立方判别
我们可以计算多项式的任意次幂的判别式。例如，二次判别由\(\Delta_2 = b^2 - 4ac \)给出。但是对于高次多项式，它会变得更复杂。
三次多项式的判别式\(ax^3 + bx^2 + cx + d \)由
\[\Delta_3 = b^2 c^2 - 4ac^3 - 4b^ 3d - 27a^2 d^2 + 18abcd。\]
如果\(\Delta_3 > 0 \)，则方程有三个不同的实根。
如果\(\Delta_3 = 0 \)，则方程有重根，且所有根都是实根。
如果\(\Delta_3 < 0 \)，则方程有一个实根和两个非实复数共轭根。
或者，我们可以计算出三次行列式的值如果我们知道多项式的根。设\(\alpha，\beta，\)和\(\gamma\)表示某三次多项式的根，则其判别式为
\ [\ Delta_3 = ^ 4(\α-β\)^ 2(β\ \γ)^ 2(\γ- \α)^ 2 \;．\]
下面是一个需要我们使用三次判别的好例子:
判别式的定义
对于一个多项式\(P(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0\)具有根\(x_1,x_2，\ldots,x_n\)(计算多重性)，其判别是
δ= \ [\ an ^ {2 - 2} \ prod_ {1 \ leq i < j \ leq n} (x_i-x_j) ^ 2。\]
注意一些事情:
- 当有重根时，判别式就消失了。
- 如果\(P(x)\)的系数都是实数，则判别式总是实数。
- 如果所有根都是实数且不同，则判别式总是正的。
为三次多项式时,即\ (P (x) = ax ^ 3 + bx ^ 2 +残雪+ d \)得到\(\δ= ^ 4 (x_1-x_2) ^ 2 (x_2-x_3) ^ 2 (x_3-x_1) ^ 2 \)。
计算三次多项式的判别式
因为判别式是对称的在多项式的根处，我们可以将其表示为初等对称多项式，即\(P(x)\)的系数。虽然有一个一般的方法来推导任何多项式的判别式，这是一个初等和代数的方法。
通过Vieta的公式我们有
\[开始\{对齐}x_1 + x_2 + x_3 & = - \ dfrac {b}{一}\ \ \ \ x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 & = \ dfrac {c}{一}\ \ \ \ x_1x_2x_3& = - \ dfrac d{}{}。结束\{对齐}\]
让我们展开判别式:
δ= ^ 4 \[\ \大(\大(x_1x_2 ^ 2 + x_2x_3 ^ 2 + x_3x_1 ^ 2 \大)——\大(x_1 ^ 2 x_2 + x_2 ^ 2 x_3 + x_3 ^ 2 x_1 \大)\大)^ 2。\]
让\ (m = x_1x_2 ^ 2 + x_2x_3 ^ 2 + x_3x_1 ^ 2 \)和\ (n = x_1 ^ 2 x_2 + x_2 ^ 2 x_3 + x_3 ^ 2 x_1 \),然后\(\δ= ^ 4 (mn) ^ 2 \)。我们不能直接计算\(m\)和\(n\)，但由于它们是循环多项式，证明\(m\)和\(n\)的初等对称多项式在\(x_1,x_2，\)和\(x_3\)中是对称的，因此可以用\(P(x)\)的系数表示。那么，让我们找到它们:
\[开始\{对齐}m + n = x_1x_2 (x_1 + x_2) + x_2x_3 (x_2 + x_3) + x_3x_1 (x_3 + x_1 ) \\\\ &=( x_1 + x_2 + x_3) (x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3) 3 x_1x_2x_3 \ \ \ \ & = \ dfrac{公元前+ 3广告}{^ 2}。结束\{对齐}\]
\(mn\)的情况需要更繁琐的展开:
\[开始\{对齐}mn = & \颜色{蓝}{(x_1x_2) ^ 3 + (x_1x_3) ^ 3 + (x_2x_3) ^ 3} + 3 (x_1x_2x_3) ^ 2 + x_1x_2x_3 \大(\颜色{红}{x_1 ^ 3 + x_2 ^ 3 + x_3 ^ 3}{蓝}\颜色\大)\ \颜色\ \ = & \{蓝}{(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3) ^ 3 - 3 (x_1 + x_2 + x_3) (x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3) (x_1x_2x_3) + 3 (x_1x_2x_3) ^ 2} + 3 (x_1x_2x_3) ^ 2 \ \ &{{蓝}{+ x_1x_2x_3 \颜色\大(}}{红}\颜色{(x_1 + x_2 + x_3) ^ 3 - 3 (x_1 + x_2 + x_3) (x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3) + 3 x_1x_2x_3}{蓝}\颜色\大)\ \ \ \= & \ dfrac {c ^ 3} {^ 3} - \ dfrac {3 bcd} {^ 3} + \ dfrac {6 d ^ 2} {^ 2} + \ dfrac ^ 3 d {b} {^ 4} - \ dfrac {3 bcd} {^ 3} + \ dfrac {3 d ^ 2} {^ 2} \ \ \ \ = & \ dfrac{交流^ 3-6abcd + 9 a ^ 2 d b ^ ^ 2 + 3 d}{^ 4}。结束\{对齐}\]
最后,使用身份\ ((mn) ^ 2 = (m + n) ^ 2-4mn: \)
\[\开始{对齐}\三角洲& = ^ 4 (mn) ^ 2 = ^ 4 \离开(\ dfrac{公元前+ 3广告}{^ 2}\右)^ 2-4a ^ 4 \离开(\ dfrac{交流^ 3-6abcd + 9 a ^ 2 d b ^ ^ 2 + 3 d} {^ 4} \) \ \ \ \ & ^ = b 2 c ^ 2-6abcd + 9 ^ ^ 2 d 2-4ac ^ 3 + 24 abcd-36a ^ 2 d ^ 2-4b ^ 3 d \ \ \ \ & = \盒装^ {b 2 c ^ 2-4ac ^ 3-4b d-27a ^ 3 ^ 2 d ^ 2 + 18 abcd}。结束\{对齐}\]