阻尼谐振子
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- 经典力学年代pan>>年代pan>
阻尼谐振子年代trong>是振动的振幅随时间减小的振动系统。由于几乎所有的物理系统都涉及到空气阻力、摩擦和分子间作力等因素,在这些因素中,系统中的能量会损失为热或声,因此在现实的振荡系统中,考虑阻尼是很重要的。阻尼谐波振荡器的例子包括任何真实的振荡系统,如溜溜球、钟摆或吉他弦:在开始溜溜球、时钟或吉他弦振动后,振动会随着时间的推移减慢并停止,这与一般的音量或振幅衰减相对应。
数学上,阻尼系统的典型模型是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/simple-harmonic-motion-problem-solving/" class="wiki_link" title="简单谐振子gydF4y2B一个" target="_blank">简单谐振子一个>与<年代trong>粘滞阻尼年代trong>力,它与系统的速度成正比,并且允许容易的解<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/newtons-second-law/" class="wiki_link" title="牛顿第二定律gydF4y2B一个" target="_blank">牛顿第二定律一个>在封闭的形式。这些都是二阶<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/ordinary-differential-equations/" class="wiki_link" title="常微分方程gydF4y2B一个" target="_blank">常微分方程一个>其中包含一项与振幅的一阶导数成正比。如下所述,比例的大小描述了阻尼振荡器的振动衰减到零的速度。
阻尼力的指数衰减
阻尼力通常是由于振动系统通过流体如空气或水的运动,在流体分子之间的相互作用(如空气阻力)变得重要。在非湍流流体中,谐振子的阻尼可以用粘性阻尼力很好地模拟<年代pan class="katex">
F年代pan>d年代pan>=年代pan>−年代pan>b年代pan>x年代pan>˙年代pan>.加上这一项<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/simple-harmonic-oscillator/" class="wiki_link" title="简单谐振子gydF4y2B一个" target="_blank">简单谐振子一个>方程给出的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/hookes-law/" class="wiki_link" title="胡克定律gydF4y2B一个" target="_blank">胡克定律一个>给出了粘阻尼简谐振子的运动方程。
米年代pan>x年代pan>¨年代pan>+年代pan>b年代pan>x年代pan>˙年代pan>+年代pan>公斤ydF4y2B一个年代pan>x年代pan>=年代pan>0年代pan>,年代pan> 在哪里<年代pan class="katex">
b年代pan>常数有时被称为<年代trong>阻尼常数年代trong>.
解应该是在某种形式的阻尼包络内的振荡。Ansatz指数阻尼包络:
x年代pan>(年代pan>t年代pan>)年代pan>=年代pan>一个年代pan>e年代pan>−年代pan>g年代pan>t年代pan>e年代pan>我年代pan>一个年代pan>t年代pan>=年代pan>一个年代pan>e年代pan>t年代pan>(年代pan>一个年代pan>我年代pan>−年代pan>g年代pan>)年代pan>=年代pan>一个年代pan>e年代pan>r年代pan>t年代pan>.年代pan> 在哪里<年代pan class="katex">
一个年代pan>是某个常数<年代pan class="katex">
r年代pan>=年代pan>一个年代pan>我年代pan>−年代pan>g年代pan>将会被发现。把这个ansatz代入运动方程得到:
(年代pan>米年代pan>r年代pan>2年代pan>+年代pan>b年代pan>r年代pan>+年代pan>公斤ydF4y2B一个年代pan>)年代pan>一个年代pan>e年代pan>r年代pan>t年代pan>=年代pan>0年代pan>⟹年代pan>r年代pan>2年代pan>+年代pan>米年代pan>b年代pan>r年代pan>+年代pan>米年代pan>公斤ydF4y2B一个年代pan>=年代pan>0年代pan>,年代pan> 哪个是二次方程<年代pan class="katex">
r年代pan>解决方案:
r年代pan>=年代pan>−年代pan>2年代pan>米年代pan>b年代pan>±年代pan>我年代pan>米年代pan>公斤ydF4y2B一个年代pan>−年代pan>4年代pan>米年代pan>2年代pan>b年代pan>2年代pan>
.年代pan> 注意这里有两个根<年代pan class="katex">
r年代pan>到只要虚数部不为零的二次方程,对应于两个通解:
x年代pan>(年代pan>t年代pan>)年代pan>=年代pan>一个年代pan>e年代pan>−年代pan>2年代pan>米年代pan>b年代pan>t年代pan>e年代pan>我年代pan>米年代pan>公斤ydF4y2B一个年代pan>−年代pan>4年代pan>米年代pan>2年代pan>b年代pan>2年代pan>
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t年代pan>.年代pan> 这些解通常描述频率上的振荡<年代pan class="katex">
ω年代pan>=年代pan>米年代pan>公斤ydF4y2B一个年代pan>−年代pan>4年代pan>米年代pan>2年代pan>b年代pan>2年代pan>
在振幅随时间变化的衰减包络线内<年代pan class="katex">
e年代pan>−年代pan>2年代pan>米年代pan>b年代pan>t年代pan>.
