组合优化gydF4y2Ba

组合优化是组合学和理论计算机科学前沿的一个新兴领域，旨在利用组合技术解决离散优化问题。离散优化问题寻求从有限的可能性集中确定最佳可能的解决方案。gydF4y2Ba

从计算机科学的角度来看，组合优化寻求通过使用数学方法来改进算法，要么减少可能的解集的大小，要么使搜索本身更快。从组合学的角度来看，它用一组固定的对象来解释复杂的问题，关于这些对象，我们已经知道了很多:集合、图、多面体和拟阵。组合优化主要是指用于处理此类问题的方法，在大多数情况下，并没有提供如何将现实问题转化为抽象数学问题的指导方针，反之亦然。gydF4y2Ba

本课题最初产生于图论的关注，如无向图的边着色和二部图的匹配。许多最初的进展完全是由于图论中的定理和它们的对偶。随着线性规划的出现，这些方法被应用于分配、最大流量和运输问题。在现代，组合优化对于算法的研究是有用的，特别是与人工智能、机器学习和运筹学相关。gydF4y2Ba

的gydF4y2Ba婚姻问题gydF4y2Ba，在其传统的构想中，寻求一套gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$一对夫妇在一套gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$男人和gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$这样，每对夫妻中就有一个男人和一个女人，没有两个人会喜欢对方而不喜欢自己的伴侣。每个女人对男人都有自己的喜好，每个男人对女人也有自己的喜好。gydF4y2Ba

给定一组首选项gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$男人和gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$女士们，有没有解决办法?找到这样一个解决方案的好方法是什么?gydF4y2Ba

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结果是总会存在一个解，这个叫做gydF4y2Ba大厅的婚姻定理gydF4y2Ba．这种一般性的问题被称为gydF4y2Ba匹配的问题gydF4y2Ba，是组合优化中的几个核心类型问题之一。gydF4y2Ba

这个课题包括对……的研究gydF4y2Ba半序集gydF4y2Ba，gydF4y2Ba图gydF4y2Ba,gydF4y2Ba拟阵gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

一个gydF4y2Ba半序集gydF4y2Ba缩写,gydF4y2Ba偏序集gydF4y2Ba，是一个非空集gydF4y2Ba $PgydF4y2Ba$与部分顺序一起gydF4y2Ba $\ preceqgydF4y2Ba$在gydF4y2Ba $PgydF4y2Ba$这样gydF4y2Ba

• 对所有gydF4y2Ba $x \ PgydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $x \ preceqgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba
• 对所有gydF4y2Ba $x y在P里gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $x \ preceq ygydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $y \ preceq xgydF4y2Ba$意味着gydF4y2Ba $x = ygydF4y2Ba$．gydF4y2Ba
• 对所有gydF4y2Ba $x y z在P里gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $x \ preceq ygydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $y \ preceq zgydF4y2Ba$意味着gydF4y2Ba $x \ preceq zgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

在偏序集gydF4y2Ba $PgydF4y2Ba$,两个截然不同的gydF4y2Ba $x y在P里gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba类似的gydF4y2Ba如果gydF4y2Ba $x \ preceq ygydF4y2Ba$或gydF4y2Ba $y \ preceq xgydF4y2Ba$．一个gydF4y2Ba链gydF4y2Ba的gydF4y2Ba $PgydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $PgydF4y2Ba$其中任何两个元素都是可比较的。一个gydF4y2Ba反链gydF4y2Ba的gydF4y2Ba $PgydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $PgydF4y2Ba$其中任何两个元素都是不可比较的。gydF4y2Ba

一个gydF4y2Ba图gydF4y2Ba $G = (v， \， e)gydF4y2Ba$是一组gydF4y2Ba $VgydF4y2Ba$(表示顶点)与集合在一起gydF4y2Ba $E \ subseteq \ {\ {v_1, \, v_2 \} \ v_1,中期v_2在V, \ \, v_1 \ ne v_2 \}gydF4y2Ba$(表示边缘)gydF4y2Ba $2gydF4y2Ba$元素的子集gydF4y2Ba $VgydF4y2Ba$．一个gydF4y2Ba两偶图gydF4y2Ba是一个图gydF4y2Ba $G = (v， \， e)gydF4y2Ba$使存在gydF4y2Ba $V_1gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $V_2gydF4y2Ba$令人满意的gydF4y2Ba $V = V_1 \sqcup V_2gydF4y2Ba$和所有gydF4y2Ba $v_1, v_1' \在v_1中gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $v_2，在v_2中gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $E中的\{v_1， \， v_1'\}不是\gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $E中的\{v_2， \， v_2'\}不是\gydF4y2Ba$．顶点gydF4y2Ba $vgydF4y2Ba$和边gydF4y2Ba $egydF4y2Ba$据说是gydF4y2Ba事件gydF4y2Ba如果gydF4y2Ba $在e v \gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

一个gydF4y2Ba顶点匹配gydF4y2Ba的图gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$是一组边，使得没有两条边关联到同一顶点。一个gydF4y2Ba顶点覆盖gydF4y2Ba的gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$是一组顶点，使得每条边都关联到顶点覆盖的至少一个元素。gydF4y2Ba

