泰勒级数近似

一个泰勒级数近似使用一个泰勒级数将一个数表示为一个多项式，该多项式的值与某一特定数的邻域内的数非常相似 $x$值:

$F (x) = F (a)+\frac {F '(a)}{1!} (x) + \压裂{f”(a)} {2 !} (x) ^ 2 + \压裂{f ^ {(3)} (a)} {3 !} ^ 3 + \ cdots (x)。$

泰勒级数是一种非常强大的工具，用于逼近那些很难用其他方法计算的函数，以及通过识别泰勒级数来计算无穷和和积分。

如果只关心离原点很近的邻居，那么 $n = 2$近似能充分地表示正弦波，不需要更高阶。^［1］

逼近值的建议步骤:

1. 确定一个函数，以类似于对所讨论的数字的操作。
2. 选择 $一个$成为一个数字 $f (a)$容易计算。
3. 选择 $x$为了使 $f (x)$这个数字是近似的。

用泰勒级数展开的前三项 $f (x) = \ sqrt [3] {x}$集中在 $x = 8$,近似 $\ sqrt [3] {8.1}:$

$f (x) = \ sqrt [3] {x} \大约2 + \压裂{(x - 8)}{12} - \压裂{(x - 8) ^ 2}{288}。$

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所示的前三项将足以提供一个很好的近似 $\ sqrt [3] {x}$．计算这个总数为 $x = 8.1$给出了 $\ sqrt [3] {8.1}:$

$\{对齐}开始f (8.1) = \ sqrt[3]{8.1} & \大约2 + \压裂{(8.1 - 8)}{12}- \压裂{(8.1 - 8)^ 2}{288}\ \ & = {# 3 d99f6}{2.008298} \颜色\颜色{# D61F06} {61111} \ ldots \ \ \ \ \ sqrt [3] {8.1} & = {{# 3 d99f6}{2.008298} \颜色\颜色{# D61F06}{85025} \点}。结束\{对齐}$

仅用三项，上面的公式就可以近似 $\ sqrt [3] {8.1}$精确到小数点后6位。 $_ \广场$

用二次泰勒多项式 $f (x) = \压裂{1}{x ^ 2},$近似 $4.41 \压裂{1}{}。$

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二次泰勒多项式是

$P_2(x) = f(a)+\frac {f'(a)}{1!} (x) + \压裂{f”(a)} {2 !} (x) ^ 2。$

首先，写出泰勒展开所需的导数:

$f (x) = \压裂{1}{x ^ 2}, \四f (x) = \压裂{2}{x ^ 3}, \四f (x) = \压裂{6}{x ^ 4}。$

但 $一个$和 $x ?$选择 $一个$这样导数的值就很容易计算。将近似值改写为

$4.41 = 0.1 (2 +) ^ 2$

意味着 $一个= 2$和 $x = 2.1。$

$\begin{aligned} P_2(2.1) &= f(2)+\frac {f'(2)}{1!}(2.1 - 2) + \压裂{f”(2)}{2 !} (2.1 - 2) ^ 2 \ \ & = \ frac14 + \压裂{\水平间距{3毫米}\压裂{2}{8}\水平间距{3毫米}}{1 !}(2.1 - 2) + \压裂{\水平间距{3毫米}\压裂{6}{16}\水平间距{3毫米}}{2 !} (2.1 - 2) ^ 2 \ \ & = \ frac14 + \压裂{1}{4}(0.1)+ \压裂{3}{16}(0.01)\ \ & = 0.25 - 0.025 + 0.001875 \ \ & = 0.226875。结束\{对齐}$

实际值是

$\压裂{1}{4.41}= 0.226757…$

所以这个近似误差只有0.05%。 $_ \广场$

1. IkamusumeFan。正弦GIF．2016年6月1日，从https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sine_GIF.gif