取决于的值<年代pan class="katex">
米年代pan>,<年代pan class="katex">
公斤ydF4y2B一个年代pan>,<年代pan class="katex">
γ年代pan>,该解决方案显示不同类型的行为:
b年代pan>2年代pan><年代pan>4年代pan>公斤ydF4y2B一个年代pan>米年代pan>:<年代trong>欠阻尼年代trong> 欠阻尼解以上述频率和衰减包络快速振荡。对于阻尼常数非常小的物体(如制作精良的音叉),振荡频率非常接近无阻尼的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/natural-frequency/" class="wiki_link" title="固有频率gydF4y2B一个" target="_blank">固有频率一个><年代pan class="katex">
ω年代pan>0年代pan>=年代pan>米年代pan>公斤ydF4y2B一个年代pan>
.
b年代pan>2年代pan>=年代pan>4年代pan>公斤ydF4y2B一个年代pan>米年代pan>:<年代trong>临界阻尼年代trong> 这种情况对应于频率的消失<年代pan class="katex">
米年代pan>公斤ydF4y2B一个年代pan>−年代pan>4年代pan>米年代pan>2年代pan>b年代pan>2年代pan>
前面描述的。在这个阻尼水平下,解<年代pan class="katex">
x年代pan>(年代pan>t年代pan>)年代pan>最迅速地接近于零的稳态振幅。当溶液在阻尼流体中缓慢移动时,较大的阻尼量(参见过阻尼)会使溶液更缓慢地接近零,而较小的阻尼量则会使溶液在零附近快速振荡。值得注意的是,临界阻尼解不振荡。
如果频率<年代pan class="katex">
米年代pan>公斤ydF4y2B一个年代pan>−年代pan>4年代pan>米年代pan>2年代pan>b年代pan>2年代pan>
消去,两个线性无关解可以为:
x年代pan>(年代pan>t年代pan>)年代pan>=年代pan>一个年代pan>e年代pan>−年代pan>2年代pan>米年代pan>b年代pan>t年代pan>+年代pan>B年代pan>t年代pan>e年代pan>−年代pan>2年代pan>米年代pan>b年代pan>t年代pan>.年代pan>
b年代pan>2年代pan>>年代pan>4年代pan>公斤ydF4y2B一个年代pan>米年代pan>:<年代trong>过阻尼年代trong> 在过阻尼的情况下,频率<年代pan class="katex">
ω年代pan>=年代pan>米年代pan>公斤ydF4y2B一个年代pan>−年代pan>4年代pan>米年代pan>2年代pan>b年代pan>2年代pan>
变得虚。结果就是振荡项<年代pan class="katex">
e年代pan>我年代pan>ω年代pan>t年代pan>而且<年代pan class="katex">
e年代pan>−年代pan>我年代pan>ω年代pan>t年代pan>变成增长和衰减的指数<年代pan class="katex">
e年代pan>∣年代pan>ω年代pan>∣年代pan>t年代pan>而且<年代pan class="katex">
e年代pan>−年代pan>∣年代pan>ω年代pan>∣年代pan>t年代pan>.过阻尼解不振荡,而是缓慢地向平衡衰变。
一个<年代pan class="katex">
2年代pan>公斤年代pan>附在弹簧上的质量是弹簧常数<年代pan class="katex">
公斤ydF4y2B一个年代pan>=年代pan>1年代pan>0年代pan>N年代pan>/年代pan>米年代pan>在施加阻尼力的流体中振荡<年代pan class="katex">
F年代pan>d年代pan>=年代pan>−年代pan>(年代pan>4年代pan>N年代pan>⋅年代pan>年代年代pan>/年代pan>米年代pan>)年代pan>v年代pan>在质量上,哪里<年代pan class="katex">
v年代pan>是质量的速度。下列哪项正确地描述了系统的振荡行为?
