是0.999……= 1 ?

这是关于常见的误解．

下面的陈述是对的还是错的?

$\大0.999 \ldots = 1$

为什么有些人认为这是真的:非常非常接近于1。事实上，它就像 $0.0000000 \ ldots$ 从1。

为什么有些人说它是错误的:它小于1，因为它从0.99开始而不是1.00。所以它不能等于1。

该声明 $0.999 \ldots = 1$ 是 $颜色\ {# 20 a900} {\ textbf{真}}$ ．

直观的解释:形象化一个数轴。如果两个实数 $x$ 和 $y$ 在数轴上是不同的，那么我们应该看到它们之间有一些空间。事实上，还有空间放置另一个实数，即它们的平均值 $\压裂{x + y} {2}$ ．因为中间没有数字 $0.999 \ ldots$ 和 $1，$ 它们一定是一样的。对于等价性的不情愿源于一个数字不能有两个不同的名字。这里通常采用的推理是，“如果一个数字有两个不同的名字，那么它不可能是真正的同一个数字。”然而，当给出一个像这样的数字时，这个论点似乎并不站得住脚 $0.6,$ 已 $\压裂{3}{5}$ 作为一个替代名称。

证据1:

(在这个证明中，我们将假设值存在。)

所有有限长度的小数，如0.5和0.123，以及所有重复小数，如。333…和.121212……可以很容易地转换成分数。第一个证明使用了一种标准技术将循环小数转换为小数为了计算。99999…相当于。

$\begin{array} {l r l} \text{Let} & A & = 0。999年\ ldots。text{乘以10，我们得到}& 10 A & = 9。999年\ ldots。\\ \text{减去}A， \text{we get} & 9 A & = 9。text{除9，我们得到}& A & = 1。\ \ _ \广场结束数组{}$

证据2:

让我们评估限制 $一个= 0。999年\ ldots$ ．我们考虑到无限项几何级数的和，初始项为0.9，公比为0.1。我们有

$\begin{aligned} 0.999 \ldots & = 0.9 + 0.09 + 0.009 + \cdots \ & = 0.9 \times 0.1^0 + 0.9 \times 0.1^1 + 0.9 \times 0.1^2 + 0.9 \times 0.1^2 + \cdots \ & = = 1。结束\{对齐}$

因为这个和是收敛的，它告诉我们极限存在 $一个= 1$ ． $_ \广场$

反驳: $0.999……\text{和}1$ 不相等，因为它们不是同一个小数。除了后面的0，任何两个不同的小数都是不同的数字。

回答: $0.999……= 1$ 是另一种情况，两个写得不同的小数实际上是相同的数。将1写成小数有两种不同的写法，这是无限和在定义无限大小数的意义时所起的作用的结果。

十进位制只是将一个数字写成10的幂的和的一种简写方式，每个幂的倍数是0到9之间的整数。例如, $0.123$ 意味着 $\frac{1}{10} + \frac{2}{100} + \frac{3}{1000}$ ．同样的, $0.999 \ ldots$ 意味着 $\ \压裂{9}{10}+压裂{9}{100}+ \压裂{9}{1000}+ \ cdots$ 这个无穷和的值等于1。

反驳: $0.999 \ ldots$ 只趋向于1。它不等于1。我们只有一个近似值。

回答:对于这个序列 $an = 0。{99 \ldots 9}_{n \， 9's}$ ，它是限制作为 $n \ rightarrow \ infty$ 它等于1。然而,由于 $0.999 \ ldots$ 定义为这个极限，它定义为1。

如果不使用这个定义无限循环小数，就会有很多数字，比如 $\压裂{1}{3}=对于brute……$ 我们不能把它写成小数因为不存在有限的十分位，百分位，千位等等的和，正好等于 $\压裂{1}{3}$ ．

反驳:无限的和没有任何意义。无限多的东西相加是不可能的，所以任何无限的和都只是一个近似值，而不是实值。

回答:如果不使用无穷和，就会有很多数字，比如 $\压裂{1}{3}=对于brute……$ 我们不能把它写成小数。这样一个无限和的定义是严格的，但奇怪的是这个和是定义为当许多项相加时接近的极限，只要这个极限存在。

不是所有无限的分数和都能求出来。例如, $\ \压裂{1}{2}+压裂{2}{3}+ \压裂{3}{4}+ \压裂{4}{5}+ \ cdots$ 不能有一个真实的数值。但无穷和的定义包括这样一个限制，即无穷和只有当我们把级数的各项相加时，总和趋近于一个特定的值时才有一个明确的值。在…的情况下 $\ \压裂{3}{10}+压裂{3}{100}+ \压裂{3}{1000}+ \ cdots,$ $\压裂{1}{3}$ 是接近的价值。没有别的方法可以定义 $\压裂{1}{3}$ 作为小数，否则 $\压裂{1}{3}$ 不等于任何有限的十分之一，百分之一，千分之一等等的和。

在…的情况下 $\ \压裂{9}{10}+压裂{9}{100}+ \压裂{9}{1000}+ \ cdots,$ 1是当越来越多的项加在一起时接近的值。

对于无限和的更完整的解释，请检查无限的钱wiki页面。

反驳:在证明1中，我们不能消去后面的9因为它们有无穷多个。我们总会剩下一个9。

回答:取消不会“逐项”发生，我们比较的前9 $10$ 第一个0在里面 $一个$ ．我们看看这两个数字的差异，然后把它们放在一起。我们得到一个0结尾的序列，没有“9”。

反驳:在证明2中，我们不能“逐项”地把数字相加。

回答:这个论点是有效的，因为我们逐项添加的观点是我们如何计算极限的。

现在试试这个问题:

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