量子隧道|卓越的数学和科学维基

量子隧穿指粒子进入的非零概率量子力学可以被测量到在经典力学中被禁止的状态。量子隧道的发生是因为存在一个非平凡的解薛定谔方程在一个经典的禁区，这对应于的大小的指数衰减波函数．

电子波函数通过势垒的隧穿。一个非零的波函数通过势垒[1]传输。

为了说明隧穿的概念，考虑尝试将一个电子限制在一个盒子里。人们可以尝试通过缩小盒子的壁来确定粒子的位置，这将导致电子波函数获得更大的动量不确定性海森堡测不准原理．随着盒子变得越来越小，测量电子在盒子外面的位置的概率增加到1，尽管传统上电子被限制在盒子里。

量子隧道最容易解决的例子是一维的。然而，隧穿是三维物理现象的主要原因，如放射性衰变、半导体和超导体的行为以及扫描隧穿显微镜。

一维势垒散射

从一维势垒上散射粒子是这样的:

穿过一维势垒的隧道[2]

假设势垒的高度是 $V_0$ 宽度是 $l$ 散射的粒子有能量 $E < V_0$ ．那么画面可以分为三个区域:

区域1 $(-\infty < x<0)$ ： $E > V(x)$
区域2 $(0 \le x \le L)$ ： $E < V (x)$
区域3 $(L < x< \infty)$ ： $E > V(x)$ 在哪里 $V (x) = 0;x < 0$ ， $V (x) = V_0; x = 0, 0 < x < L$ 而且 $V (x) = 0, x > L。$

在区域1时，势为零。因此，一个移动的波的能量大于势能。这在区域3．然而,在区域2时，波的能量小于势。因此，Schrödinger方程根据区域产生两个不同的微分方程:

区域1而且区域3 $d \压裂{{}^ {2}\ psi} {d {x} ^ {2}} = {k} ^ {2} \ psi, k = \ \四倍根号{\压裂我{2}{{\百巴}^ {2}}}$
区域2 $\压裂{{d} ^ {2} \ psi} {d {x} ^ {2}} = {\ kappa} ^ {2} \ psi \四\ kappa = \√6{\压裂{2 m (ve)}{{\百巴}^{2}}}。$

通解可以写成区域1和区域3中振荡项的线性组合，以及区域2中增长指数和衰减指数的线性组合:

$\ psi (x) = \开始{病例}{Ae} ^ {ikx} +{是}^ {ikx} \四& \文本{:地区1}\ \ {Ce} ^ {x} \ kappa + {De} ^ {- \ kappa x} \四& \文本{:地区2}\ \{菲}^ {ikx}和{:地区3}\文本。\{病例}结束$

注意，向右传播的平面波是这种形式的 ${e} ^ {ikx}$ 向左传播的平面波是这种形式 ${e} ^ {ikx}$ ．在这个实验中，一个粒子(平面波)从左边进入，将部分传输和部分反射。然而，没有粒子从右边进入左边;因此，没有 $通用^ {ikx}$ 在区域3的上述条款。

上述系数由波函数及其导数在电位变化的每一点上的连续性确定。我们从点的连续性得到两个条件 $x = 0$ 而且 $x = L$ ：

1） $A + B = C + D$
2） ${Ce}^{\kappa L}+{De}^{-\kappa L}= {Fe}^{ikL}$

这两个条件来自于导数的连续性 $x = 0$ 而且 $x = L$ ：

3） $Aik-Bik = C \ kappa-D \卡帕$
4） ${C \ kappa e} ^ {\ kappa L} - {D \ kappa e} ^ {- \ kappa L} ={杞人忧天}^ {ikL}。$

3)除以 $本土知识$ 加上1)得到

5) $左(1 + 2 = \ \压裂{\ kappa}{本土知识}\右)C + \离开(1 - \压裂{\ kappa}{本土知识}\右)D。$

同理，4)除以 $\卡巴$ 加上或减去2)得到

6) $2 c {e} ^ {\ kappa L} = \离开(1 + \压裂{本土知识}{\ kappa} \右)F e {} ^ {ikL}$
7) $2 d {e} ^ {- \ kappa L} = \离开(1 - \压裂{本土知识}{\ kappa} \右)F e {} ^ {ikL}。$

结合5)，6)和7)可以得到 $一个$ 在这方面 $F:$

$左(1 + 2 = \ \压裂{\ kappa}{本土知识}\)\离开(1 + \压裂{本土知识}{\ kappa} \) \压裂{F e {} ^ {ikL} {e} ^ {- L \ kappa}}{2} + \离开(1 - \压裂{\ kappa}{本土知识}\)\离开(1 - \压裂{本土知识}{\ kappa} \) \压裂{F e {} ^ {ikL} {e} ^ {\ kappa L}} {2},$

