交通堵塞物理学

单个汽车的路径，伴随着一波交通堵塞穿过它们

交通堵塞是汽车在道路上行驶速度的突然变化。在右图中，汽车以一种速度移动，然后进入一个“扭结”，它们开始以不同的速度移动。这个扭结就是堵塞，它以一定的速度向后移动。使用与流体动力学类似的物理推理，就有可能找出给定的拥堵如何通过一排汽车。

交通堵塞的数学模型在概念上很有趣，在经济上也很重要。在美国，交通堵塞造成的金钱和时间浪费估计达1600亿美元。^[1]如今，像微软这样的公司可以使用实时交通数据，提前一小时预测拥堵情况。^[２]

汽车不会自发地从路上出现或消失。用物理学的语言来说，就是这样守恒的．对于任何路段，如果该路段的车辆密度保持不变，那么流入该路段的车辆流量等于流出该路段的车辆流量。如果车流不平衡，密度增加的速度必然取决于车流流入和流出的速度之差。速度 $v$汽车的运动速度，以及密度 $k$单位长度有多少个。在任何时候通过某一点的汽车的总流量就是产品 $q = vk$，单位是每次的车。

假设在一维道路上画一条线。通过这条线一边的汽车数量等于通过另一边的汽车数量，因为这条线是无限细的。这条定律同样适用于直线移动的情况。要看到这一点，请注意以速度移动的汽车 $v$在静止线上行驶就像汽车静止不动，而直线以速度向后移动 $- v$．

这一事实可以用来确定激波的速度，或流速突然变化的直线。随波的速度而动 $v_ {w}$．相对于地面，波左边(前)的车辆速度为 $v_L$向右的速度是 $v_R$．从冲击波的角度看，左边的车以一定的速度移动 $v_ {L} - v_ {w}$右边的车以速度移动 $v_ {R} - v_w$．将激波框架两边的流量相等:

$\{对齐}开始k_ {1} (v_ {1} - v_w) & = k_R (v_R - v_w) \ \ q_L——k_L v_w & = q_R - k_R v_w \ \ v_w & = \压裂{q_R - q_L} {k_R - k_L}。结束\{对齐}$

算出 $v_w$从密度来看，需要有一种方法来把流速表示成密度的函数， $问(k)$．最简单的模型是线性的: $Q (k) = v_{max} (k_{max} - k)$．如路上没有其他车辆( $k = 0)$在美国，汽车将以限速行驶。随着密度的增加，速度下降，直到它们根本无法移动，因为有太多的车:

$Q (k) = v_{max} k (k_{max} - k)。$

这是的二次函数 $k$．每增加一辆新车，净流量就会增加到一个最大值，然后总流量就会下降，直到没有车在移动。这是因为每增加一辆新车，速度就会降低所有其他的车，所以有一个权衡。由于这个原因，交通堵塞可以被认为是一种形式的公地悲剧．如果所有司机都同意与前车保持合理的距离，汽车密度就会保持在最佳水平，他们都能更快地到达目的地。但如果每一辆车都贪婪地试图在停下来之前尽可能地领先，那么每个人的速度都会变慢。

基本交通流图为特定形状 $问(k)$．

的情节 $问(k)$被称为交通流基本图，因为汽车的速度和冲击波可以从它上面读出。

自 $k v = \压裂{q} {}$，汽车的速度由直线的斜率给出，直线从原点开始，到该点结束 $(k, q (k))$．冲击波的速度由连接这条线的斜率表示 $(k_L q_L)$而且 $(k_R q_R)$，因为这正是上面给出的方程 $v_ {w}$．这个几何表示证明了冲击波的速度必须总是小于或等于汽车的速度。曲线上一点与另一点之间的直线斜率总是小于从原点到该点的直线。

人们可以在堵车时用实验来验证这一事实。由于波的速度总是小于交通速度，所以从驾驶员的角度来看，波总是会向汽车方向移动。这可以看作是一连串的刹车灯指向汽车。

相对于地面，冲击波的速度可以是正的，也可以是负的。如果密度大于最大流量的密度，那么密度的任何增加都会产生一个反向的波(因为 $q_R——q_L$是负的, $k_R——k_L$是积极的)。但是，如果密度较低，施加一个小的激波，激波相对于地面会向前移动，因为相对于车流，向前的激波要大于向后的激波。

上述守恒论证引出了一个微分方程，有时被称为守恒方程．这个微分方程还支配着电路中的电荷流和电磁波中的能量，以及某些量守恒的其他现象:

$\frac{\partial q}{\partial x} + \frac{\partial k}{\partial t} = 0$

换句话说，就是一个小盒子两边的流量变化( $\压裂{\部分q} {x} \部分$)与小盒子内的密度变化( $\压裂{\部分k}{\部分t}$)．给定某一时刻整个道路上的流量和密度，这个方程给出了未来所有点的行为。它是对的类比波动方程，但它是一阶的而不是二阶的。

1. 福塞斯,j .(2015)。美国通勤者每年在交通堵塞上花费大约42小时。路透．
2. Sawers, p(2015)。微软如何's-Using-Big-Data-To-Predict-Traffic-Jams-Up-To-An-Hour-In-Advance。beat．