作为原子的构建物质,基本对称多项式是所有对称多项式的构建块。多项式的基本对称多项式包括
N.变量,
{X1那X2那......那XN.},定义为
{E.0.那E.1那......那E.N.}:
E.0.E.1E.2E.3.E.N.=1=1≤.j≤.N.σ.Xj=1≤.j<K.≤.N.σ.XjXK.=1≤.j<K.<L.≤.N.σ.XjXK.XL.⋮=X1X2......XN..
一般来说,对
0.≤.M.≤.N.
E.M.=1≤.j1<j2<⋯<jM.≤.N.σ.Xj1Xj2......XjM..
初等对称多项式
N.变量,
{X1那X2那......那XN.},可以使用多项式生成
一世=1π.N.(T.+X一世的)那
在那里
K.钍基本对称多项式,
E.K.,将是系数
T.N.-K..
列出包含的所有基本对称多项式
3.变量
X那y那Z..
我们有
E.0.E.1E.2E.3.=1=X+y+Z.=Xy+yZ.+Z.X=XyZ..□
对称多项式基本定理
每一个对称多项式
P.(X1那X2那......那XN.的)可以根据基本对称多项式重写
(E.1那E.2那......那E.N.的).
表达
X3.yZ.+Xy3.Z.+XyZ.3.仅用初等对称多项式表示。
我们有
X3.yZ.+Xy3.Z.+XyZ.3.=XyZ.(X2+y2+Z.2的)=XyZ.((X+y+Z.的)2-2(Xy+yZ.+Z.X的)的)=E.3.(E.12-2E.2的).□