参数方程GyD.F4y2Ba

有些平面曲线不是函数的图形GyD.F4y2Ba $y = f (x)。GyD.F4y2Ba$特别是函数图不能通过垂线测试:对于每个函数GyD.F4y2Ba $一种GyD.F4y2Ba$曲线上最多可以有一个点GyD.F4y2Ba $XGyD.F4y2Ba$-协调GyD.F4y2Ba $一个。GyD.F4y2Ba$为了描述更多的曲线，考虑是很方便的GyD.F4y2Ba $XGyD.F4y2Ba$和GyD.F4y2Ba $yGyD.F4y2Ba$作为单独变量的函数GyD.F4y2Ba $T.GyD.F4y2Ba$（叫A.GyD.F4y2Ba参数GyD.F4y2Ba）， IE。GyD.F4y2Ba

$x = f (t) \四y = g (t)。GyD.F4y2Ba$

这被称为aGyD.F4y2Ba参数方程式GyD.F4y2Ba对于通过改变参数的值来跟踪的曲线GyD.F4y2Ba $t。GyD.F4y2Ba$

表明参数学方程GyD.F4y2Ba $x = \ cos tGyD.F4y2Ba$和GyD.F4y2Ba $y =罪\ tGyD.F4y2Ba$ $(0 \斜t\斜2\pi)GyD.F4y2Ba$画出一个圆。GyD.F4y2Ba

---

消除GyD.F4y2Ba $T.GyD.F4y2Ba$给了GyD.F4y2Ba

$X ^2+y^2= cos^2 t+ sin^2 t=1，GyD.F4y2Ba$

事实上，这是一个带半径的圆圈的等式GyD.F4y2Ba $1GyD.F4y2Ba$．GyD.F4y2Ba $_ \广场GyD.F4y2Ba$

一个圆圈的圆圈GyD.F4y2Ba $(h, k)GyD.F4y2Ba$半径为GyD.F4y2Ba $R.GyD.F4y2Ba$可以由参数方程描述GyD.F4y2Ba

$x = h + r \ cos t，\ quad y = k + r \ sin t。GyD.F4y2Ba$

消除GyD.F4y2Ba $T.GyD.F4y2Ba$如上所述，我们可以得出一个熟悉的公式GyD.F4y2Ba

$(x h) ^ 2 + (y-k) ^ 2 = r ^ 2。GyD.F4y2Ba$

半径是多少?GyD.F4y2Ba $R.GyD.F4y2Ba$和中心GyD.F4y2Ba $(h, k)GyD.F4y2Ba$的GyD.F4y2Ba

$\{数组}{c}开始x = 3 + 8 \ cos 4 t y = 2 + 8 \罪4 t,四维\ leq t \ leq 2 \π吗?结束\{数组}GyD.F4y2Ba$

---

根据上面的一般方程，我们有GyD.F4y2Ba

$R =8， \四c(h,k) = (3，-2)\ _ \广场GyD.F4y2Ba$

在参数方程中GyD.F4y2Ba

$\ begin {array} {c}＆x = 8 \ cos at，＆y = 8 \ sin，＆0 \ leqslant t \ leqslant 2 \ pi，\ neat {array}GyD.F4y2Ba$

如何GyD.F4y2Ba $一种GyD.F4y2Ba$对圆的影响为GyD.F4y2Ba $一种GyD.F4y2Ba$变化？GyD.F4y2Ba

---

消除GyD.F4y2Ba $T.GyD.F4y2Ba$给了GyD.F4y2Ba

${x} ^ {2} + {y} ^ {2} = {\ cos} ^ {2}在+ {\ sin} ^ {2} at = 1，GyD.F4y2Ba$

这仍然是一个半径的圆圈GyD.F4y2Ba $1GyD.F4y2Ba$和在原产地的中心。如果我们有GyD.F4y2Ba $a = \ frac {1} {2}GyD.F4y2Ba$那GyD.F4y2Ba $(x, y) = \离开(\因为\压裂{1}{2}t,罪\ \压裂{1}{2}t \右)GyD.F4y2Ba$,即GyD.F4y2Ba $T.GyD.F4y2Ba$范围从GyD.F4y2Ba $0.GyD.F4y2Ba$来GyD.F4y2Ba $2 \ pi，GyD.F4y2Ba$方程式开始GyD.F4y2Ba $(1,0)GyD.F4y2Ba$,停在GyD.F4y2Ba $（-1,0）GyD.F4y2Ba$．这意味着它穿过圆的一半。所以GyD.F4y2Ba $一种GyD.F4y2Ba$管理方程追踪圆圈的速率。GyD.F4y2Ba

