几何级数

A.几何级数(GP)，也称为几何序列，是一个数字序列，每个数字之间的差异是一个常见的比率．例如，序列 $2,4,8,16点$是具有公共比率的几何序列 $2.$．

我们可以通过求任意两个相邻项之间的比值来求出一个GP的公比。

以下序列是具有初始项的几何级数 $10$和常见的比 $3.$:

$\LARGE \color{#3D99F6}{10} \underbrace{\quad \quad}_{\times 3} \color{#D61F06}{30} \underbrace{\quad \quad}_{\times 3} \color{#20A900}{90} \underbrace{\quad \quad}_{\times 3} \color{#青色}{270}\underbrace{\quad \quad}_{\times 3} \color{orangered}{810} \underbrace{\quad \quad}_{\times 3} \color{grey}{2430}$

重要术语

• 初始项：在几何级数中，第一个数字称为“初始项”
• 公共比率：序列中的一个项与之前的项之间的比率，称为“公共比率”

递推公式

我们可以用递归公式来描述一个几何序列，该公式指定了每个项如何与之前的项相关联。因为在几何级数中，每个项都是由前一项与公共比率的乘积给出的，所以我们可以编写如下递归描述：

$\text{Term}=\text{Previous Term}\times\text{Common ratio}。$

更简单地说，使用普通比率 $R$,我们有

$a_n=a_{n-1}\乘以r。$

显式公式

虽然上面的递归公式允许我们描述序列中各项之间的关系，但能够明确描述序列中的各项通常是有帮助的，这将允许我们找到任何项。

如果我们知道初始项，下面的项就会通过公倍数的重复乘法与之相关。因此，显式公式为

$\text{Term}=\text{Initial Term}\times\underrace{\text{Common ratio}\times\dots\times\text{Common ratio}}}{uu{\text{Initial Term}的步数}。$

用指数，我们可以把它写成公比 $R$，作为

$A_n = a_1 \乘以r^{n-1}。$

注意:根据中间的项而不是初始项计算几何级数中的值有时更容易。当我们从 $k ^{\文本{th}}$术语 $n ^{\文本{th}}$几何级数中的项由下式给出

$a_n=a_k乘以r^{n-k}。$

现在，让我们制作一些基本示例，让您熟悉上述定义。

几何序列的显式公式是什么 $4 12 36 108， \点?$

揭示答案

最初的期限是 $4.$．因为每一项都是前一项和的乘积 $3.$，一般比率为 $3.$．因此，描述这个序列的公式是

$A_n = 4 \乘以3^{n-1}。\ _ \广场$

如果公比等于初始项一半的几何级数的第四项为 $32，$是什么 $15 ^{\文本{th}}$术语?

揭示答案

设初始项为 $一个,$还有公比 $R$.如问题中所述 $4 ^{\文本{th}}$项是 $基于“增大化现实”技术^ {3}= 32$最初的期限是 $r = 2$．通过求解这两个联立方程得到

$2r^{4}=32 \意味着r=2 \意味着a=4。$

因此 $15 ^{\文本{th}}$项是

$A_ {15}=a \乘以r^{14}=4 \乘以2^{14}=2^{16}。\ _ \广场$

我们有时想求几何级数中某些项的和。当我们想要添加的项的数量很大时，很难一次将所有项都加起来。下面的问题说明了一种可以发展成通用技术的方法:

求第一个的和 $10$下列几何级数的项:

$3、\ 15、\ 75、\ 375、\ 1875、\，\ldots。$

---

让第一个的和 $10$给定级数的项是 $A.$然后

$A=3+3\cdot 5+3\cdot 5^2+\cdot+3\cdot 5^9。\qquad（1）$

乘 $A.$通过 $5，$我们得到了

$5A= 3 \cdot 5 +3 \cdot 5^2+3 \cdot 5^3+ 3 \cdot 5^{10}。\ qquad (2)$

采取 $(1)-(2)$给了

$\3+3\CDOT5+3+CDOT5+3\cdot 5+3\cdot 5^2和+cdot+3\CDOT3\CDOT3\cdot 5 ^{{{9}{{{{数组数组数组{{{{{{{{{{{{{{{{数组数组}}{{{{{{{{{3}}}{{{{{{{5 5}}}}}}3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3\CDOT3\CDOT5}{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{5 5 5}}{{{{{{{5 5 5 5}}}}}}}5 5 5 5 5 5}5 5 5 5}5 5 5 3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3 10}-3}{4}.\\平方\结束{array}$

在上面的例子中，我们将几何级数的和乘以它的公比，然后从原来的和中减去结果，发现除了第一项和最后一项，所有的项都消掉了。现在我们可以用同样的方法来求和的一般公式。

对于具有初始项的几何级数 $A.$和常见的比 $r,$第一个的和 $N$条款是

$S_n = \begin{cases}\begin{array}{all} a \cdot \left(\frac{r^n -1}{r -1}\ right) && \text{for}r \neq 1 \\ a \cdot n && \text{for}r = 1。\结束数组{}\{病例}结束$

假设我们要加第一个 $N$几何级数的项。如果 $r = 1$，那么我们有一个常数序列，因此和就是 $n a$. 现在，让我们假设 $r \ neq 1,$那么我们就会得到

