线性方程组(联立方程组)
一个线性方程组是一本线性方程它们包含相同的一组变量。作为一个例子,
是一个有两个变量的方程组吗 而且 线性系统的解是对满足系统中每个方程的变量赋值。对于一个给定的系统,我们可以有一个解,没有解或者无穷多个解。
类型
线性方程组如图所示:
- 不一致:如果一个线性方程组没有解,那么它被称为不一致。
- 一致:如果一个线性方程组至少有一个解,那么它就是一致的。
- 齐次方程组:如果线性方程组的常数项为零,即“=”号后的值为零,则称为齐次方程组。
- 平凡解和非平凡解:每个齐次方程组都有一个公共解,它是零因为它们对所有变量都有一个公共解,也就是0。这个解被称为平凡解。如果有其他解,它们就被称为非平凡解。
我们将探讨如何使用代换和消元法来解线性方程组。
代入法
在这种方法中,我们
- 找到一个关系,通过改变话题;
- 将关系式代入另一个方程,变量数量减少1;
- 重复,直到只剩下一个变量,然后解出它;
- 将解出的值代回关系式;
- 陈述完整的解决方案。
让我们按照上述步骤解出以下方程组:
步骤1:隔离变量 利用第二个方程: .
步骤2。将关系式代入另一个方程: .
步骤3。重复,然后求解。因为我们现在只有一个变量,解出它: .
步骤4。返回到关系中: .
第5步。说明完整的解决方案: .
解方程组
在这个例子中,因为我们已经给出了 在第二个方程中,我们知道 .把这个代入第一个方程,我们得到 ,因此 .
注意:使用哪个方程和分离出哪个变量很重要。在这个例子中,即使我们得到 从第一个方程,我们发现我们无法把它代入第二个方程,因为没有 术语。
解方程组
解第一个方程 给了 .把这个代入第二个方程得到 然后把这个值代入第一个方程,就得到 因此方程组的解为 .
对于一个给定的线性方程组,使用代换的方法可能不是最快也不是最简单的方法。然而,如果我们完成整个过程,我们总能找到解决方案。“系统”一词表示这些方程式应综合考虑,而不是单独考虑。因此,解对任何方程都不能失效。选择您的选项,以便您的计算是简单的,并使用任何适合您的方法。
消元法
消去法乘以给定的 具有适当常数的方程,以便当添加修改的方程时,消除其中一个变量。一旦这样做了,系统将有效地减少一个变量和一个方程。这个过程重复进行,直到只剩下一个变量和一个方程(即变量的值)。从那里,得到的值被代入有两个变量的方程,允许找到第二个变量的解。这个过程重复,直到所有的值 变量被发现。
方法
- 找到两个变量相同的方程。每个方程乘以一个数,使它们的系数相等。
- 两个方程相减。
- 重复,直到只剩下一个变量,然后解出它。
- 将解出的值代回原始方程以解出剩下的变量。
让我们按照上述步骤解出以下方程组:
第一步:将每个方程乘以一个数字,使一个变量的系数相同。
假设我们想消去这个变量 .
第一个方程乘以3,第二个方程乘以1,得到
第二步:两个方程相减:
第三步:重复并解决。
我们已经只剩一个变量了。解出它会给我们 .步骤4:将解出的值代回到关系中。
代入第一个方程,得到 .
线性方程组-更多变量
当我们有更多的变量要处理时,我们只需要记住坚持一种特定的方法,并不断减少方程或变量的数量。
我们将用两种方法来解下列方程组:
代入法
我们从上述三个方程中的第一个开始:
- 第一步:第一个方程给出 .
- 2 .替换 在第二个方程中,我们得到 代替 在第三个方程中,我们得到
- 步骤3。我们需要重复,直到只有一个方程。
现在,我们开始 两个方程中的一个 而且 上图:
- 第一步:方程式 给了我们 .
- 2 .替换 在 给了
- 第三步:我们现在只剩下一个等式。解出它会给我们 .
- 步骤4:替代 成 获得 现在,替代 而且 成 获得
- 第五步:因此,解决方案是
消元法
我们得到了与上述相同的线性方程组:
第一步:让我们排除 从方程。
步骤2。第一个方程减去第二个方程等于 第一个方程的三倍减去第三个等于
我们需要重复,直到只有一个变量。
步骤1。让我们消除 从方程。
步骤2。第四个方程减去第五个方程等于
步骤3。我们现在只剩下一个变量。解出它会给我们 .
步骤4。替代 进入第四个方程 获得 现在,替代 带入第一个方程 获得
第5步。因此,解决方案是
解下列方程组:
让我们从最后一个方程开始。解 ,我们获得
把这个代入第二个方程得到
把这个代入第一个方程
因此,我们现在已经将系统简化为一对具有两个变量的方程:
解 在第一个方程中,我们得到
把这个代入第二个方程得到
因此,
因此,的值 而且 满足给定方程组的是什么
基本行运算或高斯消去法
主要文章:用矩阵求解线性系统
初等行运算或高斯消去法是求解线性方程组的常用方法。通过这种方法,每个人都可以解线性方程组,只有通过你已经知道的矩阵行运算。下面解释了本节需要知道的术语。
增广矩阵:
一个方程组的增广矩阵是一个数字矩阵,其中每一行表示一个方程的常数,每一列表示单个变量的所有系数。设线性方程组为
则该线性方程组的增广矩阵为
什么是行阶梯形,行简化阶梯形,前面是1?
这个矩阵是行简化阶梯形
要成为这种形式,矩阵必须具有以下属性:
- 如果一行不完全由零组成,那么该行中的第一个非零数字就是1。我们称之为前导1。
- 如果有任何完全由0组成的行,那么它们被组合在矩阵的底部。
- 在任意两个不完全由0组成的连续行中,较低行的第一个1比较高行的第一个1更靠右。
- 每一列的前导是1,这一列的其他地方都是0。
一个具有前三个性质的矩阵被称为行阶梯形。如果这个矩阵有 性质,那么它就叫做行简化阶梯形。
通过初等行运算将矩阵变为行阶梯形:
利用初等行变换,可以将矩阵变换为行简化阶梯形,也可以将行简化为行简化阶梯形,具体如下:
- 交换矩阵的一行和另一行。
- 将矩阵的一行乘以一个非零标量常数。
- 把这一行替换成这一行加上一个常数乘以矩阵的另一行。
假设线性方程组是
它的增广矩阵是
现在,我们将对这个矩阵进行初等行变换并将其转化为行简化阶梯形:
最后矩阵为行阶梯形:
最后我们得到线性方程组的简化形式,即 通过解这个,我们得到