连续随机变量 - 联合概率分布G.yD.F4y2Ba

在许多物理和数学的设置，两个量可能在某种程度上使得每个的分布取决于其他概率有所不同。在这种情况下，不再足以单独考虑单一的随机变量的概率分布。一个必须使用G.yD.F4y2Ba联合概率分布G.yD.F4y2Ba的连续随机变量，其中考虑到了当另一个变量的值改变一个变量的分布可以改变。G.yD.F4y2Ba

有序对随机变量的概率G.yD.F4y2Ba $（x，y）G.yD.F4y2Ba$以（打开或关闭）间隔取值G.yD.F4y2Ba $[A，B]G.yD.F4y2Ba$和G.yD.F4y2Ba $[光盘]，G.yD.F4y2Ba$分别由称为函数的积分给出G.yD.F4y2Ba联合概率密度函数G.yD.F4y2Ba $F_ {XY}（X，Y）：G.yD.F4y2Ba$

$P（一个\当量X \当量B，C \当量Y \当量d）= \ int_a ^ B \ int_c ^ d F_ {XY}（X，Y）\，DY \，DX。G.yD.F4y2Ba$

在离散的情况下，如果G.yD.F4y2Ba $XG.yD.F4y2Ba$和G.yD.F4y2Ba $yG.yD.F4y2Ba$是两个随机变量，然后给每个对可能的结果G.yD.F4y2Ba $X = XG.yD.F4y2Ba$和G.yD.F4y2Ba $Y = Y.G.yD.F4y2Ba$可分配的数量G.yD.F4y2Ba $p _ {_ {xy}}（x，y）G.yD.F4y2Ba$，该对结果的概率。在所有可能的对结果的总和就等于一个在离散的情况下：G.yD.F4y2Ba

$\ sum_ {xy} p _ {_ {xy}}（x，y）= 1。G.yD.F4y2Ba$

如前所述，连续案件的概括通过用积分的总和来替换总和G.yD.F4y2Ba $p_ {xy}G.yD.F4y2Ba$和G.yD.F4y2Ba $F_ {XY}：G.yD.F4y2Ba$

$\ INT \ INT F_ {XY}（X，Y）\，DX \，DY = 1。G.yD.F4y2Ba$

这是联合概率密度函数的归一化条件。G.yD.F4y2Ba

直观地，联合概率密度函数只是给发现在二维空间中的特定点的概率，而通常的概率密度函数给出了在一维空间中找到一个特定点的概率。G.yD.F4y2Ba

一定的联合概率密度函数由公式给出G.yD.F4y2Ba

$F_ {XY}（X，Y）=铈^ { - X ^ 2 - Y 1 2}，G.yD.F4y2Ba$

在哪里G.yD.F4y2Ba $X.G.yD.F4y2Ba$和G.yD.F4y2Ba $yG.yD.F4y2Ba$这两个范围，在整个实数线。查找归一化常数G.yD.F4y2Ba $C.G.yD.F4y2Ba$。G.yD.F4y2Ba

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用极坐标计算正常化积分，G.yD.F4y2Ba

$\ INT铈^ { - X ^ 2-Y ^ 2} \，DY \，DX = \ INT_0 ^ {2 \ PI} \ INT_0 ^ {\ infty}酶Cre ^ { - R ^ 2} \，博士\，d\ THETA = 2 \ PIç\左（\ frac12 \右侧）= C \ PI。G.yD.F4y2Ba$

因此是常数G.yD.F4y2Ba $C.G.yD.F4y2Ba$是G.yD.F4y2Ba $\ frac {1} {\ pi}。\ _ \ squareG.yD.F4y2Ba$

广场上的归一化联合概率密度函数G.yD.F4y2Ba $[0,3] \倍[0,3]G.yD.F4y2Ba$是给出的G.yD.F4y2Ba

$f_ {xy}（x，y）= \ frac {2} {81} xy ^ 2。G.yD.F4y2Ba$

找到概率G.yD.F4y2Ba $XG.yD.F4y2Ba$在。。。之间G.yD.F4y2Ba $2G.yD.F4y2Ba$和G.yD.F4y2Ba $3.G.yD.F4y2Ba$和G.yD.F4y2Ba $yG.yD.F4y2Ba$大于G.yD.F4y2Ba $1G.yD.F4y2Ba$。G.yD.F4y2Ba

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通过联合概率密度函数的定义，这种概率是G.yD.F4y2Ba

