极坐标方程-面积

曲线下的面积可以用两种方法来确定笛卡儿平面与矩形 $(x, y)$坐标,极坐标．比如极坐标方程 $r = f(\θ)$描述了一个曲线。这个公式极坐标曲线下的面积为下式:

考虑极坐标曲线的弧 $r = f(\θ)$跟踪, $\θ$不同 $\ theta_1$来 $\ theta_2$．如果这个弧限定了平面的一个封闭区域，那么这个区域的面积就是 $\压裂{1}{2}\ int_ {\ theta_1} ^ {\ theta_2} r ^ 2 \ \ dθ= \压裂{1}{2}\ int_ {\ theta_1} ^ {\ theta_2} f(\θ)^ 2 \ \ dθ。$

考虑一个有半径的圆 $r$；与…相对的圆的扇形 $\θ$将区域 $\πr ^ 2 \ cdot \压裂{\θ}{2 \π}= \压裂{1}{2}r ^ 2 \θ。$

角度的微小变化 $\θ$,从 $\θ$来 $θ+ d \ \θ$，平面被极曲线扫过的区域 $r = f(\θ)$近似为圆形扇形，故有面积 $\压裂{1}{2}\ r ^ 2 dθ。$对这个因子在区间内积分 $(1) (2$给出曲线扫过的面积为 $\压裂{1}{2}\ int_ {\ theta_1} ^ {\ theta_2} r ^ 2 \ \ dθ,$这就是我们想要的公式。

有半径的圆的面积是多少 $R$？

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半径圆 $R$被极坐标方程扫出 $r =$作为 $\θ$不同 $0$来 $2 \π$．因此，圆的面积是 $\压裂{1}{2}\ int_{0} ^{2 \π}R ^ 2 \ \ dθ= \压裂{1}{2}\ \ cdot 2πR ^ 2 = \πR ^ 2。$

一个增长曲线是由极坐标方程定义的 $r = \ cos(3 \θ)$．这条曲线有三个“花瓣”;其中一朵花瓣的面积是多少?

三瓣玫瑰曲线图。

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作为 $\θ$不同 $- \π/ 6$来 $\π/ 6$，曲线勾勒出一片花瓣。因此，花瓣的面积是 $\压裂{1}{2}\ int_{- \π/ 6}^{\π/ 6}\ cos ^ 2θ)(3 \ \,d \θ= \压裂{1}{2}\离开(\压裂{\θ}{2}+ \压裂{\罪(6 x)}{12} \) \ \大vert_{- \π/ 6}^{\π/ 6}= \压裂{\π}{12}。$