同样，如果GyD.F4y2Ba $= 2,GyD.F4y2Ba$方程绕圆转了两圈。GyD.F4y2Ba $_ \广场GyD.F4y2Ba$

一条通过某一点的线GyD.F4y2Ba $(h, k)GyD.F4y2Ba$与边坡GyD.F4y2Ba $mGyD.F4y2Ba$可以由参数方程描述GyD.F4y2Ba

$X = h + t，四乘y = k + mt。GyD.F4y2Ba$

更一般的,让GyD.F4y2Ba $m = \ tan \ alpha，GyD.F4y2Ba$在哪里GyD.F4y2Ba $\αGyD.F4y2Ba$是倾斜角。改变GyD.F4y2Ba $T.GyD.F4y2Ba$来GyD.F4y2Ba $t \因为\α,GyD.F4y2Ba$参数方程会变成GyD.F4y2Ba

$X = h+t cos 4 y = k+t sin。GyD.F4y2Ba$

让GyD.F4y2Ba $P, QGyD.F4y2Ba$是线与线之间的两个截点GyD.F4y2Ba $l：x-y + 2 = 0GyD.F4y2Ba$和抛物线GyD.F4y2Ba $y = x ^ 2GyD.F4y2Ba$．什么是长度GyD.F4y2Ba $| PQ |？GyD.F4y2Ba$

---

$l：x-y + 2 = 0GyD.F4y2Ba$通过点GyD.F4y2Ba $(0, 2)GyD.F4y2Ba$并且具有倾斜的角度GyD.F4y2Ba $α= \ \压裂{\π}{4}GyD.F4y2Ba$因此，参数方程GyD.F4y2Ba

$x = t \ frac {\ sqrt {2}} {2}，\ quad y = 2 + t \ frac {\ sqrt {2}}} {2}。GyD.F4y2Ba$

代入抛物线得到GyD.F4y2Ba

$\{对齐}开始y & = x ^ 2 \ \ 2 + t \压裂{\ sqrt {2}} {2} & = t ^ 2 \压裂{1}{2}\ \ t ^ 2 - \√{2}第四节& = 0 \ \ \ \ | PQ | & = \√6 {(x_1-x_2) ^ 2 + (y_1-y_2) ^ 2} \ \ & = \ sqrt {(t_1—t_2) ^ 2} \ \ & = \√6 {(t_1 + t_2) ^ 2-4t_1t_2} \ \ & = \ sqrt {2 - 4 (4)} \ \ & = 3 \ sqrt{2}。\ \ _ \广场结束{对齐}GyD.F4y2Ba$

从参数方程转换为笛卡尔坐标方程涉及到消去GyD.F4y2Ba $T.GyD.F4y2Ba$：GyD.F4y2Ba

参数方程是什么GyD.F4y2Ba

$\{数组}{c}开始x = t ^ {2} + t、y = 2 t - 1结束\{数组}GyD.F4y2Ba$

描述?GyD.F4y2Ba

---

堵塞值GyD.F4y2Ba $T.GyD.F4y2Ba$在GyD.F4y2Ba $y,GyD.F4y2Ba$这是GyD.F4y2Ba $t = \压裂{1}{2}(y + 1),GyD.F4y2Ba$成GyD.F4y2Ba $XGyD.F4y2Ba$给了GyD.F4y2Ba

$x = \ frac {1} {4} y ^ {2} + y + \ frac {3} {4}。GyD.F4y2Ba$

这是一个向右开口的抛物线方程。GyD.F4y2Ba $_ \广场GyD.F4y2Ba$

切线线的斜率到曲线GyD.F4y2Ba $y = f（x）GyD.F4y2Ba$在一个点GyD.F4y2Ba $(x_0, y_0)GyD.F4y2Ba$是GyD.F4y2Ba $f'（x_0）。GyD.F4y2Ba$当GyD.F4y2Ba $XGyD.F4y2Ba$和GyD.F4y2Ba $yGyD.F4y2Ba$是参数定义的，衍生物GyD.F4y2Ba $\ frac {dy} {dx}GyD.F4y2Ba$可以计算为GyD.F4y2Ba $\ small \ frac {\ hspace {3mm} \ frac {dy} {dt} \ hspace {3mm} {3mm}} {\ frac {dx} {dt}}，GyD.F4y2Ba$或者更令人对称如下：GyD.F4y2Ba