$p（2 \ leq x \ leq 3，y \ geq 1）= \ int_2 ^ 3 \ int_1 ^ 3 \ frac {2} {81} xy ^ 2 \，dy \，dx = \ int_2 ^ 3 \ frac {2} {81} \ frac {26x} {3} dx = \ frac {130} {243}。\ _ \ squareG.yD.F4y2Ba$

假设一个具有联合概率密度函数G.yD.F4y2Ba $XG.yD.F4y2Ba$和G.yD.F4y2Ba $yG.yD.F4y2Ba$那G.yD.F4y2Ba $f_ {xy}（x，y）G.yD.F4y2Ba$。但也许只有变量G.yD.F4y2Ba $XG.yD.F4y2Ba$相关手头的问题，即一个只关心概率G.yD.F4y2Ba $P（X = x）的G.yD.F4y2Ba$不管值的G.yD.F4y2Ba $yG.yD.F4y2Ba$。幸运的是，这G.yD.F4y2Ba边缘分布G.yD.F4y2Ba $f_x（x）G.yD.F4y2Ba$和G.yD.F4y2Ba $f_y（y）G.yD.F4y2Ba$可以从联合概率分布来提取。G.yD.F4y2Ba

在离散案件中，回顾每个有序的一对结果G.yD.F4y2Ba $（X，Y）G.yD.F4y2Ba$被分配的概率G.yD.F4y2Ba $p（x，y）G.yD.F4y2Ba$。由于离散情况是离散的，因此这些可能被认为是矩阵元素G.yD.F4y2Ba $p_ {ij}G.yD.F4y2Ba$通过以某种方式排序可能的结果，每个固定G.yD.F4y2Ba $一世G.yD.F4y2Ba$对应于固定G.yD.F4y2Ba $X.G.yD.F4y2Ba$反之亦然。如果一个人正在寻找概率G.yD.F4y2Ba $X = XG.yD.F4y2Ba$，人们希望将所有概率汇总到矩阵中，这是真的：G.yD.F4y2Ba

$p（x = x）= p（x，y_1）+ p（x，y_2）+ \ cdots。G.yD.F4y2Ba$

如果是固定的G.yD.F4y2Ba $X.G.yD.F4y2Ba$对应于行G.yD.F4y2Ba $一世G.yD.F4y2Ba$，这种概率是G.yD.F4y2Ba

$P（X = x）= \ sum_j P_ {IJ} = \ sum_y P（X，Y）。G.yD.F4y2Ba$

也就是说，概率G.yD.F4y2Ba $X = XG.yD.F4y2Ba$由每一个可能的结果，其中的概率相加发现G.yD.F4y2Ba $X = XG.yD.F4y2Ba$。G.yD.F4y2Ba

鉴于上面的上述公式在离散情况下，通过用积分的总和替换总和，持续案例的概括现在很容易。通过集成“无关”变量来发现边缘分布：G.yD.F4y2Ba

$f_x（x）= \ int f（x，y）\，dy，\ qquad f_y（y）= \ int f（x，y）\，dx。G.yD.F4y2Ba$

在概率，两个随机变量G.yD.F4y2Ba独立G.yD.F4y2Ba如果一个人的结果不会影响另一个。独立可以通过陈述使用边缘分布的联合概率密度函数来说明G.yD.F4y2Ba

$f_ {x，y}（x，y）= f_x（x）f_y（y）。G.yD.F4y2Ba$

也就是说，如果它们的联合概率分布函数因子进入边际分布，则两个随机变量是独立的。G.yD.F4y2Ba

一定的联合概率密度函数由公式给出G.yD.F4y2Ba

$F_ {XY}（X，Y）= \压裂{\ SQRT {\ PI}} {2} X \罪（XY），G.yD.F4y2Ba$

在哪里G.yD.F4y2Ba $XG.yD.F4y2Ba$和G.yD.F4y2Ba $yG.yD.F4y2Ba$从时间间隔绘制的两者G.yD.F4y2Ba $\ big [0，\ sqrt {\ pi} \ big]。G.yD.F4y2Ba$查找边缘分布G.yD.F4y2Ba $F_X（X）。G.yD.F4y2Ba$

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在边缘分布G.yD.F4y2Ba $XG.yD.F4y2Ba$通过整合出来给出G.yD.F4y2Ba $y：G.yD.F4y2Ba$

$F_X（X）= \ INT_0 ^ {\ SQRT {\ PI}} \压裂{\ SQRT {\ PI}} {2} X \罪（XY）\，DY = \压裂{\ SQRT {\ PI}} {2} \左。\大（ - \ COS（XY）\大）\右| ^ {\ SQRT {\ PI}} _ 0 = \压裂{\ SQRT {\ PI}} {2} - \压裂{\ SQRT {\ PI}}{2} \ COS \大（X \ SQRT {\ PI} \大）。\ _ \方G.yD.F4y2Ba$

