方差

方差是A.统计是，用于测量在偏差概率分布．偏差结果的倾向是否不同于预期价值．

研究方差允许一个量化多少变异是一个概率分布。这有大相径庭的结果的概率分布都会有很大的差异。有紧靠在一起的结果概率实验将有一个小变化。

探索此页上的差异是由不同样本方差，这是数据的样本的方差。

如果 $X.$是一个分布的数字离散随机变量 $P（X）$和预期值 $\亩= \文本{E}（X）$，这方差的 $X.$,表示 $\ sigma ^ 2$或 $\ text {var} [x]$,是

$\西格马^ 2 = \文本{VAR} [X] = \文本{E} \大[（X - \亩）^ 2 \大] = \ sum_x（X - \亩）^ 2 P（X）。$

注意，从定义，方差总是非负的，并且如果该方差等于零，那么随机变量 $X.$采用单个恒定值，这是它的预期值 $\μ。$

在这个总结的其余部分，假定 $X.$是与分布的离散数值的随机变量 $P（X）$和预期值 $\μ= E (X)。$以下定理给出另一种方法来计算方差。

随机变量的方差 $X.$是

$\文本{VAR} [X] = \文本{E} \大[X ^ 2 \大] - \亩^ 2。$

根据定义，

$\开始{对齐}\文本{Var} [X] & = {E} \ \文本大[(X - \μ)^ 2 \]大\ \ & = {E} \ \文本大[X ^ 2 - 2 \ \μμX + ^ 2大\]\ \ & = {E} \ \文本大[X ^ 2 \]大μ- 2 \ \ {E} [X] +文本\文本E{} \[\μ^ 2 \]大大文本{E} \ \ & = \ \ [X ^ 2大\]- 2大\ \ cdot \μμ+ \μ^ 2 \ \ & = {E} \ \文本大[X ^ 2大\]——\μ^ 2,结束\{对齐}$

第三条线是期望的线性。 $_ \平方$

什么是公平的方差，六面的骰子滚？

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让我们 $X.$是表示模具辊的结果的随机变量。据了解， ${E} [X] = \ \文本压裂{7}{2}$．

$\文本{E} [X ^ 2]$计算公式如下:

$\文本{E} \大[X ^ 2 \大] = \和\ limits_ {K = 1} ^ 6 {\ dfrac {1} {6} K ^ 2} = \ dfrac {1} {6} \倍\ dfrac {（6）（7）（13）} {6} = \ dfrac {91} {6}。$

则方差可计算为:

$文本{Var} \ [X] = {E} \ \文本大[X ^ 2大\]——\μ^ 2 = \ dfrac {91} {6} - \ dfrac {49} {4} = \ dfrac{35}{12} \约2.917。\ _ \广场$

方差的下列性质对应于许多期望值的性质．但是，其中一些属性具有不同的结果。

对于一个常数 $C.$那

$\文本{VAR} [C] = 0。$

我们有

$\begin{aligned} \text{Var}[c]&=\text{E}\Big[\big(c-E[c]\big)^2\Big] \\ &=\text{E}\big[(c-c)^2\big] \\ &=0.\ _\square \end{aligned}$

为随机变量 $X.$任何常数 $C.$那

$\ text {var} [cx] = c ^ 2 \ text {var} [x]。$

根据期望的性质， $\文本{E} [CX] = C \文本{E} [X] = C \亩$．然后,

$\ {Var}{对齐}\文本(cX) & = {E} \ \文本大[(cX - c \μ)^ 2大\]\ \ & = {E} \ \文本大[c ^ 2 (X - \μ)^ 2大\]\ \ & = c ^ 2 E{} \ \文本大[(X - \μ)^ 2 \]大\ \ & = c ^ 2 \文本{Var} [X]。\ _ \平方\ {端对齐}$

为随机变量 $X.$任何常数 $C.$那

$\text{Var}[X + c] = \text{Var}[X]。$

$文本\开始{对齐}\ {Var} [X + c] & = {E} \ \文本大[(X + c) ^ 2 \]大——(\μ+ c) ^ 2 \ \ & = {E} \ \文本大[X ^ 2 + 2残雪+大c ^ 2 \] - \大(\μc \ ^ 2 + 2μ+ c ^ 2 \大)\ \ & = {E} \ \文本大[X ^ 2 \]大+ 2 c \ {E} [X] +文本\大(μc ^ 2 - \ ^ 2 - 2 c \μc ^ 2 \大)\ \ & = {E} \ \文本大[X ^ 2大\]——\μ^ 2 \ \ & = {Var} [X] \文本。\ _ \平方\ {端对齐}$

