倒数三角函数

我们首先通过研究直角三角形边长之间的关系来探讨三角函数的互反。

回忆一下，三角函数把直角三角形的内角和边长之比联系起来。已知以下三角形:

与 $0^\circ < \theta < \frac{\pi}{2}，$我们有基本的三角函数

$c \开始{数组}{}& \罪\θ= \压裂{b} {c}, & \ cosθ= \ \压裂{一}{c},谭& \ \θ= \压裂{b}{} \{数组}结束$

还有三角函数的倒数

${对齐}\ \开始csc \θ& = \压裂{1}{\罪\θ}= \压裂{c} {b} \ \ \ \ \秒\θ& = \压裂{1}{\ cosθ\}= \压裂{c}{} \ \ \ \ \床\θ& = \压裂{1}{\ tan \θ}= \压裂{一}{b}。结束\{对齐}$

我们还可以将倒数三角函数连接到单位圆，类似于我们将基本三角函数连接到单位圆的方式:

单位圆

我们有

${对齐}\ \开始csc \θ& = \压裂{1}{\罪\θ}= \压裂{\文本{半径}}{y} = \压裂{1}{y} \ \ \ \ \秒\θ& = \压裂{1}{\ cosθ\}= \压裂{\文本{半径}}{x} = \压裂{1}{x} \ \ \ \ \床\θ& = \压裂{1}{\ tan \θ}= \压裂{x} {y}。结束\{对齐}$

对于倒三角函数，有一些值是需要记住的:

$c c \开始{数组}{| | | | c c c | | |} \线\θ& 0 ^ \保监会& \压裂{\π}{6}= 30 ^ \保监会& \压裂{\π}{4}= 45 ^ \保监会& \压裂{\π}{3}= 60 ^ \保监会& \压裂{\π}{2}= 90 ^ \保监会\ \ \线\ csc \θ& \ infty & \压裂{2}{\ sqrt{1}} & \压裂{2}{\ sqrt{2}} & \压裂{2}{\ sqrt{3}} & \压裂{2}{\ sqrt{4}} \ \ \线\秒\θ& \压裂{2}{\ sqrt{4}} & \压裂{2}{\ sqrt{3}} & \压裂{2}{\ sqrt{2}} & \压裂{2}{\ sqrt {1}} & \ infty \ \ \线\床\θ& \ infty大概{3}& 1 & & \ \压裂{1}{\ sqrt{3}} & 0 \ \ \线\{数组}结束$

通过记住<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/basic-trigonometric-functions/" class="wiki_link" title="基本三角函数的特定值" target="_blank">基本三角函数的特定值和上面的基本函数和互反函数之间的关系，这些具体的值很容易回想起来。

我们已经看到，基本三角函数在平面的四个象限中有如下行为:

因为所有的基本三角函数在第一象限都是正的，所以倒数三角函数在第一象限也都是正的。类似地，我们有平面剩余象限内三角函数的互反行为:

的价值是什么 $\θ$在范围内 $0 \leq \theta < 2 \pi$这样 $\cot \theta = 1?$

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从上面的单位圆图中，我们可以看到 $\theta = \frac{\pi}{4}$而且 $\theta = \frac{5\pi}{4}$满足

$罪\开始{对齐}\ \离开(\压裂{\π}{4}\右)& = \因为\离开(\压裂{\π}{4}\右)= \压裂{\ sqrt{2}}{2} \ \ \罪\离开(\压裂{5 \π}{4}\右)& = \因为\离开(\压裂{5 \π}{4}\右)= - \压裂{\ sqrt{2}}{2}。结束\{对齐}$

因此，这些值满足 $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = 1$．我们还观察到这条线 $y = x$的这两个值与单位圆相交 $\θ$的值 $\θ$满足要求的条件是 $\theta = \frac{\pi}{4}$而且 $\theta = \frac{5\pi}{4}。$ $_ \广场$

的值 $\θ$在范围内 $0 \leq \theta < 2\pi$函数是 $\csc \theta， \sec \theta，$而且 $\床\θ$没有定义?

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由上面的定义 $\csc \theta， \sec \theta，$而且 $\床\θ,$我们看到了 $\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}$当未定义时 $\sin \ = 0$，发生在 $\theta = 0， \pi$．

同样的, $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$没有定义 $\cos \ = 0$，发生在 $\theta = \frac{\pi}{2}， \frac{3\pi}{2};$ $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$没有定义 $\sin \ = 0$，发生在 $\theta = 0， \pi。$ $_ \广场$