对数函数的衍生物GydF4y2Ba

对数函数的衍生物GydF4y2Ba主要是基于GydF4y2Ba连锁规则GydF4y2Ba。但是，我们可以将其概括为具有对数函数的任何可分辨率函数。日志的差异仅在基础下GydF4y2Ba $e，GydF4y2Ba$但我们也可以在其他基地下区分。GydF4y2Ba

$\ frac {d} {dx} \ ln {x} = \ frac {1} {x}GydF4y2Ba$

现在我们将从第一个原则证明这一点：GydF4y2Ba

从第一个原则，GydF4y2Ba $\ frac {d} {dx} f（x）= \ displaystyle \ lim_ {h \ lightarrow 0} {\ dfrac {f（x + h）-f（x）} {h}}GydF4y2Ba$。GydF4y2Ba

现在让步GydF4y2Ba $f（x）= \ ln {x}，GydF4y2Ba$然后GydF4y2Ba

$\ begin {对齐} \ dfrac {\ text {d}} f（x）＆= lim_ {h \ lightarrow 0} {\ dfrac {\ ln（x + h） - \ ln{x}} {h}} \\＆= \ lim_ {h \ lightarrow 0} {\ dfrac {\ frac {x} {h} \ ln \ left（1 + \ frac {h} {x}右）} {x}} \\＆= \ lim_ {h \ lightarrow 0} {\ dfrac {\ ln {\ left（1 + \ frac {h} {x}右）^ {\ frac {x} {h}}}} {x}} \\＆= \ lim_ {h \ lightarrow 0} {\ dfrac {\ ln {e}} {x}} {x} \\＆= dfrac {1} {x}。\ _ \ square\结束{对齐}GydF4y2Ba$

找到衍生物GydF4y2Ba $\ ln {x}GydF4y2Ba$在GydF4y2Ba $x = 2GydF4y2Ba$。GydF4y2Ba

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我们有GydF4y2Ba

$\ dfrac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ ln {x} = \ dfrac {1} {x}。GydF4y2Ba$

因此GydF4y2Ba

$\ dfrac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ ln x \ bigg | _ {x = 2} = \ dfrac {1} {2}。\ _ \ squareGydF4y2Ba$

区分GydF4y2Ba $\ ln 5x.GydF4y2Ba$

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解决方案1：GydF4y2Ba使用链规则。GydF4y2Ba

让GydF4y2Ba $f（x）= \ ln xGydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $g（x）= 5xGydF4y2Ba$。然后我们被要求找到GydF4y2Ba $（f \ circ g）'GydF4y2Ba$。GydF4y2Ba

使用链规则，我们知道GydF4y2Ba $（f \ circ g）'=（f'\ circ g）\ times g'。GydF4y2Ba$

自从GydF4y2Ba $f'\ circ g = \ frac {1} {5x}GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $g'（x）= 5，GydF4y2Ba$我们有GydF4y2Ba $（f \ circ g）'= \ frac {1} {5x} \ times 5 = \ frac {1} {x}。\ _ \ squareGydF4y2Ba$

解决方案2：GydF4y2Ba使用Logarithms的属性。GydF4y2Ba

我们知道对onarithms的财产GydF4y2Ba $\ log_a b + \ log_a c = \ log_a bcGydF4y2Ba$。使用此属性，GydF4y2Ba

$\ ln 5x = \ ln x + \ ln 5。GydF4y2Ba$

如果我们区分双方，我们会看到GydF4y2Ba

$\ dfrac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ ln 5x = \ dfrac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ ln xGydF4y2Ba$

自变化以来GydF4y2Ba $\ ln 5.GydF4y2Ba$这是一个常数GydF4y2Ba $0。GydF4y2Ba$

我们已经看到了GydF4y2Ba $\ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ ln x = \ frac {1} {x}GydF4y2Ba$，这是这个问题的答案。GydF4y2Ba $_\正方形GydF4y2Ba$

概括：GydF4y2Ba对于任何积极的实数GydF4y2Ba $P.GydF4y2Ba$，我们可以得出结论GydF4y2Ba $\ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ ln px = \ frac {1} {x}GydF4y2Ba$。注意衍生物独立于GydF4y2Ba $P.GydF4y2Ba$。这可以通过写作证明GydF4y2Ba $P.GydF4y2Ba$代替GydF4y2Ba $5.GydF4y2Ba$在上述解决方案中。GydF4y2Ba

如果GydF4y2Ba $一种GydF4y2Ba$是一个积极的实数和GydF4y2Ba $一个\ neq 1GydF4y2Ba$， 然后GydF4y2Ba

$\ dfrac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ log_ {a} {x} = \ dfrac {1} {x \ ln {a}}。GydF4y2Ba$

我们将使用GydF4y2Ba基调配方GydF4y2Ba更改对数的基础GydF4y2Ba $E：GydF4y2Ba$

$\ log_ {a} {x} = \ dfrac {\ ln {x}} {\ ln {a}} {\ ln {a}} \\ \ dfrac {\ text {\ text {d}} {\ text {d}} \ log_ {a} x= \ dfrac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ dfrac {\ ln {x}} {\ ln {a}}。GydF4y2Ba$

自从GydF4y2Ba $\ frac {1} {\ ln {a}}GydF4y2Ba$是一个常量，GydF4y2Ba

$\ dfrac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ dfrac {\ ln x} {\ ln a} = \ dfrac {1} {\ ln a} {\ ln a} \ dfrac {\ text {d}} {\文本{d} x} \ ln x = \ dfrac {1} {x \ ln {a}}。\ _ \ squareGydF4y2Ba$

对于任何其他类型的日志衍生物，我们使用基本更改公式。GydF4y2Ba

由于这是一个复合功能，我们可以使用它来使用GydF4y2Ba连锁规则GydF4y2Ba。GydF4y2Ba

$\ dfrac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ ln \ big（f（x）\ big）= \ dfrac {f'（x）} {f（x）}GydF4y2Ba$

现在我们将开始GydF4y2Ba $g（x）= \ ln \ big（f（x）\ big）。GydF4y2Ba$为了找到它的衍生品，我们将替代GydF4y2Ba $u = f（x）。GydF4y2Ba$现在衍生物改变GydF4y2Ba $g（x）= \ log {u}。GydF4y2Ba$所以，GydF4y2Ba

$\ begin {对齐} g'（x）＆= \ frac {d} {dx} \ log {u} \\＆= \ frac {du} {dx} \ times \ frac {d} {du} \ ln {u} \\＆= \ dfrac {f'（x）} {f（x）}。\ _ \ square \ END {对齐}GydF4y2Ba$

找到衍生物GydF4y2Ba $\ ln（x ^ 2 + 4）GydF4y2Ba$。GydF4y2Ba

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使用定理，衍生物GydF4y2Ba $\ ln \ big（f（x）\ big）GydF4y2Ba$是GydF4y2Ba $\ frac {f'（x）} {f（x）}GydF4y2Ba$。在这个问题中，GydF4y2Ba $f（x）= x ^ 2 +4，GydF4y2Ba$所以GydF4y2Ba $f'（x）= 2xGydF4y2Ba$。GydF4y2Ba

因此GydF4y2Ba $\ frac {d} {dx} \ log \ big（x ^ 2 + 4 \ big）= \ frac {2x} {x ^ 2 +4}。\ _ \ squareGydF4y2Ba$