保理复合二次方程:gydF4y2Ba $ax^4 + bx^2 + cgydF4y2Ba$

一个gydF4y2Ba复合二次gydF4y2Ba多项式是否可以用这种形式表示gydF4y2Ba $ax ^ {2 n} + bx ^ {n} + cgydF4y2Ba$,在那里gydF4y2Ba $a \ neq 0 bgydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $cgydF4y2Ba$是常数,gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$为正整数。这可以推广到复合多项式，其中项的次数是某个正整数的倍数。gydF4y2Ba

解一个复合二次方程，如gydF4y2Ba $ax ^ {2 n} + bx ^ {n} + cgydF4y2Ba$，则引入一个新变量gydF4y2Ba $u = x ^ ngydF4y2Ba$．方程变得gydF4y2Ba $布鲁里溃疡盟^ 2 + + c = 0gydF4y2Ba$，然后我们可以解出gydF4y2Ba $ugydF4y2Ba$，然后我们可以解决gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

一般来说，任何复合多项式方程都是可以解出来的gydF4y2Ba $f (x) = 0gydF4y2Ba$，把它看成一个多项式gydF4y2Ba $g (u)gydF4y2Ba$与替换gydF4y2Ba $u = x ^ ngydF4y2Ba$，如果有人知道解决的方法gydF4y2Ba $g (u) = 0gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

通常，一个方程看起来很难解，但如果你知道如何简化它，它通常会非常简单。一个常见的例子，四次形式gydF4y2Ba $Ax ^4 + bx^2 + c = 0，gydF4y2Ba$可以用代换来简化吗gydF4y2Ba $u = x ^ 2。gydF4y2Ba$所以方程变成gydF4y2Ba $Au ^2+ bu + c = 0，gydF4y2Ba$二次方程，当然更容易解。gydF4y2Ba

对于解，你可以明确地分解它gydF4y2Ba $(u-u_1) (u-u_2) = 0,gydF4y2Ba$在哪里gydF4y2Ba $u_1gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $u_2gydF4y2Ba$是方程的解(或根)还是可以用二次方程gydF4y2Ba

$U = {frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}。gydF4y2Ba$

以下是一些例子:gydF4y2Ba

解方程gydF4y2Ba $3 x ^ 4 + 12 x ^ 2 + 7 = 0gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

---

替代gydF4y2Ba $U = x^2等于3u^2 + 12u + 7 = 0。gydF4y2Ba$

代入二次方程，gydF4y2Ba

${对齐}u & = \ \开始压裂{- b \ \下午sqrt {b ^ 2 - 4 ac}} {2 a }\\\\ &= \ 压裂{-12 \ \下午√6 {12 ^ 2 - 4 3 \ \ cdot cdot 7}} {2 \ cdot 3}。结束\{对齐}gydF4y2Ba$

这有两个解决方案:gydF4y2Ba $U = -0.7， -3.3gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

最后,gydF4y2Ba $b = \ sqrt{你},gydF4y2Ba$所以gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$有四个纯虚数根吗gydF4y2Ba

$B = pm 0.84i, pm 1.81i。\ _ \广场gydF4y2Ba$

解方程gydF4y2Ba $x ^ 8 + 2 x ^ 4 + 1 = 0gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

---

首先，我们需要识别gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$．因为LHS是一个多项式gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$以及gydF4y2Ba $x ^ 4gydF4y2Ba$，看来我们选择是合适的gydF4y2Ba $n = 4gydF4y2Ba$．我们因此替换gydF4y2Ba $u = x ^ 4gydF4y2Ba$,获得gydF4y2Ba $u ^ 2 + 2 + 1 = 0gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

分解这个方程，就得到这个gydF4y2Ba $U²+2u+1 = (U +1)²= 0gydF4y2Ba$；因此,gydF4y2Ba $u + 1 = 0gydF4y2Ba$因此gydF4y2Ba $x ^ 4 = 1gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

结果，我们做到了gydF4y2Ba $X = pm = sqrt{pm i}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

解方程gydF4y2Ba $x ^ {15} + x ^ {10} + x ^ 5 + 1 = 0gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

---

同样，我们需要确认gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$．似乎gydF4y2Ba $n = 5gydF4y2Ba$是合适的，所以我们替换gydF4y2Ba $u = x ^ 5gydF4y2Ba$,获得gydF4y2Ba $u你^ ^ 3 + 2 + u + 1 = 0gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

两边同时乘以gydF4y2Ba $u-1gydF4y2Ba$,并拒绝gydF4y2Ba $u = 1gydF4y2Ba$．因此,我们得到gydF4y2Ba $(u-1)(u^3+u^2+u+1) = u^4-1 = 0gydF4y2Ba$；因此,gydF4y2Ba $u ^ 4 = 1gydF4y2Ba$因此gydF4y2Ba $x ^ {20} = 1gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

结果，我们做到了gydF4y2Ba $X = e^{k\pi / 10}gydF4y2Ba$,gydF4y2Ba $k \ \ mathbb {Z}gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $4 \ nmid kgydF4y2Ba$．(要想知道一个解是如何得到的，就去寻找统一的根源。)gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

• 二次方程因式分解gydF4y2Ba

• 多项式因式分解gydF4y2Ba

• 方程组-因子分解gydF4y2Ba

• 分解的三次曲线gydF4y2Ba

• 大系数多项式的因式分解:提取因式分解gydF4y2Ba