指数衰减的振幅衰减
考虑欠阻尼谐振子的运动方程:
x年代pan>(年代pan>t年代pan>)年代pan>=年代pan>一个年代pan>e年代pan>−年代pan>2年代pan>米年代pan>b年代pan>t年代pan>e年代pan>我年代pan>米年代pan>公斤ydF4y2B一个年代pan>−年代pan>4年代pan>米年代pan>2年代pan>b年代pan>2年代pan> t年代pan>+年代pan>B年代pan>e年代pan>−年代pan>2年代pan>米年代pan>b年代pan>t年代pan>e年代pan>−年代pan>我年代pan>米年代pan>公斤ydF4y2B一个年代pan>−年代pan>4年代pan>米年代pan>2年代pan>b年代pan>2年代pan> t年代pan>.年代pan>
这个解描述了在指数衰减包络线内的快速振荡。临界阻尼和过阻尼谐振子的振幅同样呈指数衰减。
物理和工程文献中使用了几个参数来描述阻尼谐振子的振幅如何随时间衰减。在数学上最直接的参数是<年代trong>
1年代pan>/年代pan>e年代pan>衰减时间年代trong>,通常表示为<年代pan class="katex">
τ年代pan>.假设阻尼谐振子从振幅处开始<年代pan class="katex">
x年代pan>0年代pan>;那么阻尼包络线的振幅为<年代pan class="katex">
x年代pan>0年代pan>e年代pan>−年代pan>2年代pan>米年代pan>b年代pan>t年代pan>.的<年代pan class="katex">
1年代pan>/年代pan>e年代pan>衰减时间被定义为时间<年代pan class="katex">
τ年代pan>振幅减小到<年代pan class="katex">
x年代pan>0年代pan>/年代pan>e年代pan>≈年代pan>.年代pan>3.年代pan>6年代pan>8年代pan>x年代pan>0年代pan>.这相当于衰减包络线中的指数取值<年代pan class="katex">
−年代pan>1年代pan>,即:
−年代pan>2年代pan>米年代pan>b年代pan>τ年代pan>=年代pan>−年代pan>1年代pan>⟹年代pan>τ年代pan>=年代pan>b年代pan>2年代pan>米年代pan>.年代pan> 一个<年代pan class="katex">
1年代pan>0年代pan>公斤年代pan>质量与弹簧的弹簧常数有关<年代pan class="katex">
1年代pan>0年代pan>N年代pan>/年代pan>米年代pan>.整个系统被淹没在水中,对质量施加粘性阻尼力<年代pan class="katex">
F年代pan>d年代pan>=年代pan>−年代pan>(年代pan>2年代pan>N年代pan>⋅年代pan>年代年代pan>/年代pan>米年代pan>)年代pan>v年代pan>.质量被拉动,使弹簧偏离平衡<年代pan class="katex">
.年代pan>1年代pan>米年代pan>和释放。找到<年代pan class="katex">
1年代pan>/年代pan>e年代pan>振荡衰减时间,以秒为单位。
一个更复杂的参数是<年代trong>品质因数年代trong>
问年代pan>:
问年代pan>=年代pan>每弧度耗散的能量年代pan>能源存储年代pan>.年代pan> 作为一种对人名的理解和记忆,有很高的帮助 解决方案:
阻尼谐振子中储存的能量为“弹簧势能”:<年代pan class="katex-display">
E年代pan>(年代pan>t年代pan>)年代pan>=年代pan>2年代pan>1年代pan>公斤ydF4y2B一个年代pan>一个年代pan>(年代pan>t年代pan>)年代pan>2年代pan>在哪里<年代pan class="katex">
一个年代pan>(年代pan>t年代pan>)年代pan>是谐振子的振幅。回想一下阻尼谐振子有一个<年代pan class="katex">
e年代pan>−年代pan>2年代pan>米年代pan>b年代pan>t年代pan>衰变包络,这等于:<年代pan class="katex-display">
E年代pan>(年代pan>t年代pan>)年代pan>=年代pan>2年代pan>1年代pan>公斤ydF4y2B一个年代pan>一个年代pan>2年代pan>e年代pan>−年代pan>米年代pan>b年代pan>t年代pan>=年代pan>E年代pan>0年代pan>e年代pan>−年代pan>米年代pan>b年代pan>t年代pan>.年代pan> 每弧度耗散的能量为:<年代pan class="katex-display">
Δ年代pan>E年代pan>=年代pan>∣年代pan>∣年代pan>∣年代pan>∣年代pan>d年代pan>t年代pan>d年代pan>E年代pan>∣年代pan>∣年代pan>∣年代pan>∣年代pan>Δ年代pan>t年代pan>,年代pan>与<年代pan class="katex">
Δ年代pan>t年代pan>给出振荡一个弧度所需的时间,等于<年代pan class="katex">
ω年代pan>1年代pan>.