如果曲线由参数方程给出GyD.F4y2Ba $x = f (t)GyD.F4y2Ba$和GyD.F4y2Ba $y = g（t），GyD.F4y2Ba$曲线在这一点的切线GyD.F4y2Ba $\大(f (t_0), g (t_0) \大)GyD.F4y2Ba$是由GyD.F4y2Ba

$f'（t_0）\ big（y-g（t_0）\ big）= g'（t_0）\ big（x-f（t_0）\ big），GyD.F4y2Ba$

只要GyD.F4y2Ba $f ' (t_0) \ 0GyD.F4y2Ba$或GyD.F4y2Ba $g’(t_0) \ 0。GyD.F4y2Ba$

以下是一些特殊情况：GyD.F4y2Ba

• 抛物线GyD.F4y2Ba $y ^ 2 = 4ax：GyD.F4y2Ba$ $(x,y) \映射到(at^2, 2at)GyD.F4y2Ba$
  带参数点的切线方程GyD.F4y2Ba $师:GyD.F4y2Ba$ $y = \ frac {x} {t} +在GyD.F4y2Ba$
  具有参数的点正常的方程GyD.F4y2Ba $师:GyD.F4y2Ba$ $y = xt在+ + 2 ^ 3GyD.F4y2Ba$
• 椭圆GyD.F4y2Ba（可能是一个圆圈）GyD.F4y2Ba $\ frac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1：GyD.F4y2Ba$ $（x，y）\ mapsto（a \ cos \ theta，b \ sin \ theta）GyD.F4y2Ba$
  带参数点的切线方程GyD.F4y2Ba $θ:\GyD.F4y2Ba$ $\frac{x \cos \theta}{a}+\frac{y \sin \theta}{b}=1GyD.F4y2Ba$
  具有参数的点正常的方程GyD.F4y2Ba $θ:\GyD.F4y2Ba$ $\ frac {ax} {\ cos \ theta} - \ frac {by} {\ sin \ theta} = a ^ 2-b ^ 2GyD.F4y2Ba$
• 双曲线GyD.F4y2Ba $\压裂{x ^ 2}{^ 2} - \压裂{y ^ 2} {b ^ 2} = 1:GyD.F4y2Ba$ $（x，y）\ mapsto（a \ sec \ theta，b \ tan \ theta）GyD.F4y2Ba$
  带参数点的切线方程GyD.F4y2Ba $θ:\GyD.F4y2Ba$ $\frac{x \sec \theta}{a}-\frac{y \tan \theta}{b}=1GyD.F4y2Ba$
  具有参数的点正常的方程GyD.F4y2Ba $θ:\GyD.F4y2Ba$ $\压裂{ax}{\秒\θ}+ \压裂由}{{\ tan \θ}= ^ 2 + b ^ 2GyD.F4y2Ba$

让GyD.F4y2Ba $CGyD.F4y2Ba$是由参数方程给出的曲线GyD.F4y2Ba

$\{对齐}开始x & = \ cos (t) \大(1 - \ cos (t) \大)\ \ y & = \罪(t) \大(1 - \ cos (t) \大)\{对齐}结束GyD.F4y2Ba$

为了GyD.F4y2Ba $0 t 2。GyD.F4y2Ba$这两点的切线方程是什么GyD.F4y2Ba $\左（\ frac14，\ frac {\ sqrt {3}} {4} \右）GyD.F4y2Ba$和GyD.F4y2Ba $\离开(——\ \ frac34压裂大概{3}}{3 \ 4 \右)GyD.F4y2Ba$在曲线上吗?GyD.F4y2Ba

---

自GyD.F4y2Ba $\frac{dx}{dt} = sint (2\cos t-1)GyD.F4y2Ba$和GyD.F4y2Ba $\frac{dy}{dt} = cos t- cos^ 2t + sin^ 2t，GyD.F4y2Ba$堵塞GyD.F4y2Ba $t = \ frac {\ pi} 3GyD.F4y2Ba$给了GyD.F4y2Ba

