当你用一个多项式除以一个一元线性二项式时,可以使用合成除法。一个“一元线性二项式”就是一个多项式形式的
x−k.一元线性二项式的例子有
x+2,
x−4,而且
x+3.4.
执行
(x2−3.x+2)÷(x+1).
上面三个数字是多项式的系数,依次是1、-3和2。左边的边项是除以
x−k,所以我们写负1而不是正1。
最后一行的大部分是商的系数(注意商的阶比原来的多项式小1),除了最后一个数是余数。
因此,
(x2−3.x+2)÷(x+1)=x−4+x+16.
这是一般的程序;我们将用另一个例子来跟随它。
(步骤1)把多项式的系数按顺序写成标准形式。通过这个例子
x2+2x+6,系数是1 2和6。如果有“缺失项”,则必须使用一个或多个0。例如,
5x4+2x2−5系数是5 0 2 0和-5。
(形式上,“缺失项”意味着多项式至少可以写成一项
0xk,在哪里
k是小于多项式次的非负整数。
)
(步骤2)画一条垂直线和条,如下图所示。
- (步骤3)假设我们除以
x−k,左边写
k.
(注意减法;意思是如果除以
x+1,即。
k=−1.)
- (步骤4)我们从多项式系数的最左边开始,将第一个系数与它下面的数字“相加”——因为没有数字,所以我们是在“相加”0,然后在直线下面写上相同的数字。
- (步骤5)我们用结果乘以这个值
k左边。然后从上一个位置向右对角线向上。
- (步骤6)我们继续第4步,并添加下一列(这一次有两个数字要添加)。
- (步骤7)我们继续第5步,取求和的结果,乘以
k,把结果写在对角线上和右边。
- (步骤8)步骤6和7继续执行,直到到达最后一列。最后的数就是余数。
(如果余数是0,这意味着
x−k是原来多项式的因子。
)底部一行的其他数字表示乘法的结果;它们是商多项式的系数,商多项式的次比原多项式的次小1。
做除法
(3.x4−2x2+3.)÷(x−2).
请注意,
3.x4−2x2+3.=3.x4+0x3.−2x2+0x+3.,在写出合成除法时,我们需要"缺失项"我们除以
x−k=x−2,所以
k=2:
这意味着
x−23.x4−2x2+3.=3.x3.+6x2+10x+20+x−243..
□
如果你好奇为什么算法可以工作,将常规长除法算法与合成算法进行比较。在具有相同功能的数字下面有标记。综合除法图简单地折叠了通常在除法时发生的操作
(x−k)变成一种更容易写的格式。
注意,我们经常做长除法,先乘后减,但因为我们已经把除数的符号颠倒了
(通过使用
(x−k)而不是
(x+k)),我们已经解释过了;换句话说,第二项乘以-1再加和减是一样的。
(实际上,我们可以把综合除法改成减法,把边项改成
(x+k),但是上面的例子遵循了算法的传统形式。
)
求余数,当
x3.+4x2−5x+3.除以
x−2.