导数由<年代pan class="katex">
d年代pan>t年代pan>d年代pan>E年代pan>=年代pan>−年代pan>米年代pan>b年代pan>E年代pan>(年代pan>t年代pan>)年代pan>,则耗散的能量为:<年代pan class="katex-display">
Δ年代pan>E年代pan>=年代pan>米年代pan>ω年代pan>b年代pan>E年代pan>,年代pan> 最后,质量因素是:<年代pan class="katex-display">
问年代pan>=年代pan>b年代pan>/年代pan>(年代pan>米年代pan>ω年代pan>)年代pan>E年代pan>E年代pan>=年代pan>b年代pan>米年代pan>ω年代pan>,年代pan>在哪里<年代pan class="katex">
ω年代pan>=年代pan>米年代pan>公斤ydF4y2B一个年代pan>−年代pan>4年代pan>米年代pan>2年代pan>b年代pan>2年代pan>
为阻尼谐振子的频率。对于高度欠阻尼系统,<年代pan class="katex">
ω年代pan>≈年代pan>米年代pan>公斤ydF4y2B一个年代pan>
质量因子是<年代pan class="katex">
问年代pan>≈年代pan>b年代pan>公斤ydF4y2B一个年代pan>米年代pan>
.由此可见,临界阻尼发生在<年代pan class="katex">
问年代pan>=年代pan>2年代pan>1年代pan>通过对两边平方,并与临界阻尼准则进行比较。
在工程文献中描述阻尼振荡器振幅衰减更常见的最后一个度量是<年代trong>对数衰减年代trong>
δ年代pan>,定义为欠阻尼谐振子的两个连续波峰振幅之比的自然对数。
挑战问题:展示出来<年代pan class="katex">
δ年代pan>=年代pan>问年代pan>π年代pan>.
值得注意的是,粘性阻尼模型只适用于某些流体中的分子间作力。它是
阻尼谐振子的质量因子是什么<年代pan class="katex">
公斤ydF4y2B一个年代pan>,<年代pan class="katex">
米年代pan>,<年代pan class="katex">
b年代pan>?