$0 \ left（y- \ frac {\ sqrt {3}} 4 \右）= 1 \左（x-\ frac14 \右）\意味着x = \ frac14。GyD.F4y2Ba$

所以切线在GyD.F4y2Ba $\左（\ frac14，\ frac {\ sqrt {3}} {4} \右）GyD.F4y2Ba$是垂直的。GyD.F4y2Ba

另一方面，在GyD.F4y2Ba $\离开(——\ \ frac34压裂大概{3}}{3 \ 4 \右),GyD.F4y2Ba$ $t = \压裂{2 \π}3,GyD.F4y2Ba$所以等式是GyD.F4y2Ba

$- \ sqrt {3} \ left（y- \ frac {3 \ sqrt {3}} 4 \右）= 0 \ left（x + \ frac34 \右）\意味着y = \ frac {3 \ sqrt {3}}4.GyD.F4y2Ba$

所以切线是水平的。GyD.F4y2Ba $_ \广场GyD.F4y2Ba$

圆心在原点，轴线与坐标轴重合的椭圆，通常用以下参数化方法来描述:GyD.F4y2Ba

$（x，y）\ mapsto（a \ cos \ theta，b \ sin \ theta），GyD.F4y2Ba$

在哪里GyD.F4y2Ba $一种GyD.F4y2Ba$和GyD.F4y2Ba $B.GyD.F4y2Ba$是半主轴和半缩小轴的长度。GyD.F4y2Ba

类似地，椭圆的参数方程是GyD.F4y2Ba

$\{数组}{c}开始x = h + \因为t, y = k + b \ t。罪\{数组}结束GyD.F4y2Ba$

消除GyD.F4y2Ba $T.GyD.F4y2Ba$给了GyD.F4y2Ba

$\压裂{(x h) ^ 2}{^ 2} + \压裂{(y-k) ^ 2} {b ^ 2} = 1。GyD.F4y2Ba$

注意,当GyD.F4y2Ba $a = b，GyD.F4y2Ba$等式变成圆圈。GyD.F4y2Ba

给定一个椭圆的参数方程GyD.F4y2Ba

$\ begin {array} {c}＆x = 4 \ cos 3t，＆y = 7 \ sin 3t，\ end {array}GyD.F4y2Ba$

椭圆的半长轴和半短轴的长度是多少?GyD.F4y2Ba

---

消除参数，我们有GyD.F4y2Ba

${对齐}\ \开始压裂{x ^{2}}{16} + \压裂{y ^ 2}{49} & = \压裂{4 ^{2}\因为^ {2}3 t}{16} + \压裂{7 ^{2}\罪^ {2}3 t} {49} \ \ \ \ & = \ cos ^ {2} 3 t + \罪^ {2}3 t \ \ \ \ & = 1。结束\{对齐}GyD.F4y2Ba$

因此，半主轴的长度是GyD.F4y2Ba $7.GyD.F4y2Ba$半短轴的长度是GyD.F4y2Ba $4.GyD.F4y2Ba$．GyD.F4y2Ba $_ \广场GyD.F4y2Ba$

有用的公式是下行与参数的点连接点的线条GyD.F4y2Ba $\αGyD.F4y2Ba$和GyD.F4y2Ba $\ beta.GyD.F4y2Ba$：GyD.F4y2Ba

$\ frac {x} {a} \ cos \ frac {\ alpha + \ beta} {2} + \ frac {y} {b} \ sin \ frac {\ alpha + \ beta} {2} = \ cos \ frac {\alpha- \ beta} {2}。GyD.F4y2Ba$

