完美的数字

一种完美的数字是一个正整数，等于其适当分配的总和，即除数本身的正分歧。例如， $6.$是一个完美的数字，因为适当的除法 $6.$是 $1,2，$和 $3，$和 $6 = 1 + 2 + 3。$

一个数字的所有正分歧的总和 $N.$用 $\ sigma（n）$．因此，完美的数字是一个正整数 $N.$这样 $\σ(n) = 2 n。$

包括希腊人在内的古代数学家对全数非常感兴趣，他们认为全数具有神秘的意义。也许有些令人惊讶的是，许多关于完全数的基本问题仍然没有解决。最值得注意的是，我们不知道是否有无限多的完全数，也不知道是否有奇数的完全数。

欧几里德证明了元素如果 $2 ^ p-1$是素数，然后 $2 ^ {p-1}（2 ^ p-1）$是完美的。

前四个完美的数字是

$\ begin {对齐} 6＆= 2 ^ {2-1}（2 ^ 2-1）\\ 28＆= 2 ^ {3-1}（2 ^ 3-1）\\ 496＆= 2 ^ {5-1}（2 ^ 5-1）\\ 8128＆= 2 ^ {7-1}（2 ^ 7-1）。\结束{对齐}$

2000多年来，欧拉是第一个给出证据的人每一个即使是完美的数字也是如此形式。这被称为欧氏欧拉定理。欧拉的证据非常小：

积极的整数 $N.$如果且仅当且仅当 $n = 2 ^ {p-1}（2 ^ p-1）$对于一些积极的素数 $P.$这样 $2 ^ p-1$是素数。 $（$这里 $2 ^ p-1$被称为Mersenne Prime.． $）$

对于“if”(欧几里得)语句，让 $P.$是默塞尔的主要原子 $2 ^ p-1$，并记下除法 $N.$明确：他们是 $1、2、4,\ ldots 2 ^ {p - 1}$和 $p，2p，\ ldots，2 ^ {p-1} p$．这些除数的总和，由此几何级数公式，是

$（2 ^ p-1）+（2 ^ p-1）p =（2 ^ p-1）（p + 1）=（2 ^ p-1）2 ^ p = 2n。$

所以适当的除法者的总和是 $N.$．

对于“仅当”（euler）陈述，关于除数函数的一些事实，表示 $\ sigma（n）$，都是相关的。特别是, $\ sigma.$是乘法： $\ \σ(a)σ(b) = \σ(ab)$如果 $a、b$相对'。

现在假设 $N.$是一个偶然的数字。然后写 $n = 2 ^ {a-1} b，$在哪里 $a \ ge 2$和 $B.$是奇怪的。自从 $N.$是完美的， $\ sigma（n）= 2n$．然后

$2n = \ sigma（n）= \ sigma（2 ^ {a-1}）\ sigma（b）=（2 ^ a-1）\ sigma（b）。$

所以 $（2 ^ A-1）| 2N$， 因此 $（2 ^ a-1）| n$， 因此 $n = 2 ^ {a-1}（2 ^ a-1）c$对于一些整数 $C$，并再次扩展上述等式

$\ begin {对齐} 2 ^ a（2 ^ a-1）c＆=（2 ^ a-1）\ sigma \ big（（2 ^ a-1）c \ big）\\ 2 ^ ac＆= \ sigma大（（2 ^ a-1）c \ big）。\结束{对齐}$

但请注意，右侧至少是 $C +（2 ^ A-1）C.$因为这些是两个二分层 $（2 ^ a-1）c$，这两个除数已经加起来 $2 ^ AC.$．所以结论是平等持有，这些是唯一的二分歧 $（2 ^ a-1）c$．这只会发生如果 $c = 1$和 $2 ^ a-1$是素数。这完成了证明。 $_\正方形$

$（$练习:证明在哪里使用了事实 $通用电气\ 2 ?)$

以下是完美数字的一些有趣属性的列表。与文献中的许多列表不同，该列表仅限于非活动性质：例如，每个甚至完美数字是三角形数量的事实是公式的琐碎后果

$n = 2 ^ {p-1}（2 ^ p-1）= \ frac {（2 ^ p-1）2 ^ p} 2。$

1. 每个甚至完美的数字都以数字结尾 $6.$或 $28.$（在十进制写时）。
2. 除了除去的任何甚至完美数字的迭代数字和 $6.$是 $1$．
3. 唯一的广场完美数字是 $6.$．
4. 一个完美的数字是an矿石谐波数；也就是说,调和平均数它的除数是一个整数。（不是每个矿石谐波数字都是完美的，例如140.）
5. 如果存在奇完全数，则它的个数大于 $300$数字，至少 $75.$鼎盛时期因素， 至少 $9.$独特的主要因素，至少有一个至少一个素数 $20.$数字。

证明：以下是对1-4的提示:

1. 这是由Mod-10和Mod-100分析的。如果 $P \ Equif 1$摩擦 $4.$或 $p = 2.$，相应的完美数字结束 $6.$， 而如果 $P \ Equiv 3$摩擦 $4.$它结束了 $28.$ $（$提示：表明它是一致的 $3.$摩擦 $25）。$

2. 证明除了 $6.$是 $1$摩擦 $9.$．求解数字并迭代保留同一类Mod $9.$．

3. 对于欧几勒 - 欧拉的完美数字来说，这是清楚的;对于奇数完美的数字，两个奇数的主要因素会导致一个因素 $4.$在 $\ sigma（n）$， 但 $2N$不可分割 $4.$．

4. 一个完美数字的除数的谐波平均值是 $\ frac {d（n）} 2$（为什么？），在哪里 $d（n）$是除数的数量。现在 $d（n）$甚至是 $N.$是一个广场，但一个完美的广场不能是一个完美的数字，因为其除数的总和是奇数（为什么？）。

5. 这代表了奇数完美数字的数学研究的当前前沿。用于建立这些结果的方法似乎非常不太可能导致证明奇数完美数字不存在，因为它们仅提供了下限。也许存在奇怪的数字似乎不太可能给出5，但有时只有足够的整数发生的有趣现象。