大系数多项式的分解:提取式分解gydF4y2Ba

一般来说，多项式的因式分解是相当困难的，但是一些特殊的多项式可以用特定的技巧因式分解。gydF4y2Ba

今天，我将讨论如何分解具有大系数的多项式，如gydF4y2Ba $3 x ^ 2 + 10 x - 1000gydF4y2Ba$轻松。我知道这将是一个很长的笔记，但我觉得值得阅读所有内容，包括底部的广义形式，除了证明(除非你想)。gydF4y2Ba

今天上数学课的时候，我发现了一个小技巧，可以分解二阶多项式的大系数和无理数。例如，尝试因式分解gydF4y2Ba $3 x ^ 2 + 10 x - 1000gydF4y2Ba$．因式分解相对简单gydF4y2Ba $(3 x 50) (x + 20)gydF4y2Ba$但这将需要一段时间，至少比我将要讨论的方法要长。gydF4y2Ba

我们从这个表达式开始gydF4y2Ba $3 x ^ 2 + 10 x - 1000gydF4y2Ba$．然后第二个系数除以10，第三个系数除以100，就得到了这个表达式gydF4y2Ba $3 x ^ 2 + 10倍,gydF4y2Ba$哪一个可以很容易分解gydF4y2Ba $(3 x5) (x + 2)gydF4y2Ba$．最后，我们将每个因子的第二项乘以10，得到gydF4y2Ba $(3 x 50) (x + 20)gydF4y2Ba$．看起来很眼熟，不是吗?gydF4y2Ba

基本上，我所做的是，我用第二个系数除以它的任何一个因子(在这个例子中是10)，然后用第三个系数除以那个因子的平方，而第一个系数保持不变。gydF4y2Ba

此方法也适用于无理数系数和虚系数:gydF4y2Ba

因式分解gydF4y2Ba $4 x ^ 2 + 8 \ sqrt2x + 8gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

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提出来gydF4y2Ba $2 \ sqrt2gydF4y2Ba$从第二个系数得到8，从第三个系数得到8，然后剩下gydF4y2Ba $4 x ^ 2 + 4 x + 1 = x + 1)(2 ^ 2。gydF4y2Ba$通过反向相乘gydF4y2Ba $2 \ sqrt2gydF4y2Ba$每个因子的第二项，在这个例子中是gydF4y2Ba $(2 x + 1),gydF4y2Ba$我们有gydF4y2Ba

$\离开(2 x + 2 \ sqrt2 \右)^ 2。\ _ \广场gydF4y2Ba$

这也与第一个系数相反:gydF4y2Ba

因式分解gydF4y2Ba $25 x ^ 2-60x + 36gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

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我们可以把中间的系数提出来5第一个系数提出来25，然后就剩下gydF4y2Ba $x ^ 2-12x + 36gydF4y2Ba$．接下来，我们可以从第二个系数中提出6，从最后一个系数中提出36，就剩下了gydF4y2Ba $x ^ 2-2x + 1 = (x - 1) ^ 2gydF4y2Ba$．最后，我们将5的第一个系数和6的最后一个系数重新因式，得到gydF4y2Ba $(5×6)^ 2gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

这也适用于不可分解表达式。这种方法不能使不可分解方程可分解;然而，它将使二次公式更容易使用。这有点难做，因为，根据你提出一个数的方式，公式会改变。gydF4y2Ba

案例1:gydF4y2Ba $ax ^ 2 + bx + c \ Rightarrow ax ^ 2 + \压裂{bx} {d} + \压裂{c} {d ^ 2}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

这样二次方程就变成了gydF4y2Ba

$\ dfrac{——下午\压裂{b} {d} \ \√6{\压裂{b ^ 2} {d ^ 2} - \压裂{4 ac} {d ^ 2}}} {2} = \ dfrac{——下午\压裂{b} {d} \ \压裂{\√6 b {^ 2-4ac}} {d}} {2} = \ dfrac {- b \ \下午√6 b {^ 2-4ac}}{2 \颜色{# 3 d99f6} {\ textbf {d}}}。gydF4y2Ba$

因此，一旦我们得到了答案，我们必须将答案乘以这个数字gydF4y2Ba $颜色\ {# 3 d99f6} {\ textbf {d}}gydF4y2Ba$我们一开始提取的。gydF4y2Ba

因式分解gydF4y2Ba $x ^ 2 + 60 + 2025gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

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通过提出因式gydF4y2Ba $15gydF4y2Ba$从第二个系数和gydF4y2Ba $15 ^ 2 = 225gydF4y2Ba$从最后的系数，我们有gydF4y2Ba

$\{对齐}开始x ^ 2 + \压裂{60}{15}x + \压裂{2025}{225}& = x ^ 2 + 4 x + 9 \ \ & = \离开(x - \压裂{4 + \ sqrt{16-36}}{2} \) \离开(x - \压裂{4 + \ sqrt{16-36}}{2} \) \ \ & = \离开(x - \大(2 + \ sqrt{5}我\)\)\离开(x - \大2 - \√{5}我\)\右)。结束\{对齐}gydF4y2Ba$

