波函数与测量
有关……
- 经典力学>
一个
内容
波函数作为概率分布
位置波函数
1)波函数必须是平方可积的,归一化为
任意平方可积波函数可以被归一化,使上面的方程通过除以它们的范数成立。注意,平方可积性相当于波函数衰减到零的速度比
2)随着时间的推移,波函数保持归一化,因此在某处找到粒子的总概率总是100%。这相当于要求Schrödinger方程不断地求解:
3)任何物理可观察到的平均值被定义为期望值。例如,平均位置
期望值类似于从重复实验中平均测量得到的值,经典。
gydF4y2Ba在世界上的量子描述中,一个粒子可以以其波函数所规定的不同概率程度存在于空间的任何地方。一旦测量粒子在某个位置,波函数
当粒子的位置或动量具有某种波函数时
方差的平方根是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/standard-deviation/" class="wiki_link" title="标准偏差gydF4y2Ba" target="_blank">标准偏差一个>,它量化了粒子的位置或动量的不确定性。位置和动量的标准差满足一种叫做<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/heisenberg-uncertainty-principle/" class="wiki_link" title="海森堡测不准原理gydF4y2Ba" target="_blank">海森堡测不准原理一个>:
一个特定位置的波函数由:
Ψ(x)=一个e−x2/2
对于某个常数
如果波函数是标准化的,那么
在上面的最后一个等式中,注意的相位
gydF4y2Ba认识到这个波函数是一个以原点(均值)为中心的高斯函数
因此,位置不确定度为
希尔伯特空间和算子
波函数存在于一种叫做a的数学空间中<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/hilbert-space/" class="wiki_link" title="希尔伯特空间gydF4y2Ba" target="_blank">希尔伯特空间一个>由于它们的数学特性。希尔伯特空间对于将点积(内积)推广到任意多维(到无限维)尤为重要。下面是在QM中使用希尔伯特空间的性质的总结。
1)希尔伯特空间中的向量通常用
gydF4y2Ba的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/adjoint/?wiki_title=adjoint" class="wiki_link new" title="伴随gydF4y2Ba" target="_blank" rel="nofollow">伴随一个>
v__向量的
在无限维希尔伯特空间中,状态的伴随是对应函数的复共轭,因为转置在函数上是没有意义的。
gydF4y2Ba狄拉克符号中的内积可以很方便地写成:
狄拉克符号也很方便,因为它可以很容易地推广到无限维希尔伯特空间的情况。两个函数的内积
计算一个周期内的内积
[ 0,2π)的罪 (米x)而且因为 (nx)在哪里米 而且n 都是整数。
直接代入公式,内积为:
∫ 02π罪(米x)因为(nx)dx.使用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/sum-and-difference-formulas/" class="wiki_link" title="和和和差三角公式gydF4y2Ba" target="_blank">和和和差三角公式一个>,积分可改写为:
∫ 02π罪(米x)因为(nx)dx=∫02π21(罪((米+n)x)+罪((米−n)x))dx=0,因为每一项都给出了一个积分
罪 函数的周期为整数。这个公式不管什么都成立米 而且n 的正交性罪 而且因为 函数是傅里叶级数定义良好的原因。
在QM中,函数内积的区间通常是(但不总是)
2)矩阵的线性变换
3..)函数是
4)函数的集合是
假设
sin和cos函数
罪 (米x)而且因为 (nx),在那里米 而且n 整数,是在紧凑区间上具有周期性的函数的完整集合。正弦和余弦函数的线性组合可以表示任意周期函数,称为<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/fourier-series/" class="wiki_link" title="傅里叶级数gydF4y2Ba" target="_blank">傅里叶级数一个>关于这个函数。写出锯齿波的傅里叶级数:f(x)={2x,f(x±2),0≤x<2否则.
注:以上定义是指
f (x)在定义区域外是周期性的,如下图所示:
外,2).来自[1]的图像。 [ 0
如果向下平移
2 1时,锯齿波为奇函数。还要注意,给定的锯齿波已经在振幅上标准化了。因此我们唯一需要计算的系数就是c n对应于正弦函数:
c n=∫02f(x)罪(nπx)dx=21∫02x罪(nπx)dx=−nπ1,其中积分采用分部积分法。所以锯齿波的傅里叶级数是
f (x)=21−π1n=1∑∞n罪(nπx).这就把锯齿波分解成一个无限正交函数集的线性组合,也就是三角函数。
在QM中,位置、动量和能量现在被称为可观测值,每个可观测值由<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/hermitian-operator/?wiki_title=Hermitian operators" class="wiki_link new" title="埃尔米特运营商gydF4y2Ba" target="_blank" rel="nofollow">埃尔米特运营商一个>或
gydF4y2Ba为了证明算子是厄米的,考虑算子期望的积分定义
如果
要用算子本征函数的基来表示任何函数,可以使用所谓的
在哪里
右边给出了
在动量基中写出位置算子的本征函数,反之亦然。
位置算子的本征函数是那些乘以的函数
gydF4y2Ba把它们写成动量的形式,就可以得到
与函数的积分表达式相比较
包括
取复共轭,得到位置基上动量的本征函数:
动量基中动量的本征函数为
gydF4y2Ba一种更简单的写法是用狄拉克符号来表示给定基下的状态:
测量和换向器
一旦测量了一个粒子的位置或动量,该粒子的波函数就坍缩为相应算子的本征函数。因此,测量的顺序会影响结果,因为第一次测量会导致与第二次测量不同的波函数的坍缩。测量波函数的概率
假设有两个操作符
ψ2=51(4ϕ1−3.ϕ2).
B^也有两个特征值
gydF4y2Ba你做了一个初始测量
测量的这种顺序依赖可以通过这样一个事实来捕捉,即可观测对象是由运算符表示的,而运算符不一定是可交换的。从数学上讲,运算符是否交换是由它们给出的
如果两个操作符通勤,那么
由于这些算子作用于函数,所以引入一个测试波函数
因此:
这个方程被称为
gydF4y2Ba通过巧妙地利用对易子,人们可以推导出可观测物期望值的时间演化,称为
根据乘积法则,时间导数可以写成:
在哪里
现在
对于任何不依赖于时间的算子如位置或动量,期望值的时间依赖完全取决于算子与哈密顿量的对易。值得注意的是,对于位势与时间无关的位置和动量,埃伦费斯特定理可简化为
而且
这和这些可观测物体的经典运动方程是一样的。因此,埃伦费斯特定理通过期望值提供了量子量和经典量之间的联系。
参考文献
[1]魏斯坦,埃里克·W。
[2]大卫·格里菲思。
现有的用户?<一个href="//www.parkandroid.com/account/login/?next=/wiki/wavefunctions-and-measurement/" id="problem-login-link-alternative" class="btn-link ax-click" data-ax-id="clicked_login_from_problem_modal" data-ax-type="button" data-is_modal="true" data-next="/wiki/wavefunctions-and-measurement/">登录一个>
问题加载…