$S_n = a + a \cdot r + a \cdot r^{n-2} + a \cdot r^{n-1}。\ qquad (1)$

两边同时乘以 $R$给了

$rsn=a\cdotr+a\cdotr^2+\cdots+a\cdotr^{n-1}+a\cdotr^{n}\qquad（2）$

采取 $(1) - (2),$我们得到了

$\{数组}{rlllllllll}开始S_n& = a + \ cdot " + \ cdot r ^ 2 & + \ cdots + \ cdot r ^ {2} & + \ cdot r ^ {n} \ \ r S_n& = 0 + \ cdot r & + \ cdot r ^ 2 & + \ cdots + \ cdot r ^ {2} & + \ cdot r ^ {n} & + \ cdot r ^ n \ \ \线S_n(第一轮)& = + & 0 & + 0 + \ cdots + 0 & 0 & + - \ cdot r ^ {n} \ \(第一轮)S_n & =一r ^ n。结束\{数组}$

因此,

$S_n = a \times \left(\frac{r^n - 1} {r - 1} \right) ~\text{for} r \neq 1。\ _ \广场$

第一个的总数是多少 $10$具有初始项的几何级数的项 $2.$和常见的比 $3？$

揭示答案

应用上述几何级数项和公式，我们得到

$2次\frac{3^{10}-1}{3-1}=3^{10}-1=59048.\\平方$

现在我们知道了如何求有限多个项的和，让我们继续求几何级数的无限多个项的和。这是以类似的方式完成的，我们先做一个例子。

计算以下几何级数：

$5+ dfrac 53 + dfrac 59 + dfrac{5}{27}+ cdots。$

---

让给定的总和保持不变 $年代,$然后

$S=5+ dfrc 53 + dfrc 59 + dfrc {5}{27}+ cdots。\ qquad (1)$

乘 $s$通过 $\压裂13$，我们得到

$\dfrac 13 S= \dfrac 53 +\dfrac 59 +\dfrac{5}{27}+\dfrac{5}{81}+\cdots。\ qquad (2)$

采取 $(1)-(2)$给了

$\5.5.5&{5{{数组{{数组{{数组}{{{{数组}{{{数组}{{{{{数组{{数组}}{{{{{{数组}{{{{5}5{{5{{5{5{5{5}5}5}}}}}27}}}5}}}{5}}5}}5}5}}5}}}5}5}5}5}5&}5}5}5}5}59&&&&记记记记记记记记记记记记记记记记记记记记记记记记记2}.\\\ux\square\end{array}$

请注意，我们使用的是相同的技巧，即乘以公共比率再减去！事实上，这个技巧可以用来找到几何级数无穷项之和的一般公式。我们开始：

对于具有初始项的几何级数 $A.$和常见的比 $R$令人满意的 $|r| < 1，$几何级数的无穷项之和为

$S_{{inty} = {frac{a} {1-r}。$

当 $-1$，作为 $N$成为任意大, $r ^ n$倾向于零。因此,以序列的极限，我们得到

$S_\infty = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a (1-r ^n)} {1-r} = \frac{a} {1-r}。\ _ \广场$

几何证明:

我们也可以直观地考虑这个公式。如果 $s$级数和初始项的和是多少 $A.$，我们可以构造一个正方形和一个三角形，如下所示:

我们可以看到，大三角形和正方形左侧的倒三角形是相似的。因此通过相似,

$\压裂{年代}{}= \压裂{一}{安巴尔}。$

解 $s$，我们得到

$S = \压裂{一}{第一轮}。\ _ \广场$

当你的网球撞击地面后，它会反弹到落下高度的三分之二。当它落下时，它在静止前的总垂直距离是多少 $100\text{m}？$

揭示答案

让 $H$为球下落的高度(以米为单位)，并且 $E$这样的数字 $0$同时,让 $s$是球静止前所覆盖的总垂直距离。然后

$\开始{对齐}& = h + 2 (eh) + 2 \大(e ^ 2 h \大)+ 2 \大(e ^ 3 h \大)+ 2 \大(e ^ 4 h \大)+ \ cdots \ \ & = h + 2嗯\大(1 + e + e ^ 2 + e ^ 3 + \ cdots \大)\ \ & = h + 2 eh \ * \ dfrac{1}{单电子}\ qquad \ qquad \ qquad \ qquad(\文本自}{e < 1) \ \ & = \左(\ dfrac {1 + e}{单电子}\右)h。\{对齐}结束$

因为我们有 $h=100$和 $e=\frac23，$

$S=\left（\dfrac{1+\frac 23}{1-\frac 23}\right）100=500\text{（m）}.\\uSquare$

求几何级数的和

$5 - \压裂{10}{3}+ \压裂{20}{9}- \压裂{40}{27}+ \ cdots。$

揭示答案

请注意，给定的序列是具有初始项的几何级数 $a=5$和常见的比 $r = \压裂{2}{3}。$那么从 $1 < r < 0,$级数是收敛的，我们将使用无穷和的公式 $S=\frac{a}{1-r}$求给定级数的值。因此

$(1- 1) (1- 2) (1- 2) (1- 2) (1- 2) (1- 2) (1- 2) (1- 2)\ _ \广场$

由于我们现在已经熟悉了上述概念，让我们尝试解决以下一些问题：

• 等差数列
• 算术和几何级数问题解决