微函数

在结石,一个可微函数是A.连续函数其衍生存在于在其领域的所有点。即，一个的曲线图可微函数在其定义域的每一点上必须有一条(非垂直的)切线，相对“平滑”(但在数学上不一定平滑)，并且不能包含任何断点、角或尖。可微性是微积分中重要定理的基础，如平均值定理．

一个函数 $F$是可怜的在一个点 $X_0$如果

1） $F$是连续的 $X_0$和
2）在点的切线的斜率 $X_0$被很好地定义。

在 $C$上的间隔 $[a, b]$功能 $f（x）$，其中所述功能是连续 $[a, b]$，有一个角落如果

$\ lim_ {x \ rightarrow c ^ {-}} \ dfrac {d} {dx} \[大f (x) \]大\ neq \ lim_ {x \ rightarrow c ^ {+}} \ dfrac {d} {dx} \[大f (x) \]大$

但这两个限制都存在。

笔记：角是不可微分的。

在 $C$上的间隔 $[a, b]$功能 $f（x）$，其中所述功能是连续 $[A，B]，$有一个尖如果严格按照下列条件之一为真：

• $\的DisplayStyle \ lim_ {X \ RIGHTARROW C 1-4 { - }} \ {dfrac d} {DX} \左侧的[f（x）的\右] = + \ infty$和 $c^{+}}\ dfrac{d}{dx}\left[f(x) \right] = + \infty，$或
• $\的DisplayStyle \ lim_ {X \ RIGHTARROW C 1-4 { - }} \ {dfrac d} {DX} \左侧的[f（x）的\右] = - \ infty$和 $\的DisplayStyle \ lim_ {X \ RIGHTARROW C 1-4 {+}} \ {dfrac d} {DX} \左侧的[f（x）的\右] = - \ infty。$

笔记：尖不是微

对或错？

如果一个函数是处处连续的，那么它是无处不在微。

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错误的．

实施例1：维尔斯特拉斯函数无限颠簸，以便在任何时候可以采取的衍生物。但它无处不连接。

例如:2 $F（X）= \左|X \右|$到处都是连续的，但它在一个角落 $x = 0。$我们无法找到在角落的衍生品，因为衍生物是极限，从左边的零导数不等于导数为零的权利。

一个函数 $f（x）$是光滑的沿着 $（a，b）$如果一阶导数， $F'（x）的$，沿着 $（a，b）。$

中值定理及其衍生物

如果一个函数 $f（x）$是连续 $[a, b]$和可微的 $（a，b）$，则存在至少一个点 $X = C$这样 $F'（C）= \压裂{F（B）-f（a）中} {B-A}$．

对于功能 $f (x) = x ^ {3}$，找到的值（一个或多个） $X$满足上的间隔的中值定理 $[-1，1]$．

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我们知道 $f（x）$是连续 $[a, b]$和可微的 $（a，b）$，所以确实存在 $X$满足值定理值。

我们想知道在什么情况下tan的斜率等于sec的斜率 $－1$到 $1$在 $f (x) = x ^ 3$，这是 $f(1) - f(-1)}{1-(-1)} = 1$

由电源规则， $F'（X）= 3×^ {2}。$放 $F'（X）= 1$并解决方程 $3 x ^ {2} = 1:$

$3x^2 - 1 = 0意味着x= pm = dfrac{1}{根号{3}}。$

这两个 $X$值的值 $X$哪条切线的斜率等于从哪条切线出发的斜率 $－1$到 $1$在 $f (x) = x ^ {3}$． $_\正方形$

中值定理积分

给定一个函数 $f（x）$上的间隔 $[A，B]，$如果 $h (x)$是连续 $[a, b]$和可微的 $（a，b）$，则存在一个点 $C$之间 $一种$和 $B.$这样

$\ int_ {A} ^ {B} F（X）\，DX = F（C）（B-A）。$

笔记：这使您能够确定的平均值 $f（x）$上的间隔 $[a, b]$．想想这样说： $F（c）中$是的平均高度 $f（x）$，使您只需乘 $F（c）中$由矩形的宽度， $b$，得到曲线下面积。因此，由分割双方 $b$，我们可以写出平均值 $f（x）$是这样的:

$\文本{平均值} {\大|} _ {F（X）} = \ dfrac {1} {B-A} \的DisplayStyle \ int_ {A} ^ {B} F（X）\，DX。$

给定的函数 $F（X）= \的DisplayStyle \ int_ {0} ^ {X} \大（T ^ {3} - 3吨^ {2} + t + 1中\大）\，dt的$的平均值 $f（x）$从 $x = 2$到 $x = 4$．

