Cardano的方法

的Cardano的公式(以吉罗拉莫·卡尔达诺1501-1576命名)，它类似于二次方程的完全平方法，是一种寻找三次方程实根的标准方法

$ax ^ 3 + bx ^ 2 +残雪+ d = 0。$

然后，我们可以通过多项式除法和二次公式找到其他两个根(实数或复根)。解决方案有两个步骤。我们首先“压缩”三次方程，然后求解压缩方程。

为了降低三次方程，我们代入

$x = y - \压裂{b}{3}。$

然后我们得到

$\开始{对齐}\离开(y - \压裂{b}{3} \右)^ 3 + b \离开(y - \压裂{b}{3} \右)^ 2 + c \离开(y - \压裂{b}{3} \右)+ d & = 0 \ \ ay ^ 3×^ 2 + \压裂{b ^ 2} {3} y - \压裂{b ^ 3}{27 ^ 2} + ^ 2 - \压裂{2 b ^ 2} {3} y + \压裂{b ^ 3} {9 ^ 2} + cy - \压裂公元前{}{3}+ d & = 0 \ \ ay ^ 3 + \离开(c - \压裂{b ^ 2}{3} \右)y + \离开(d + \压裂{2 b ^ 3}{27 ^ 2} - \压裂公元前{}{3}\右)& = 0。结束\{对齐}$

请注意，上面的方程已经以这样一种方式进行了压缩，它没有 $y ^ 2$术语。让我们举个例子。

压缩下面的方程: $2 x ^ 3-30x x ^ 2 + 162 - 350 = 0。$

---

替换 $X = y - \frac {-30}{6} = y + 5，$这个方程被降为

${对齐}2 \ \开始离开(y ^ 3 + 15 y ^ 2 + 75 y + 125 \右)-30 \ (y y ^ 2 + 10 + 25 \右)+ 162 (y + 5) -350 & y = 0 \ \ 2 ^ 3 + (150 - 300 + 162) y + 250 - 750 + 810 - 350 & y = 0 \ \ 2 ^ 3 + 12 y-40& = 0 \ \ y ^ 3 + 6运- 20 = 0。\ _\方形\端{对齐}$

下一步是解这个形式下的方程 $y ^ 3 + Ay = B$．

我们先代入

$\begin{aligned} 3st & =A\\ s^3-t^3 & =B。结束\{对齐}$

然后解出

$Y = s -t。$

求三次方程的实根 $2 x ^ 3-30x x ^ 2 + 162 - 350 = 0。$

---

从上面的例子中，我们知道给定的方程被化成了 $y ^ 3 + 6 y = 20。$然后代入

$\{对齐}开始3st & = 6 & & \ qquad (1) \ \ s ^ 3 t ^ 3 & = 20。&&\qquad (2) \end{aligned}$

从 $(1）$我们有 $S = \frac {2}{t}，$把它代入 $（2）$给了

$\dfrac {8}{t^3} - t^3=20。\ qquad (2)$

乘 $(2)$在通过 $t ^ 3$，得到的二次方程 $t ^ 3$如下:

$t ^ 6 + 20 t ^ 3 - 8 = 0。$

解 $t ^ 3$然后 $t$，我们有

$-20 t ^ 3 = \压裂{\下午12 \ sqrt{3}}{2} \意味着t = \ sqrt[3]{-10下午\ \ sqrt{3}}。$

可以证明，无论取正根还是负根 $t,$我们会得到相同的值 $Y = s-t$．我们只考虑积极的方面 $T = \根号[3]{-10+6\根号{3}}$在这里。

从 $（2）$我们有

$s = \ sqrt [3] {20 + 6 \ sqrt {3}} = \ sqrt [3] {10 + 6 \ sqrt {3}},$

这意味着

$s - t y = = \ sqrt [3] {10 + 6 \ sqrt {3}} - \ sqrt [3] {-10 + 6 \ sqrt{3}} = 2。$

因此，原三次方程的实根 $2 x ^ 3-30x x ^ 2 + 162 - 350 = 0$是

$X = y +5 = 2+5 = 7。\ _ \广场$

请注意:我们检查一下 $x = 7$是三次方程的唯一实根吗 $2 x ^ 3-30x x ^ 2 + 162 - 350 = 0$因为 $2 x ^ 3-30x ^ 2 + 162 x - 350$可以因式分解为 $2 (x 7) (x ^ 2-8x + 25)。$ $_ \广场$

三次多项式 $P: ax³+ bx²+ cx + d =0$有解决方案

$\begin{aligned} x_1 & = S + T - \frac b {3a}\ \ x_2 & = - \frac {S + T} 2 - \frac b {3a} + \frac {i \sqrt 3} 2 \left({S - T}\right) \ x_3 & = - \frac {S + T} 2 - \frac b {3a} - \frac {i \sqrt 3} 2 \left({S - T}\right)， \\ \end{aligned}$

在哪里 $S = \ sqrt [3] {R + \ sqrt{问^ 3 + R ^ 2}}, T = \ sqrt [3] {R - \ sqrt{问^ 3 + R ^ 2}},$反过来 $Q = \frac {3a c - b^2} {9a ^2}， R = \frac {9a b c - 27a ^2 d - 2b ^3} {54a ^3}$．