期望值，方差，并给予联合概率分布的随机变量的协方差精确计算类似于比较容易的情况。任何函数的期望值G.yD.F4y2Ba $g（x，y）G.yD.F4y2Ba$两个随机变量G.yD.F4y2Ba $XG.yD.F4y2Ba$和G.yD.F4y2Ba $yG.yD.F4y2Ba$是给出的G.yD.F4y2Ba

$e \ big（g（x，y）\ big）= \ int \ int g（x，y）f_ {xy}（x，y）\，dy \，dx。G.yD.F4y2Ba$

例如，预期的价值G.yD.F4y2Ba $XG.yD.F4y2Ba$是G.yD.F4y2Ba

$E（X）= \ INT \ INT X F_ {XY}（X，Y）\，DY \，DX。G.yD.F4y2Ba$

每个变量的方差独立地被相应地定义为：G.yD.F4y2Ba

$\文本{var}（x）= e \ big（x ^ 2 \ big） - e（x）^ 2。G.yD.F4y2Ba$

请注意，该预期值就可以利用联合概率分布来计算G.yD.F4y2Ba或者G.yD.F4y2Ba边际分布，因为这两种情况下将是数学上等效（在一种情况下，这两个积分一起执行;在另一方面，它们在一个时间执行的一个）。G.yD.F4y2Ba

与联合概率分布相关的新数量是G.yD.F4y2Ba协方差G.yD.F4y2Ba两个随机变量，其由下式定义的G.yD.F4y2Ba

$\文本{冠状病毒}（X，Y）= E（XY） - E（X）E（Y）。G.yD.F4y2Ba$

有几个重要的观察一下这种表情。首先是要注意，G.yD.F4y2Ba $\文本{冠状病毒}（X，X）= \文本{VAR}（X）G.yD.F4y2Ba$而且类似地G.yD.F4y2Ba $yG.yD.F4y2Ba$。其次，注意的独立性G.yD.F4y2Ba $XG.yD.F4y2Ba$和G.yD.F4y2Ba $yG.yD.F4y2Ba$相当于他们的协方差消失。这是因为如果G.yD.F4y2Ba $XG.yD.F4y2Ba$和G.yD.F4y2Ba $yG.yD.F4y2Ba$是独立的，然后G.yD.F4y2Ba $E（xy）= e（x）e（y）G.yD.F4y2Ba$由于联合概率密度函数的因素。因此，协方差封装了一个随机变量多少变化影响等。G.yD.F4y2Ba

某联合概率分布是由联合PDF给出G.yD.F4y2Ba

$f_ {xy}（x，y）= 4xy，G.yD.F4y2Ba$

在哪里G.yD.F4y2Ba $XG.yD.F4y2Ba$和G.yD.F4y2Ba $yG.yD.F4y2Ba$从间隔被采样G.yD.F4y2Ba $[0,1]G.yD.F4y2Ba$。计算G.yD.F4y2Ba $\文本{冠状病毒}（X，Y）G.yD.F4y2Ba$。G.yD.F4y2Ba

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为了计算协方差，必须根据上述定义计算数期望值的。计算每个给G.yD.F4y2Ba

$e（x）= \ int_0 ^ 1 \ int_0 ^ 1 4x ^ 2 y \，dy \，dx = \ frac23 = e（y），G.yD.F4y2Ba$

在哪里，在最后一行，对称G.yD.F4y2Ba $X.G.yD.F4y2Ba$和G.yD.F4y2Ba $yG.yD.F4y2Ba$在联合概率密度函数允许一个人说G.yD.F4y2Ba $e（x）= e（y）G.yD.F4y2Ba$没有做更多的计算。现在G.yD.F4y2Ba

$E（XY）= \ INT_0 ^ 1 \ INT_0 ^ 1 4X ^ 2 Y ^ 2 \，DY \，DX = \ frac49。G.yD.F4y2Ba$

自从G.yD.F4y2Ba $E（XY）= E（X）E（Y）= E（X）^ 2 = E（Y）^ 2G.yD.F4y2Ba$那G.yD.F4y2Ba $\ text {cov}（x，y）= 0G.yD.F4y2Ba$。G.yD.F4y2Ba

这应该是预期的;由于联合PDF分解成边际分布，G.yD.F4y2Ba $XG.yD.F4y2Ba$和G.yD.F4y2Ba $yG.yD.F4y2Ba$是独立的。G.yD.F4y2Ba $_ \平方G.yD.F4y2Ba$