以上两个定理说明了如何将随机变量平移或缩放一个常数来改变方差。第一个定理说明了随机变量的值按常数缩放 $C.$缩放通过方差 $c ^ 2$．这很直观，因为方差是由与均值之差的平方定义的。第二个定理表明，将所有变量平移一个常数不会改变方差。这也很直观，因为用常数转换所有变量也会转换预期价值，翻译值围绕翻译期望值的传播保持不变。

从线性属性预期价值对于任何两个随机变量 $X.$和 $y$那 $E（X + Y）= E（X）+ E（Y）。$然而，这并不适用于一般的方差。下面是一种特殊情况:

让我们 $X.$和 $y$是独立随机变量。然后

$\文本{VAR}（X + Y）= \文本{VAR}（X）+ \文本{VAR}（Y）。$

我们有

$文本\开始{对齐}\ {Var} (X + Y) & = E \大((X + Y) ^ 2 \大)——\大(E (X + Y) \大)^ 2 \ \ & = E (X ^ 2 + 2 XY + Y ^ 2)——\大(E (X) + E (Y) \大)^ 2 \ \ & = E (X ^ 2) + 2 E (XY) + E (Y ^ 2) - \大(E (X) ^ 2 + 2 E (X) E (Y) + E (Y) ^ 2 \大)\ \ & = E (X ^ 2) + 2 E (X) E (Y) + E (Y ^ 2) - E (X) ^ 2 - 2 E (X) E (Y) - E (Y) ^ 2 \ \ & = E (X ^ 2) - E (X) ^ 2 + E (Y ^ 2) - E (Y) ^ 2 \ \ & = {Var} (X) + \ \文本文本{Var} (Y),\结束{对齐}$

其中的计算 $E(xy) = E(x) E(y)$在第四行从随机变量的独立性如下 $X.$和 $y$． $_ \平方$

以下是上述定理的概括。

让我们 $X_1，X_2，\ LDOTS，X_K$是成对独立的随机变量。然后

$文本\ {Var} (X_1 + X_2 + \ cdots + xk) = {Var} (X_1) + \ \文本文本{Var} (X_2) +文本\ cdots + \ {Var} (xk)。$

对于非独立随机变量 $X.$和 $y$那

$\文本{VAR}（X + Y）= \文本{VAR}（X）+ \文本{VAR}（Y）+ 2 \ {文本冠状病毒}（X，Y）。$

我们有

$\ {Var}{对齐}\文本(X + Y) & = {X} \文本(X + Y、X + Y) \ \ & = \文本{X} (X, X) +文本\ {X} (Y, Y) + 2 \文本{X} (X, Y) \ \ & = {Var} (X) + \ \文本文本{Var} {X} (Y) + 2 \文本(X, Y)。\结束{对齐}$

来计算和的方差依赖随机变量，一个必须考虑到协方差．

当标准偏差随机变量的，记为 $\ sigma.$，为方差的平方根，即。

$\西格玛（X）= \ SQRT {\文本{VAR}（X）}。$

需要注意的是标准差的单位相同的数据。随机变量的方差也被表示为 $\ sigma ^ 2$．

有 $2$袋，每个包含球编号 $1$通过 $5.$．从每一个包, $1$球被移除。两个球的方差和标准差是多少?

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让我们 $X.$是随机变量表示这些值的总和。然后，概率分布 $X.$给出如下：

$\开始{阵列} {|l |l |l |l |l |l |l |l |l | l l | } \hline x & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & \\ \hline P(X=x) & \frac{1}{25} & \frac{2}{25} & \frac{3}{25} & \frac{4}{25} & \frac{5}{25} & \frac{4}{25} & \frac{3}{25} & \frac{2}{25} & \frac{1}{25} & \\ \hline \end{array}$

