接下来会发生什么?

在一个递归模式，规则或过程的重复可用于扩展序列或查找序列中缺失的任何项的值。

给定一个数字序列，我们如何发现这个模式，并找到序列中的下一个数字?有一些常见的序列是很容易识别的，比如正整数

$1 2 3 4 5, ldots$

或者说奇数的序列素数

$3, 5, 7, 11, 13, 17, ldots。$

但如果我们有一个更复杂的序列呢?我们应该尝试什么演绎方法来发现序列模式?首先，问几个基本的问题可能会有帮助。序列总是递增还是递减，或者两者都不是?序列总是正的，还是总是负的，或者都不是?一旦我们回答了这些问题，这里有一些方法来尝试找到潜在的序列模式:

1. 观察连续的项并找出它们的差异(或比率):在这些差异(或比率)中是否存在明确的模式?
2. 尝试在当前序列中添加另一个序列(通常是常量或线性)。
3. 平分因素．
4. 注意序列本身(或连续项的差或比)的常见模式，如整数、质数、的阶乘，算术或几何级数等。

用这个图案画下一项。

答复

在绘制答案时，可以在两个不同的位置将方框添加到第三项中：在现有方框下水平排列五个方框

或者是一个由五个正方形组成的对角线，在每一行的末尾添加一个方框，并在图像的顶部开始新一行。

在这两种情况下，得到的图像是相同的，并且在图案中添加了5个正方形。

如果模式中缺少一个术语，也可以使用相同的原则来填补空白。

从下面的模式画出缺失的图像:

答复

填写缺失的数字 $x$以以下方式： $1、4、9 x, 25岁,36岁\ ldots$．

答复

模式应为 $1、4、9、16、25岁,36岁\ ldots$．

在分析这个序列时，您可能已经注意到这些值是完全平方的。根据您解决前一个示例的方式，您可能还注意到，每个值对应于上面所示模式中的小三角形的总数。如果你不知道正方形数字是什么，或者没有注意到它的模式，如果你注意到了这个模式，你就可以数出第四幅图中三角形的数量。通常，有多种方法可以定义递归模式并解决缺少的术语。 $_\方格$

接下来是什么 $2,4,6,8点？$

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看这个序列，我们认识到偶数，每一个都比前一个多2。因此答案是 $10$． $_\方格$

接下来是什么 $1 2 5 10 17 26，点?$

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仔细观察序列，我们可能会决定记录术语之间的差异:

$\开始{aligned}2-1&=1\\5-2&=3\\10-5&=5\\17-10&=7\\26-17&=9\结束{对齐}$

因此，我们可以看到序列中相邻项的差是奇数，下一个差一定是11。因此序列中的下一项是 $26 + 11 = 37$． $_\方格$

接下来是什么 $50、49、47、44、40、35点？$

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首先，注意这个序列是递减的。取连续项之间的差，我们得到

$\{对齐}开始50-49 & = 1 \ \ 49-47 & = 2 \ \ 47-44 & = 3 \ \ 44-40 & = 4 \ \ 40-35 & = 5。结束\{对齐}$

从这些差异中，我们看到序列中的项通过增加整数而不同，下一个差异是6。因此，序列中的下一项是 $35-6 = 29$． $_\方格$

接下来是什么 $1 -3 9 -27 81， \点?$

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这个序列在正项和负项之间交替，第一项是负项的倍数 $3.$. 这意味着我们可以尝试取连续项的比率，它给出

${对齐}\ \开始压裂{3}{1}& = 3 \ \ \ \ \压裂{9}{3}& = 3 \ \ \ \ \压裂{-27}{9}& = 3 \ \ \ \ \压裂{81}{-27}& = 3。结束\{对齐}$

从这些比率中，我们可以看到，连续项之间的比率都是 $－3$．因此，序列中的下一项是 $(81) \cdot (-3) = -243$． $_\方格$

接下来是什么 $1 3 7 15 31 63，点?$

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这个数列是递增的，连续项之间的间隔也是递增的。如果取连续项之间的差，我们得到

$\{对齐}开始3 - 1 & = 2 \ \ & = 4 \ \ 15-7 & = 8 7 \ \ 31-15 & = 16 63 - 31 \ \ & = 32。结束\{对齐}$

我们认识到这些差异的力量 $2.$因此，序列中的下一项是 $63 + 2^6 = 63 + 64 = 127$．

或者，我们可以注意到序列中的所有项都是奇数，对序列中的每一项加1得到 $2,4,8,16,32,64 \点$．因此，序列中的下一项是 $128 - 1 = 127$一般来说，term $n$在序列中是由 $2 ^ n 1$． $_\方格$

接下来是什么 $1,2,4,8,16,32,64点？$

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如果你仔细观察，你会发现这些数字是的幂 $2$. 因此，数字是 $2^0 2^1 2^2 2^3 2^4 2^5 2^6, l导。$因此，这个序列中的下一个数字应该是 $2 ^ 7,$等于 $128.\ _ \广场$