问题和现象
阻尼谐振子的方程可以模拟物体在浸入流体中时的振动,也可以模拟更抽象的系统,其中数量在失去能量时振动。阻尼谐振子是许多物理系统的一个很好的模型,因为大多数系统都服从<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/hookes-law/" class="wiki_link" title="胡克定律gydF4y2B一个" target="_blank">胡克定律一个>当被摄动到平衡点时它们也会在衰变回到平衡时损失能量。这两个条件足以满足阻尼谐振子的运动方程。
证明了电感、电容和电阻串联在一起的电路服从阻尼谐振子方程。
解决方案:
根据<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/kirchoffs-voltage-law/" class="wiki_link" title="基尔霍夫定律gydF4y2B一个" target="_blank">基尔霍夫定律一个>时,闭环中的电压之和必须为零。与上图不同的是,我们假设电容已经被充电,并且没有外部电压源连接到电路上。每一个电阻(电阻)的电压<年代pan class="katex"> R年代pan>)、电容(电容<年代pan class="katex"> C年代pan>)和电感器(电感<年代pan class="katex"> l年代pan>)取决于收费<年代pan class="katex"> 问年代pan>关于电容和电流<年代pan class="katex"> 我年代pan>在电路中,哪里<年代pan class="katex"> 我年代pan>=年代pan>−年代pan>d年代pan>t年代pan>d年代pan>问年代pan>如果电容放电:
V年代pan>R年代pan>V年代pan>C年代pan>V年代pan>我年代pan>=年代pan>我年代pan>R年代pan>=年代pan>−年代pan>问年代pan>/年代pan>C年代pan>=年代pan>l年代pan>d年代pan>t年代pan>d年代pan>我年代pan>
注意到电容上的电压与常规电流的流动相反。如果电压之和为零,<年代pan class="katex"> 我年代pan>=年代pan>−年代pan>d年代pan>t年代pan>d年代pan>问年代pan>=年代pan>问年代pan>˙年代pan>要求:
l年代pan>问年代pan>¨年代pan>+年代pan>R年代pan>问年代pan>˙年代pan>+年代pan>C年代pan>1年代pan>问年代pan>=年代pan>0年代pan>.年代pan>
因此,电容器上电荷的时间依赖性就像一个阻尼谐振子。这是意料之中的:LC电路是振荡的,来自电阻的能量耗散与电流成正比,充当阻尼源。
在<年代trong>惯性约束聚变年代trong>在美国,高能紫外线激光器对准一个含有氢同位素的小胶囊,快速压缩氢以诱导聚变。氢聚变靶被安装在一根由高度灵活的合成聚合物Zylon制成的杆上。虽然这种灵活性防止了目标从柄上断裂,但它也允许聚变目标在激光击中时发生阻尼振荡。振荡位移了目标的质心,降低了激光的效率,减少了聚变的机会;因此,我们非常希望同时实现(1)振荡的高基频(因为这些基频不太容易被激发)和(2)接近临界阻尼(以快速降低振荡振幅[3])。
(a)氢聚变目标的大部分重量在塑料的质量(密度近似<年代pan class="katex"> ρ年代pan>=年代pan>1年代pan>0年代pan>0年代pan>0年代pan>公斤年代pan>/年代pan>米年代pan>3.年代pan>),其中含有氢,氢大约形成一个球体<年代pan class="katex"> 1年代pan>0年代pan>−年代pan>4年代pan>米年代pan>直径。的<年代pan class="katex"> 1年代pan>/年代pan>e年代pan>目标被激发后的衰减时间约为半秒。假设目标的基频约为,估计Zylon杆的弹簧常数和阻尼常数<年代pan class="katex"> 1年代pan>0年代pan>0年代pan>0年代pan>赫兹年代pan>.
(b)在已知弹簧常数和阻尼常数的前提下,达到临界阻尼所需的目标质量是多少?
解决方案:
(a)首先,根据球体的体积和塑料的密度计算聚变目标的质量:<年代pan class="katex-display"> 米年代pan>=年代pan>ρ年代pan>V年代pan>=年代pan>(年代pan>1年代pan>0年代pan>0年代pan>0年代pan>公斤年代pan>/年代pan>米年代pan>3.年代pan>)年代pan>(年代pan>3.年代pan>4年代pan>π年代pan>(年代pan>2年代pan>1年代pan>0年代pan>−年代pan>4年代pan>米年代pan>)年代pan>3.年代pan>)年代pan>=年代pan>5年代pan>.年代pan>2年代pan>4年代pan>×年代pan>1年代pan>0年代pan>−年代pan>1年代pan>0年代pan>公斤年代pan>
的<年代pan class="katex"> 1年代pan>/年代pan>e年代pan>衰减时间是<年代pan class="katex"> τ年代pan>=年代pan>b年代pan>2年代pan>米年代pan>.由此得到阻尼常数:
b年代pan>=年代pan>τ年代pan>2年代pan>米年代pan>=年代pan>.年代pan>5年代pan>年代年代pan>2年代pan>(年代pan>5年代pan>.年代pan>2年代pan>4年代pan>×年代pan>1年代pan>0年代pan>−年代pan>1年代pan>0年代pan>公斤年代pan>)年代pan>=年代pan>2年代pan>.年代pan>1年代pan>0年代pan>×年代pan>1年代pan>0年代pan>−年代pan>9年代pan>公斤年代pan>/年代pan>年代年代pan>.年代pan>
弹簧常数可由(角)频率公式求得:
ω年代pan>=年代pan>米年代pan>公斤ydF4y2B一个年代pan>−年代pan>4年代pan>米年代pan>2年代pan>b年代pan>2年代pan> =年代pan>米年代pan>公斤ydF4y2B一个年代pan>−年代pan>τ年代pan>2年代pan>1年代pan> .年代pan>
重新排列,弹簧常数为:<年代pan class="katex-display"> 公斤ydF4y2B一个年代pan>=年代pan>米年代pan>(年代pan>ω年代pan>2年代pan>+年代pan>τ年代pan>2年代pan>1年代pan>)年代pan>
代入所有的量,记住<年代pan class="katex"> ω年代pan>=年代pan>2年代pan>π年代pan>(年代pan>1年代pan>0年代pan>0年代pan>0年代pan>赫兹年代pan>)年代pan>,计算弹簧常数:
公斤ydF4y2B一个年代pan>=年代pan>2年代pan>.年代pan>0年代pan>7年代pan>×年代pan>1年代pan>0年代pan>−年代pan>2年代pan>公斤年代pan>/年代pan>年代年代pan>2年代pan>.年代pan>
(b)将频率设为零<年代pan class="katex"> b年代pan>而且<年代pan class="katex"> 米年代pan>固定得到质量方程:
公斤ydF4y2B一个年代pan>米年代pan>−年代pan>4年代pan>b年代pan>2年代pan>=年代pan>0年代pan>⟹年代pan>米年代pan>=年代pan>4年代pan>公斤ydF4y2B一个年代pan>b年代pan>2年代pan>
用的<年代pan class="katex"> b年代pan>而且<年代pan class="katex"> 公斤ydF4y2B一个年代pan>收益质量:
米年代pan>=年代pan>5年代pan>.年代pan>3.年代pan>3.年代pan>×年代pan>1年代pan>0年代pan>−年代pan>1年代pan>7年代pan>公斤年代pan>.年代pan>
在这个计算中使用的数字是非常粗略的,但一个明确的物理性质是不可能同时达到临界阻尼和高基频。相对于高基频所需的质量,临界阻尼需要一个本质上无质量的融合目标。在惯性约束聚变中,平衡低基频大激励和欠阻尼的影响是一项艰巨的工程挑战。
汽车悬挂系统中的减震器可以减弱底盘的振动。理想情况下,为了使骑行尽可能平稳,底盘的振动将被严重抑制。假设一辆车撞上了减速带底盘被<年代pan class="katex"> 1年代pan>厘米年代pan>.如果减震器对由此产生的震动产生严重的阻尼,汽车就会有重量<年代pan class="katex"> 1年代pan>0年代pan>0年代pan>0年代pan>公斤年代pan>,阻尼常数为<年代pan class="katex"> b年代pan>=年代pan>2年代pan>0年代pan>0年代pan>0年代pan>0年代pan>公斤年代pan>/年代pan>年代年代pan>,求底盘随时间的位移。
解决方案:
临界阻尼的一般解为:<年代pan class="katex-display"> y年代pan>(年代pan>t年代pan>)年代pan>=年代pan>(年代pan>一个年代pan>+年代pan>B年代pan>t年代pan>)年代pan>e年代pan>−年代pan>2年代pan>米年代pan>b年代pan>t年代pan>.年代pan>利用初始条件:<年代pan class="katex"> y年代pan>(年代pan>0年代pan>)年代pan>=年代pan>0年代pan>.年代pan>1年代pan>厘米年代pan>,<年代pan class="katex"> y年代pan>˙年代pan>(年代pan>0年代pan>)年代pan>=年代pan>0年代pan>收益率:
一个年代pan>B年代pan>=年代pan>0年代pan>.年代pan>1年代pan>厘米年代pan>=年代pan>2年代pan>米年代pan>b年代pan>一个年代pan>=年代pan>1年代pan>.年代pan>0年代pan>厘米年代pan>/年代pan>年代年代pan>
下面,解的单位是<年代pan class="katex"> 厘米年代pan>随着时间的推移,在<年代pan class="katex"> 年代年代pan>:<年代pan class="image-caption center">
参考文献
D. Kleppner和R. Kolenkow,
这个矢量图形图像是用Adobe Illustrator创建的。这个文件来自RLC系列circuit.png: -自己的作品,CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=29120181。
[3] DeCross, M。
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