现在，乘回来gydF4y2Ba $15日,gydF4y2Ba$我们有gydF4y2Ba

$\{对齐}开始x ^ 2 + 60 + 2025 & = \离开(x - \大(- 15)2 +(15)\√{5}我\)\)\离开(x - \大(-(15)2 - 15 \√{5}我\)\)\ \ & = \离开(x - \大(-30 + 15 \ sqrt{5}我\)\)\离开(x - \大30-15 \√{5}我\)\右)。\ _\方形\端{对齐}gydF4y2Ba$

案例2:gydF4y2Ba $ax ^ 2 + bx + c \ Rightarrow \压裂{ax ^ 2} {d ^ 2} + \压裂{bx} {d} + cgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

这就把二次方程变成了gydF4y2Ba

$\ dfrac{——下午\压裂{b} {d} \ \√6{\压裂{b ^ 2} {d ^ 2} - \压裂{4 ac} {d ^ 2}}}{\压裂{2}{d ^ 2}} = \ dfrac {d ^ 2 \离开(-下午\压裂{b} {d} \ \压裂{\√6 b {^ 2-4ac}} {d} \右)}{2}= \压裂{{\颜色{# 3 d99f6} {\ textbf {d}}} \大- b \ \下午√{b ^ 2-4ac} \大)}{2}。gydF4y2Ba$

因此，一旦我们得到答案，我们必须用答案除以数字gydF4y2Ba $颜色\ {# 3 d99f6} {\ textbf {d}}gydF4y2Ba$我们一开始提取的。gydF4y2Ba

现在，我们将证明为什么这是可行的:gydF4y2Ba

写出一般表达式gydF4y2Ba $ax ^ 2 + bx + c,gydF4y2Ba$可以考虑哪些因素gydF4y2Ba $(dx + e) (fx + g)。gydF4y2Ba$这意味着gydF4y2Ba $a = df, b = dg +英孚,gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $c =。gydF4y2Ba$我们方法的最后一步要求我们把二项式的第二个系数都乘以gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$ $(ngydF4y2Ba$是我们提出来的数gydF4y2Ba $b)。gydF4y2Ba$所以我们的表达式变成gydF4y2Ba $大(dx + \ \压裂{e} {n} \大)、大(fx + \压裂{g} {n} \大),gydF4y2Ba$这意味着gydF4y2Ba $= df \压裂{b} {n} = \压裂{dg + ef} {n} \压裂{c} {n ^ 2} = \压裂{如}{n ^ 2}gydF4y2Ba$．这就是为什么要提出来gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $n ^ 2gydF4y2Ba$分别从第二个和第三个系数。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

这个规则实际上可以应用于任何阶的多项式。不幸的是，多项式的次越高，就越不方便。gydF4y2Ba

但是，我们有一个带次数的多项式gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$，这可以被考虑在内gydF4y2Ba $(a_1x + k_1) (a_2x + k_2) (a_3x + k_3) \ cdots (a_nx + k_n)gydF4y2Ba$．它不一定有整数或实数系数。接下来，我们假设第二个(包括)之后的所有系数都能被整除gydF4y2Ba $r ^ t,gydF4y2Ba$在哪里gydF4y2Ba $tgydF4y2Ba$的位置。gydF4y2Ba $rgydF4y2Ba$相对于第二个系数。gydF4y2Ba

这意味着我们有gydF4y2Ba $\ displaystyle \ prod_ {t = 0} ^ n (a_tx + b_tr),gydF4y2Ba$这相当于gydF4y2Ba $\ displaystyle \ sum_ {t = 0} ^ n \离开(r ^{次方}\大(p_tx ^ t \大)\右)。gydF4y2Ba$在膨胀时，我们得到gydF4y2Ba

$p_nx ^ n + r \大(p_ x ^ {n} {n} \大)+ r ^ 2 \大(p_ x ^ {n}{2} \大)+ r ^ 3 \大(p_ x ^ {n} {n} \大)+ \ cdots + r ^ {n} \大(p_1x ^ 1 \大)+ r ^ n (p_0)。gydF4y2Ba$

正如我们所看到的，只要第一个系数之后的每个系数都能被整除，这个方法就有效gydF4y2Ba $r ^ t。gydF4y2Ba$

检验这是否可行的一个有用的方法是，将第二个系数之后的所有系数进行质因数分解，然后寻找公约数。它有多重幂。假设我们有gydF4y2Ba $x ^ 4-3x ^ 3 - 63 x ^ 2 + 27 x + 486gydF4y2Ba$．首先，我们将这些数字进行质因数分解gydF4y2Ba $x ^ 4-3x ^ 3 ^ 2 \ cdot7x ^ 2 + 3 ^ 3 x + 2 \ cdot3 ^ 5。gydF4y2Ba$我们可以看到，它们的幂是3。因此，我们可以从每个系数中消去3次幂，剩下的是gydF4y2Ba

$\{对齐}开始x ^ 4 x ^ 3-7x ^ 2 + x + 6 & = x ^ 3 (x - 1) - (7 x + 6) (x - 1) \ \ & = \离开(x \大(x ^ 2 - 1 \大)6 (x + 1) \右)(x - 1) \ \ & = \大(x ^ 2-x-6 \大)(x + 1) (x - 1) \ \ & = (- 3) (x + 2) (x + 1) (x - 1)。结束\{对齐}gydF4y2Ba$

最后，我们把一开始提出来的3提回来gydF4y2Ba $(x - 9) (x + 6) (x + 3)(3)。gydF4y2Ba$