可以重新安排到哪个

$\压裂{{e} ^ {-ikL}} {F} = \ cosh {(\ kappa L)} + i \离开(\压裂{{\ kappa} ^ {2}, {k} ^ {2}} {2 k \ kappa} \) \ sinh {(\ kappa L)}。$

现在波穿过势垒的概率等于波函数进入势垒的概率区域3除以波函数的概率区域1．用上面的方程乘以它的共轭并求倒数，传输的概率因此被量化为

$F T = \压裂{| | ^ 2}{| | ^ 2}={左\[{{\文本{cosh}} ^ {2} (L \ kappa) + \离开(\压裂{{\ kappa} ^ {2}, {k} ^ {2}} {2 k \ kappa} \右)}^{2}{\文本{sinh}} ^ {2} (\ kappa L) \]} ^{1}。$

自 ${\文本{cosh}} ^ {2} (x) -{\文本{sinh}} ^ {2} (x) = 1$ ，

$左左T ={\[1 + \(\压裂{{k} ^ {2} + {\ kappa} ^ {2}} {2 k \ kappa} \右){\文本{sinh}} ^ {2} (\ kappa L) \]} ^{1}。$

定义 $左(\ \β= \压裂{{k} ^ {2} + {\ kappa} ^ {2}} {2 k \ kappa} \右)$ 使解决方案更紧凑:

$T = \压裂{1}{1 +{\β}^{2}{\文本{sinh}} ^ {2} (\ kappa L)}。$

这也可以写成能量的形式

$T = \境(1 + \压裂{V_0 ^ 2} {4 E (V_0 - E)} \ sinh ^ 2 \离开(\压裂{L}{\百巴}\ sqrt {2 m (V_0 - E)} \) \境)^{1}。$

自然，反射的概率是 $1 - t$ ；因此,

$R = \压裂{{\β}^{2}{\文本{sinh}} ^ {2} (\ kappa L)}{1 +{\β}^{2}{\文本{sinh}} ^ {2} (\ kappa L)}。$

从宏观上看，物体与墙壁相撞会发生偏转。这类似于反射概率为100%，传输概率为0%。上面的例子表明，如果物质波有足够的能量或势垒足够窄，那么物质波有可能以一定的概率“穿墙” $（$ 小 $L)。$ 注意，对于非常宽或很高的障碍物 $(左$ 非常大的 $）$ 或 $v0 \g E;$ 的 $\ sinh$ 表达式中的项 $T$ 去 $\ infty$ 收益率, $T \约0:$ 对于一个非常宽或很高的屏障，几乎没有传播。

下面的动画显示了一个局部波函数隧穿一维势垒，通过演化随时间变化的Schrödinger方程:

波包散射通过一个非常高，非常窄的势垒。请注意反射和传输组件[3]的存在。

挑战问题:导出矩形电势的透射系数好吧

$V(x) = \begin{cases} -V_0 \quad & 0$

我们有
$T = \境(1 + \压裂{V_0 ^ 2} {4 E (V_0 + E)} \罪^ 2 \离开(\压裂{L}{\百巴}\√6 m (V_0 + E){2} \) \境)^{1}。\ _ \广场$

0

1.81 \乘10^{-6}

7.24 \乘10^{-4}

3.62 \乘10^{-3}

假设一个有能量的电子 $1 \text{eV}$ 遇到一维高度势垒 $3 \text{eV}$ 和宽度 $1 \text{nm}$ ．

电子穿过势垒的概率是多少?

伽莫夫放射性衰变模型

量子隧穿的最初应用之一是解释α衰变，即原子核的放射性衰变导致α粒子(氦核)的发射。相关的模型称为伽莫夫模型以它的创造者George Gamow命名[4]。伽莫夫将α粒子在核内所经历的势能建模为核区域内的有限平方阱和核外的库仑斥力，如图所示:

$一个阿尔法粒子，其能量由红线所示，受伽莫夫势能限制。$r = 0$附近的阱近似于强核力的吸引动力学。$ 一个阿尔法粒子，其能量由红线所示，受伽莫夫势能限制。附近的井 $R = 0$ 是强核力吸引动力学的近似值。

对应的电势可以写成如下形式:

$V = \开始{病例}-V_0 \四描述:< r_0 \ \ \ \ \压裂{1}{4 \π\ epsilon_0} \压裂{2 z e ^ 2} {r} \四& r > r_0。\{病例}结束$

高级量子力学中的一个事实是传输概率 $T$ 很接近于

$T = e^{-2\gamma}，$

在哪里 $\γ$ 定义为

$γ= \ \压裂{1}{\百巴}\ int_ {r_0} ^ {r_1} \√6 {2 m \大(V (r) - E \大)}\,博士,$

而且 $r_0, r_1$ 这些点是能量所在吗 $E$ 与势能相交 $V(右)$ ．

对伽莫夫模型进行积分，假设 $R_1 \gg r_0$ 这样，就得到了结果

$γ= \ \压裂{\ sqrt我{2}}{\百巴}\离开(\压裂{\π}{2}r_1 - 2 \√{r_0 r_1} \右)。$

尽管半径 $r_0$ 而且 $r_1$ 尚不清楚先天的，重要的部分是对数的寿命依赖于 $E ^ {2}$ ，可以通过实验证实。发射的阿尔法粒子的能量可以用

$E = (m_p - m_d - m_{\alpha}) c^2，$

在哪里 $m_p$ 是原子核衰变前的质量， $m_d$ 原子核的质量是衰变产物吗 $m_{\α}$ 是粒子质量。

$γ= \ \ dfrac{1}{\百巴}\ int_ {r_0} ^ {r_1} \ sqrt {2 m (ve)} \,博士$

假设原子核的电荷和能量 $E$ 原子核中粒子的变化使得上面的方程变成 $\gamma - \frac{\ln 2}{2}$ ,在那里 $r_0$ 而且 $r_1$ 这些点是能量所在吗 $E$ 与势能相交 $V$ ．

在给定时间内alpha衰减的概率(传输系数)通过什么因素发生变化?

量子隧穿的更多应用

量子隧穿是许多早期困扰科学家的物理现象的原因 $20 ^ \文本{th}$ 世纪。第一个是放射性，通过伽莫夫的α衰变模型，以及通过电子隧穿到原子核被质子捕获。量子隧穿的另一个广泛应用领域是材料中电子的动力学，如显微镜、半导体和超导体。

扫描隧道显微镜

扫描隧道显微镜[5]的图解设置。

扫描隧道显微镜是一种非常灵敏的设备，用于在原子水平上绘制材料的地形图。它的工作原理是在材料表面上运行一个只有单原子厚度的极其锋利的尖端，尖端的电压高于材料。这个电压允许不可忽略的穿隧电流电子从材料表面的隧道中流过，通过空气所代表的势垒，到达显微镜的尖端，完成一个电路。通过测量在给定距离上流过的电流量，显微镜可以分辨出原子在材料表面的位置。

隧道二极管

在隧道二极管中，两个p型和n型半导体被称为损耗区的薄绝缘区隔开。回想一下，p型半导体中掺杂了少带一个价电子的杂质原子，而n型半导体中掺杂了多带一个价电子的杂质;由于掺杂剂提供的额外电子或“空穴”，两者都允许导电更容易发生。在损耗区，没有传导电子;电子被消耗到其他区域。隧道二极管的主要作用是，施加的电压可以使n型半导体隧道中的电子通过损耗区，在低电压下向p型半导体产生单向电流。随着电压的增加，电流随着损耗区域的扩大而下降，然后在高电压下再次增加，以发挥正常二极管的功能。隧道二极管的能力，直流电在低电压由于隧道允许他们工作在非常高的交流频率。

约瑟夫森结

有些半导体材料是超导体，这意味着在一定的温度范围内，电流可以无限流动而不会发生电阻加热。在约瑟夫森结中，两个超导半导体被一层薄薄的绝缘屏障隔开。在约瑟夫森效应，超导电子对(库珀对)可以隧穿这个势垒，携带超导电流通过结。

参考文献

[1]由最初的上传者是Jean-Christophe BENOIST在法国维基百科-从fr.wikipedia转到Commons。， CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=653747。

［2］图片来自https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1d/TunnelEffektKling1.png，基于知识共享许可，允许重复使用和修改。

［3.］由Yuvalr(自己的作品)[CC By -sa 3.0 (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)]，通过维基共享资源

［4］大卫·格里菲思。量子力学概论．第二版。皮尔逊:上马鞍河，新泽西州，2006年。

Kristian Molhave为《纳米科学和纳米技术开源手册》绘制的插图。

引用:量子隧穿。Br我lliant.org．检索从//www.parkandroid.com/wiki/quantum-tunneling/

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