二次判别

的判别二次多项式，表示 $\三角洲,$是多项式系数的函数，它提供了关于多项式根的性质的信息。通过计算判别式，可以区分二次多项式是否有两个不同的实根，一个重复实根，或只有非实根。

给定一个二次多项式 $ax ^ 2 + bx + c = 0$与真正的系数 $a、b$和 $c$和 $\ neq 0$，多项式的判别式为

$δ= b \ ^ 2-4ac。\ _ \广场$

从<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/quadratic-formula/" class="wiki_link" title="二次方程" target="_blank">二次方程，二次多项式的根 $斧头^ 2 + bx + c$是由

$x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}}}}}}}}}}}}}} {2a}。$

现在，注意这个判别式等于二次公式的平方根内的表达式。

由于二次公式给出了二次多项式的所有根，我们有以下情况:

• 如果 $\Delta > 0，$那么多项式有两个不同的实根;
• 如果 $\δ= 0,$这个多项式只有一个实根，也就是a重根；
• 如果 $\Delta < 0，$然后平方根内的表达为负，根部都是非真实的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/complex-numbers/" class="wiki_link" title="复杂的" target="_blank">复杂的的根源。

对于二次多项式也要注意 $Ax ^2 + bx + c，$如果 $b$可以用的形式 $2 b_0$( $B_0.$为整数)，二次公式简化如下:

$X = - frac {-b_0 \pm \sqrt{{b_0}^2 -ac}}{a}。$

我们经常表示 $\ sqrt {{b_0} ^ 2 -ac}$在上面的表达式中 $\三角洲'$．

要计算二次型的判别式，只需对表达式求值 $b ^ 2 - 4 ac$．

找到二次的判别 $x ^ 2 + 3 + 2$．

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因为二次多项式的判别式 $ax ^ 2 + bx + c = 0$,在那里 $A，B$和 $c$为实数 $\ neq 0$，是 $b ^ 2-4ac$，二次型的判别式 $x ^ 2 + 3 + 2$是 $3 ^ 2 - 4 (1) (2) = 1$． $_ \广场$

注意:在这种情况下，二次多项式有两个实根。

求二次多项式的判别式 $9x ^ 2 + 6x + 1 = 0。$

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同样，我们可以找到判别式 $\δ$如下：

$乘以a乘以c等于6^2 - 4乘以a乘以c等于6^2 - 4乘以9乘以1等于36 -36等于0\ _ \广场$

注意:在这种情况下，判别等于零，暗示二次多项式具有重复的根。

当判别式是 $0。$

这个二次多项式有多少个实根 $4x²+ 4x + 1$？

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由于判别二次 $ax ^ 2 + bx + c = 0$,在那里 $A，B$和 $c$为实数 $\ neq 0$，是 $b ^ 2-4ac$，二次型的判别式 $4x²+ 4x + 1$是 $4^2 - 4\times4 = 0$．这表明二次方程有一个重根。因此,有 $1$真正的根。 $_ \广场$

考虑到 $2x^2 +8x + k$重根的值是多少 $k$？

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自 $\δ= 0$如果有重根，我们知道 $8^2 - 4(2)(k) = 0。$简化,我们得到

$64 = 8k \右转k = 8。\ _ \广场$

值是多少 $k$做 $-x^2 -kx - 5 =0$有真实的解决方案吗？

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我们知道只有当LHS上的二次方程有实根时才有实解，即 $\ delta \ geq 0$．自 $k^2 - 4(-1)(-5$,我们有

$k^2 \geq 20 \ right tarrow k \leq -\sqrt{20} \text{or} k \geq \sqrt{20}。\ _ \广场$

如果二次多项式 $x ^ 2 + bx + c$水平线 $Y = D.$相交于一点，值是多少 $d$？

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来找出…的价值 $x$当多项式与直线相交时，我们使方程相等，得到

$\{对齐}开始x ^ 2 + bx + c & = d \ \ x ^ 2 + bx + (c - d) & = 0。结束\{对齐}$

如果恰好有一个交叉点，则该二次方程具有一个解决方案。当判别归零时，就会发生这种情况，即

$= b^2 - 4c + 4d = 0。$

最后，我们解 $d$获得 $d = c - \ frac {b ^ 2} {4}。\ _ \ square$

注意:这与计算抛物线顶点的公式是一致的。

在处理以下问题时要非常小心:

给出了一个正整数 $米$，假设是二次方程 $x ^ 2 + mx + 5 m = 0$有两个独特的真实根源。什么是最低可能的价值 $m ?$

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由于二次方程有两个不同的根，二次方程的判别式必须是正的。然后

$\开始{对齐}\δ= m ^ 2 - 4 \ cdot 5 m & > 0 \ \ m ^ 2-20m & > 0 \ \ m (m-20) & > 0猴\ \ < 0 \ \ mbox{或}\ m > 20。结束\{对齐}$

自 $米$是肯定的，那一定是这种情况吗 $m > 20,$由于 $米$是整数，最小值是 $米$是 $21.\ _ \广场$

利用判别式，刻画二次多项式的根数 $X ^2 + X + c$作为 $c$不同。

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计算二次多项式的判别式，得到

$\ delta = 1 ^ 2 - 4c = 1-4c。$

根据上面使用判别器对根的刻画，我们得到如下:

• 如果 $1-4c > 0，$那么这个多项式有两个不同的实根。这发生的 $c <\ frac {1} {4}$．
• 如果 $1-4c = 0,$那么这个多项式有一个重根。这发生的 $c = \压裂{1}{4}$．
• 如果 $1 -4c < 0，$那么两个根都是非实数的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/complex-numbers/" class="wiki_link" title="复杂的" target="_blank">复杂的的根源。这发生的 $c> \ frac {1} {4}$． $_ \广场$

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