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我们有

$\ BEGIN {对齐} \文本{平均} | _ {F（X）}＆= \压裂{1} {4 - （ - 2）} \ INT _ { - 2} ^ {4} \ int_ {0} ^ {X} \left( t^{3} - 3t^{2} + t + 1 \right)\, dt \\ &= \frac{1}{6} \int_{-2}^{4} \left( \frac{x^{4}}{4} - x^3 + \frac{x^2}{2} + x \right)\, dx \\ &= \frac{1}{6} \left[ \frac{x^{5}}{20} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^2}{2} \right]_{-2}^{4} \\ &=\frac{9}{5}. \ _\square \end{aligned}$

我们可以求出a的长度光滑的曲线 $f（x）$沿一定间隔 $[A，B]。$还记得局部线性和切线逼近吗?如果我们放大一条曲线，最终它开始看起来像一条线。那么，如果我们画一条割线穿过 $\ \大(c、f (c)大)$和 $\大（d，F（c）中\大）$ $\大（$在哪里 $C$和 $D.$不到 $（A，B）\大）$作为 $直流$ $（$我们叫它 $\增量X）$趋于0时，割线的长度 $（$让我们记为 $L)$与被截断的那部分曲线的长度相当接近吗 $x = C.$和 $x = d ?$另外，如果我们有 $\ delta x.$，那么，我们必须有一个 $\增量Y$,这样 $\左（\增量X \右）^ 2 + \左（\德尔塔Y \右）^ 2 = L ^ 2$．然后 $L =√{left(x)^2 + left(y)^2}$．我们可以把这些曲线的长度加起来 $L.$与常规的分区共同 $\ delta x.$曲线的长度是无限的。因此,我们写

$\的DisplayStyle \ lim_ {N \ RIGHTARROW \ infty} \ sum_ {K = 1} ^ {N} \ SQRT {\左（\增量X \右）^ 2 + \左（\德尔塔Y \右）^ 2}，$在哪里 $K.$是 $n ^ \文本{th}$沿着分割 $（A，B），$这里有无数个分区 $（a，b）。$

在微积分，我们喜欢什么用的款项呢？转换他们到积分！但是，我们有一个黎曼和？没有。所以，我们不能让一个组成相当尚未。要获得黎曼和，我们需要有一个 $F_ {K} ^ {*}$，一个矩形的在任何给定分区中的高度，并且 $\ delta x.$，一个普通的分区的宽度。但是，我们可以分解出 $\左（\增量X \右）^ {2}$．所以，我们得到

$\的DisplayStyle \ lim_ {N \ RIGHTARROW \ infty} \ sum_ {K = 1} ^ {N} \ SQRT {\左（\增量X \右）^ 2 \左（1个+ \压裂{\左（\增量Y\右）^ 2} {\左（\增量X \右）^ 2} \右）}，$

它可以被重写为

$\的DisplayStyle \ lim_ {N \ RIGHTARROW \ infty} \ sum_ {K = 1} ^ {N} \ SQRT {1 + \左（\压裂{\增量Y} {\增量X} \右）^ 2}〜\增量X。$

然后我们可以写 ${Delta y}{Delta x}$作为 $F'\左（X_ {K} ^ {*} \右）$．

我们为什么允许这样做吗？这导数的中值定理国家有在区间的一些点 $X = C$在 $（a，b）$使得割线的从斜率 $一种$到 $B.$= $f (c)$．除了这里，我们替换 $C$和 $X_ {K} ^ {*}$，因为这是我们的常规分区某些时候，我们希望有一个黎曼和。

现在，我们有了黎曼和

$n \ rightarrow \ \ displaystyle \ lim_ {infty} \ sum_ {k = 1} ^ {n} \√6{1 +左\ [f ' \离开(间{k} ^{*} \右)正确\]^ 2}~ \δx,$

现在我们有我们的弧长公式：

$\盒装{\ displaystyle \ int_{一}^ {b} \√6{1 +大\ [f (x)大\]^ 2}\,dx}。$

$$概念要考虑的问题：

• 为什么功能必须是平滑为了使用弧长公式？
• 我们不是说 $\ SQRT {X ^ 2} = \左|X \右|？$绝对值总是返回正数。那么，我们如何求弧长 $\ delta x.$是负的？
• 我们如何推导出a上某一区间的弧长公式参数曲线？什么条件下的公式是必要的?

什么是曲线的长度 $Y = \ SQRT [3] {X}$在 $(8) ?$

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乍一看，你可能会这么说 $y$不顺畅，因为 $Y”$不存在在 $x = 0.$．但是，如果我们使曲线平滑什么？是不是真的，我们可以重写功能 $x = y ^ 3 ?$如果我们看 $X = Y ^ 3$，光滑吗?在某种程度上，是的，因为现在 $\离开了。{dx}{dy} \right|_{y=0} =0$，我们可以开始了，我们可以用 $y$．

我们需要知道 $\压裂{DX} {DY}$，这是 $3Y ^ 2$根据幂次法则，因此公式是

$\ int_{2} ^{2} \√6{1 +左\ [3 y ^ 2 \] ^ {2}} \, dy。$

用计算器计算这个积分，我们可以发现曲线在这个区间上的长度大约是 $17.2607 ...$． $_\正方形$