以点为中心的东西开口双曲线GyD.F4y2Ba $(h, k)GyD.F4y2Ba$可以由参数方程描述GyD.F4y2Ba

$x = h + a \ sec t，\ quad y = k + b \ tan t，GyD.F4y2Ba$

在哪里GyD.F4y2Ba $一种GyD.F4y2Ba$是半主轴的长度和GyD.F4y2Ba $B.GyD.F4y2Ba$为半短轴的长度。GyD.F4y2Ba

消除GyD.F4y2Ba $T.GyD.F4y2Ba$给了GyD.F4y2Ba

$\frac{(x-h)^2}{a^2} - frac{(y-k)^2}{b^2} = 1。GyD.F4y2Ba$

同样，对于南北开口双曲线，参数学等式是GyD.F4y2Ba

$X = h+b tan t，四次y = k+a sec t。GyD.F4y2Ba$

让曲线GyD.F4y2Ba $c = \左\ {\ begin {array} {lr} x = f（t）\\ y = g（t）\ end {array} \ revally。GyD.F4y2Ba$,在那里GyD.F4y2Ba $t \在[a，b]GyD.F4y2Ba$．如果GyD.F4y2Ba $FGyD.F4y2Ba$是可微的,GyD.F4y2Ba $GGyD.F4y2Ba$是连续的，区域界限GyD.F4y2Ba $C, x = f(a) x = f(b)GyD.F4y2Ba$和GyD.F4y2Ba $XGyD.F4y2Ba$设在是GyD.F4y2Ba

$一个int = \ \ limits_a ^ y \ b, dx = \ int \ limits_a ^ g b (t) f ' (t){} \ \文本mathrm {d} t。GyD.F4y2Ba$

注意这是带符号的区域;下面的区域GyD.F4y2Ba $XGyD.F4y2Ba$-axis计算为负面积。GyD.F4y2Ba

表明轴长的椭圆区域GyD.F4y2Ba $一种GyD.F4y2Ba$和GyD.F4y2Ba $B.GyD.F4y2Ba$是GyD.F4y2Ba

$a = \ pi ab。GyD.F4y2Ba$

---

圆心为的椭圆的参数方程GyD.F4y2Ba $(0,0)GyD.F4y2Ba$是GyD.F4y2Ba

$f（t）= a \ cos t，\ quad g（t）= b \ sin t。GyD.F4y2Ba$

我们的方法是只考虑上半部分，然后乘以2得到整个椭圆的面积。GyD.F4y2Ba

首先，我们需要找到左侧和右界限GyD.F4y2Ba $T.GyD.F4y2Ba$，这样GyD.F4y2Ba

$\ begin {对齐} f（t_1）＆= - a && \意味着t_1 = \ pi \\ f（t_2）＆= a && \意味着t_2 = 0. \结束{对齐}GyD.F4y2Ba$

因此,GyD.F4y2Ba

$\ begin {对齐} a＆= \ int \ limits_0 ^ \ pi g（t）f'（t）\ text {} \ mathrm {d} t \\＆= ab \ int \ limits_0 ^ \ pi \ sin ^ 2t \ text {} \ mathrm {d} t \\＆= ab \ int \ limits_0 ^ \ pi \ frac {1} {2}（1- \ cos 2t）\ text {} \ mathrm {d} t \\＆= \ frac {1} {2} ab \ bigg [t- \ frac {1} {2} \ sin 2t \ bigg] _0 ^ \ pi \ text {} \ mathrm {d} t \\＆= \ frac{1} {2} ab \ pi。\ _ \ square \ END {对齐}GyD.F4y2Ba$

证明抛射体的参数方程沿抛物线运动。GyD.F4y2Ba

---

我们有GyD.F4y2Ba

$\ begin {对齐} x＆= v \ cos \ theta t＆qquad（1）\\ y＆= v \ sin \ theta t- \ frac {1} {2} gt ^ 2。＆\ qquad（2）\结束{对齐}GyD.F4y2Ba$

代入GyD.F4y2Ba $T.GyD.F4y2Ba$从参数GyD.F4y2Ba $1GyD.F4y2Ba$进入参数GyD.F4y2Ba $2GyD.F4y2Ba$,我们有GyD.F4y2Ba

$y = x \ tan \θ- \压裂{1}{2}\压裂{g} {v ^ {2} \ cos ^ 2 \θ}x ^ 2。GyD.F4y2Ba$

让GyD.F4y2Ba $a = \ tan \ thetaGyD.F4y2Ba$和GyD.F4y2Ba $b = \压裂{1}{2}\压裂{g} {v ^ {2} \ cos ^ 2 \θ}GyD.F4y2Ba$， 然后GyD.F4y2Ba

$y = -bx ^ 2 + ax，GyD.F4y2Ba$

这确实是抛物线的方程式向下开口。GyD.F4y2Ba $_ \广场GyD.F4y2Ba$