此前，预期值计算， $E (X) = 6。$因此,

$\ {Var}{对齐}\文本(X) = & E大\ [(X - \μ)^ 2 \]大\ \ = &(2 - 6)^ 2 \ \压裂{1}{25}+(3 - 6)^ 2 \ \压裂{2}{25}+(4 - 6)^ 2 \ \压裂{3}{25 } \\ & + ( 5 - 6) ^ 2 \ \压裂{4}{25}+(6尺6寸的大)交手^ 2 \ \压裂{5}{25}+(7)^ 2 \ \压裂{4}{25 } \\ & + ( 之后)^ 2 \ \压裂{3}{25}+(因)^ 2 \ \压裂{2}{25}+(10 - 6)^ 2 \ \压裂{1}{25}\ \ = & 4。\结束{对齐}$

然后，标准差为

$∑(X) =√{4}= 2。\ _ \广场$

$3.$滚动六面骰子。次数的次数和标准偏差是什么？ $3.$滚动了？

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让我们 $y$是代表的次数的随机变量 $3.$卷。下表列出了滚动不同数量的概率 $3.$S：

$\begin{array}{|c|cccc|} \hline \mbox{num 3s} & 0 & 1 & 2 & 3\\ \hline \mbox{probability} & \frac{125}{216} & \frac{75}{216} & & frac{15}{216} & \frac{1}{216}\\ \hline \end{array}$

预期的次数 $3.$卷IS $\压裂{1}{2}$，所以 $E (Y) = \压裂{1}{2}$．现在的目标是计算 $E (Y ^ 2):$

$E（Y 1 2）= \压裂{0 ^ 2 \倍125 + 1 ^ 2 \倍75 + 2 ^ 2 \倍15 + 3 ^ 2 \倍1} {216} = \压裂{144} {216}= \压裂{2} {3}。$

因此, $\文本{VAR}（Y）= \压裂{2} {3} - \左（\压裂{1} {2} \右）^ 2 = \压裂{5} {12}$和 $大概{\σ(Y) = \ \压裂{5}{12}}$． $_ \平方$

考虑一个有正面概率的硬币的独立抛掷序列的伯努利过程 $P.$．让我们 $X_I.$是具有随机变量 $X_I = 1$如果是 $我^ \ text {th}$Flip是正面 $X_I = 0$如果是 $我^ \ text {th}$翻盖尾巴。让我们 $y$是指示试验的次数，直到头的硬币翻转序列中的第一触发器的随机变量。什么是方差和标准差 $Y'$

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在预期价值维基，它被证明 $y$是一个几何分布随机变量 $E（Y）= \压裂{1} {P}$．然后

$\文本{VAR}（Y）= E（Y ^ 2） - \压裂{1} {P ^ 2}，$

在哪里

$\{对齐}开始E (Y ^ 2) & = 1 \ cdot p + 2 ^ 2 (1 - p) p + 3 ^ 2 (1 - p) ^ 2 p + 4 ^ 2 (1 - p) ^ 3 p + \ cdots \ \ \ \ & = p \大[1 + 4 (1 - p) + 9 (1 - p) ^ 2 + 16 (1 - p) ^ 3 +大\ cdots \]。\结束{对齐}$

为了计算这个和，考虑代数身份

$1+ x + x^2 + x^3 + cdots = {1-x}。$

首先对这个方程求导，然后整个乘以 $X.$，然后再次求导，

$\开始{对齐} 1 + 2×+ 3×^ 2 + \ cdots＆= \压裂{1} {（1-x）的^ 2} \\ X + 2×^ 2 + 3×^ 3个+ \ cdots＆= \压裂{X} {（1-x）的^ 2} \\ 1 + 4X + 9X ^ 2 + \ cdots＆= \压裂{1 + X} {（1-x）的^ 3}。\结束{对齐}$

这意味着

$\开始{对齐} E（Y 1 2）＆= P \压裂{1+（1-P）} {\大（1-（1-P）\大）^ 3} \\＆= \压裂{1+（1-p）} {p ^ 2} \\＆= \压裂{2-对} {p ^ 2} \\ \文本{VAR}（Y）＆= E（Y ^ 2） - \大（E（Y）\大）^ 2 \\＆= \压裂{2-对} {p ^ 2} - \压裂{1} {p ^ 2} \\＆= \压裂{1-p} {p 1 2} \\ \西格马（Y）＆= \ SQRT {\压裂{1-p} {p ^ 2}}。\ _ \平方\ {端对齐}$