角形ABC \ ?$

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有界三角形的面积由公式给出

$\frac{1}{2} \times r \times (\text{三角形的周长})，$

在哪里 $r$是内切圆的半径。因此答案是

$\frac{1}{2} \乘以3 \乘以30 = 45。\ _ \广场$

在上图中，圆 $O$铭刻在 $三角形ABC \,$接触点在哪里 $D、E$而且 $F。$如果 $\ lvert \眉题{广告}\ rvert = 2, \ lvert \眉题{CF} \ rvert = 4$而且 $\ lvert \眉题{是}\ rvert = 3,$的周长是多少 $三角形ABC \ ?$

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因为圆是内切线 $三角形ABC \,$我们有

$\左转\超线{AD} \反转=左转\超线{AF} \反转，四转\超线{BD} \反转=左转\超线{BE} \反转，四转\超线{CE} \反转=左转\超线{CF} \反转。$

因此，周长 $三角形ABC \$是

$\begin{对齐}\左(\lvert \overline{AD} \反转+ \lvert \overline{AF} \反转\右)+左(\lvert \overline{BD} \反转+ \lvert \overline{BE} \反转\右)+左(\lvert \overline{CE} \反转+ \lvert \overline{CF} \反转\右)&= 2 \ * 2 +2 \ * 4 +2 \ * 3 \\ &= 18。\ _\方形\端{对齐}$

在上图中，点 $O$中心在哪里 $\三角形ABC。$如果 $\角度{BAO} = 35^{\circ}$而且 $\角{CBO} = 25^{\circ}，$是什么 ${ACO} \角吗?$

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自 $O$中心在哪里 $三角形ABC \$，我们知道

$\开始{对齐}\角BAO&=\角CAO\\角bo &=\角CBO\\角BCO&=\角ACO。结束\{对齐}$

因为三角形的三个角和为 $180 ^ \保监会,$我们有

$保\角{}+ \角{CBO} + \角{ACO} = \压裂{1}{2}\ times180 ^ \保监会= 90 ^ \保监会。$

因此，答案是 $90^\circ - 25^\circ - 35^\circ = 30^{\circ}。\ _ \广场$

在上图中，圆 $O$以三角形为圆弧 $\三角形ABC。$如果 $\角BAC = 40^{\circ}，$是什么 $\角中行吗?$

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画一个伴随段 $广告\眉题{}$给出右边的图表:

现在我们知道了

$\begin{aligned} \角BOC &= \角BAO + \角DBO + \角CAO + \角DCO\ \ &= \大(\角BAO + \角DBO + \角DCO\大)+ \frac{1}{2}\角BAC \\ &= 90^{\circ} + \frac{1}{2}\角BAC， \end{aligned}$

所以答案是 $90 ^ \保监会+ \压裂{1}{2}\ * 40 ^ \保监会= 110 ^{\保监会}。\ _ \广场$

在上图中，点 $O$中心在哪里 $\三角形ABC。$线段 $\眉题{DE}$通过 $啊,$平行于 $公元前\眉题{}。$如果 $\lvert \overline{BD} \rvert=3$而且 $\lvert \overline{CE} \rvert=4，$是什么 $\ lvert \眉题{DE} \ rvert吗?$

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自 $O$中心在哪里 $三角形ABC \$而且 $\眉题{DE}$平行于 $公元前\眉题{},$ $三角形\生化需氧量$而且 $COE \三角形$都是等腰三角形。因此, $\lvert \overline {BD} \rvert = \lvert \overline {DO} \rvert$而且 $\lvert \overline {CE} \rvert = \lvert \overline {EO} \rvert。$

然后，我们有

$\lvert \overline {DE} \rvert = \lvert \overline {BD} \rvert + \lvert \overline {CE} \rvert。$

因此，答案是 $3 + 4 = 7。$ $_ \广场$