综合除法

综合除法求商和余数的简易方法是什么时候把一个多项式通过一个一元线性二项式 $（$这种形式的多项式 $x-k)。$

$\压裂{x ^ 3-3x x ^ 2 + 5 + 6} {x + 2} = x ^ 2-5x + 15 - \压裂{24}{x + 2} \ \$

这个过程相当于多项式除法，但它需要的文字要少得多。除了这个应用之外，综合除法还可以用来求多项式函数在某一值处的值。

当你用一个多项式除以一个一元线性二项式时，就可以使用合成除法。一个“一元线性二项式”就是一个多项式的形式 $x-k。$一元线性二项式的例子有 $x + 2,$ $* 4,$而且 $x + \压裂{4}{3}。$

执行 $(x^2 - 3x + 2) \div (x + 1)。$

前三个数是多项式的系数，依次是1 -3和2。左边写的“边项”是除以 $x - k,$所以我们写负1而不是正1。

最后一行的大部分是商的系数(注意商比原来的多项式小1次)，除了最后一个数是余数。

因此, $(x ^ 2 - 3 x + 2) \ div (x + 1) = x - 4 + \压裂{6}{x + 1}。$

这是一般的程序;接下来我们再看一个例子。

• (步骤1)把多项式的系数写成标准形式，按顺序写。的例子 $X ^2 + 2x + 6，$系数是1 2 6。如果有一个“缺失项”，那么必须使用一个或多个0。例如, $5x^4 + 2x^2 - 5$有系数5 0 2 0和-5。 $\大($形式上，“缺失项”意味着多项式至少可以用一项来表示 $0 x ^ k,$在哪里 $k$是小于多项式的次的非负整数。 $\大)$

• (步骤2)画一条竖线和条，如下所示。

• (步骤3)如果除以 $x-k,$在左边写 $k。$ $（$注意到减法;它的意思是如果除以 $x + 1,$即。 $k = 1)。$

• (步骤4)我们从多项式系数的最左边开始，把第一个系数“加”到下面的数字上——因为没有数字，我们“加”了0，然后把同样的数字写在这条线下面。

• (步骤5)我们用结果乘以这个值 $k$到左边。然后我们将结果对角线向上并从上一个位置向右移动。

• (步骤6)我们继续步骤4，并添加下一列(这一次有两个数字要添加)。

• (步骤7)继续第五步，取求和的结果，乘以 $k,$然后把结果写在对角线上和右边。

• (步骤8)步骤6和7继续，直到到达最后一列。最后的数是余数。 $（$如果余数为0，这意味着 $x-k$是原来多项式的因数。 $）$下面一行的其他数字表示乘法的结果;它们是商多项式的系数，商多项式的次数比原多项式的次数小1。

做部门的 $(3x^4 - 2x^2 + 3) \div (x - 2)。$

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请注意, $3x^4 - 2x^2 + 3 = 3x^4 + 0x^3 - 2x^2 + 0x + 3，$在写出综合除法时，我们需要“缺失项”。除以 $X - k = X - 2，$所以 $k = 2:$

这意味着 $\压裂{3 x ^ 4 - 2 x ^ 2 + 3} {x - 2} = 3 x ^ 3 + 6 x ^ 2 + 10 x + 20 + \压裂{43}{x - 2}。$ $_ \广场$

如果你想知道这个算法为什么有效，可以比较常规的长除法和合成的长除法。下面标有相同功能的数字。合成除法图只是将除法时通常发生的操作折叠起来 $(x-k)$变成一种更容易写的格式。

注意，我们通常用乘法和减法来做长除法，但因为我们已经把除数的符号颠倒了 $\大($通过使用 $(x-k)$而不是 $(x + k) \大),$我们已经解释过了;换句话说，第二项乘以-1加起来和减法是一样的。 $\大($事实上，我们有可能改变综合除法算法来使用减法并使边项为 $(x + k),$但上面的例子遵循传统的算法形式。 $\大)$

主要文章:其余因子定理

通过应用其余因子定理，我们可以用综合除法求多项式函数的值。