在压缩方程并通过除以使它成为一项之后 $一个,$我们得到了

$\ \{对齐}开始y ^ 3 +左(\ dfrac {3 ac-b ^ 2}{3 ^ 2} \右)y + \ dfrac {2 b ^ 3-9abc + 27 ^ 2 d} {27 ^ 3} & = 0 \ \ y ^ 3 + 3 qy-2r& = 0。结束\{对齐}$

现在考虑恒等式 $(S + T) ^ 3-3ST (S + T) - (S T ^ ^ 3 + 3) = 0$．如果我们让它与方程匹配，我们得到

$\begin{aligned} y&=S+T\\ ST&=-Q \\ S^3+T^3 &=2R。结束\{对齐}$

对第二个方程两边取立方得到 $t S ^ 3 ^ 3 = - q ^ 3$．现在,通过Vieta的公式，多项式 $P (z) = z ^ 2-2Rz-Q ^ 3$会有根基 $S ^ 3$而且 $T ^ 3$，我们用二次公式来求解:

$z=R \pm \√{R^2+Q^3}。$

注意这个方程组是对称的在 $年代$而且 $T$，所以我们选择的顺序不重要，和的值 $y$都是一样的。所以

$\开始{对齐}& = w ^ m \ sqrt [3] {R + \ sqrt {R ^ 2 + Q ^ 3}} \ \ t = w ^ n \ sqrt [3] {R - \ sqrt {R ^ 2 + Q ^ 3}},结束\{对齐}$

在哪里 $0 \leq m,n \leq 2$而且 $w$是任何 $3 ^ \文本{rd}$单位的本根．的值有9种组合 $S + T$，但只有3个工作。通过看第二个方程，我们可以看到 $m + n$一定是3的倍数，所以 $(m, n) =(0, 0),(1、2),(2,1)$我们的解是

$\{对齐}开始y_1& = S + T \ \ y_2& = Sw + Tw ^ 2 \ \ y_3& = Sw ^ 2 +太瓦。结束\{对齐}$

我们选择 $w = \压裂{1 + \√我}{3}{2}$而且 $w ^ 2 = \压裂{1 - \√我}{3}{2}$,所以

${对齐}y_2& = \ \开始dfrac {- (S + T) + \ sqrt {3} (S - T)我}{2}\ \ y_3& = \ dfrac {- (S + T) \ sqrt {3} (S - T)我}{2}。结束\{对齐}$

撤消更改 $x = y - \压裂{b} {3},$我们得到了我们想要的解。 $_ \广场$

用卡尔达诺方法求下列多项式方程的根:

$x ^ 3 + 2 x ^ 2 + 3 + 4 = 0。$

---

已知

$A =1， \quad b=2， \quad c=3， \quad d=4。$

计算 $问$而且 $接待员:$

$\{对齐}开始Q & = \压裂{3 c - b ^ 2}{9 ^ 2} = \压裂{5}{9}\ \ \ \ R & = \压裂{9 a b c - 27 a ^ 2 d - 2 ^ 3}{54 ^ 3} = - \压裂{35}{27}。结束\{对齐}$

计算 $年代$而且 $师:$

${对齐}S & = \ \开始sqrt [3] {R + \ sqrt{问^ 3 + R ^ 2}} = \压裂{\ sqrt [3] {-35 + 15 \ sqrt {6}}} {3} \ \ \ \ T & = \ sqrt [3] {R - \ sqrt{问^ 3 + R ^ 2}} = - \压裂{\ sqrt [3] {35 + 15 \ sqrt{6}}}{3}。结束\{对齐}$

计算根:

$\{对齐}开始x_1 & = S + b {3 T - \压裂 } \\ \\ &= \ 压裂{\ sqrt [3] {-35 + 15 \ sqrt {6}} - \ sqrt [3] {35 + 15 \ sqrt {6}} 2} {3 } \\ \\ &\ 大约-1.651 \\ \\ \\ x_2 & = - 2 - \ \压裂{S + T}压裂b{3} + \压裂{我\倍根号3}2 \离开({S - T} \) \ \ & = \压裂{- \ sqrt [3] {-35 + 15 \ sqrt {6}} + \ sqrt [3] 35 + 15 \ sqrt {6}} {4} {6} + i \压裂{\ sqrt{3} \左\√[3]{-35 + 15 \ sqrt {6}} + \ sqrt [3] {35 + 15 \ sqrt{6}} \右)}{6 } \\ \\ &\ 我大约-0.175 + 1.547 \\ \\ \\ x_3 & = - 2 - \ \压裂{S + T}压裂b{3} - \压裂{我\倍根号3}2 \ ({S -T} \右 ) \\ \\ &= \ 压裂{- \ sqrt [3] {-35 + 15 \ sqrt {6}} + \ sqrt [3] {35 + 15 \ sqrt{6}} 4}{6} -我\压裂{\ sqrt{3} \左\√[3]{-35 + 15 \ sqrt {6}} + \ sqrt [3] {35 + 15 \ sqrt{6}} \右)}{6 } \\ \\ &\ 我大约-0.175 - -1.547。\ _\方形\端{对齐}$