一个gydF4y2Ba路径gydF4y2Ba是由不同的边组成的有限序列吗gydF4y2Ba $(e_1， \， \点，e_n)gydF4y2Ba$这样对于每一个gydF4y2Ba $K \in \{1， \点，\，n-1\}gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $E_k \cap e_{k-1} \ne \空集gydF4y2Ba$．这条路径被称为从顶点开始gydF4y2Ba $V \in e_1 \ set_1 \cap e_2gydF4y2Ba$和结束时gydF4y2Ba $W \in e_n \set - e_n \cap e_{n-1}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

路径集合为gydF4y2Baedge-disjointgydF4y2Ba如果它们没有一对包含相同的边。一个gydF4y2Baedge-separatinggydF4y2Ba两个顶点的集合gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$(或者更一般地说，顶点集gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $BgydF4y2Ba$)是一组边，这样任何路径都可以从gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$来gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$(或，从…的顶点gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$到…的顶点gydF4y2Ba $BgydF4y2Ba$)包含至少一条这样的边。gydF4y2Ba

一个gydF4y2BamatriodgydF4y2Ba是一对吗gydF4y2Ba $(E, \ \ mathcal {F})gydF4y2Ba$这样gydF4y2Ba

• $F \ mathcal {}gydF4y2Ba$包含emptysetgydF4y2Ba $\ emptysetgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba
• 如果gydF4y2Ba $X \ subseteq YgydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $Y \ \ mathcal {F}gydF4y2Ba$,然后gydF4y2Ba $X \ \ mathcal {F}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba
• 如果gydF4y2Ba $X， \， Y, in \mathcal{F}gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $| | X > Y | |gydF4y2Ba$，那么就有一个gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$在gydF4y2Ba $X \ setminus YgydF4y2Ba$这样gydF4y2Ba $Y \cup \{x\} in \mathcal{F}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

组合学中有趣的工具表明，最优化可能有更广泛的主题。事实上，从直观上讲，最小化与最大化之间的相互作用源于对象本身的构造。例如，在图论中，树是等价地最大无环和最小连通的图。关于图的定义特征的计算问题通常可以通过使用gydF4y2Ba贪婪算法gydF4y2Ba(这样的算法本质上需要一些极大或极小的特征);例如，在求解最小生成树问题时，gydF4y2Ba克鲁斯卡算法gydF4y2Ba将树的定义编码为“最大无环”，而Prim算法则利用了“最小连通”的特性。gydF4y2Ba

:帝尔沃斯历史学定理gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

给定一个偏序集gydF4y2Ba $PgydF4y2Ba$的最大反链gydF4y2Ba $PgydF4y2Ba$等于分区的最小大小gydF4y2Ba $PgydF4y2Ba$成链。gydF4y2Ba

对偏序集的大小进行归纳:这个定理适用于一个元素的偏序集。gydF4y2Ba

现在假设它对所有最大的偏置集都成立gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$,让gydF4y2Ba $PgydF4y2Ba$是一个gydF4y2Ba $n + 1gydF4y2Ba$具有某个极大元的元素偏置集gydF4y2Ba $x \ PgydF4y2Ba$．然后,gydF4y2Ba $\ \ setminus \ P {x}gydF4y2Ba$(用继承的部分顺序)有一个最小大小的分区gydF4y2Ba $kgydF4y2Ba$链gydF4y2Ba $C_1， \导，\，C_kgydF4y2Ba$．根据归纳假设，反链的最大尺寸为gydF4y2Ba $kgydF4y2Ba$，由于反链的任意两个元素可能不在同一条链上，我们可以简单地通过取来表示最大尺寸的反链gydF4y2Ba $在为C_i x_i \gydF4y2Ba$为每一个gydF4y2Ba $我gydF4y2Ba$并考虑gydF4y2Ba $\{x_1， \dots， \， xk \}gydF4y2Ba$；让gydF4y2Ba $A = {a_1， \点，\，a_k\}gydF4y2Ba$是最大大小的反链，其中每个gydF4y2Ba $aigydF4y2Ba$的最大元素是gydF4y2Ba $为C_igydF4y2Ba$(保证是唯一的，因为链中的所有元素都是可比较的)。然后要么gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$是不能与任何元素相比的gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$在这种情况下gydF4y2Ba $\{x\}， \， C_1， \导，\，C_kgydF4y2Ba$是一个分区gydF4y2Ba $PgydF4y2Ba$成gydF4y2Ba $k + 1gydF4y2Ba$链和gydF4y2Ba $\ \ {x} \杯gydF4y2Ba$反链有长度吗gydF4y2Ba $k + 1gydF4y2Ba$．或gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$与元素有可比性gydF4y2Ba $a_j \在gydF4y2Ba$对于一些固定gydF4y2Ba $jgydF4y2Ba$,gydF4y2Ba $C_1， \导，\，C_j \杯\{x\}， \导，\，C_kgydF4y2Ba$是一个分区gydF4y2Ba $PgydF4y2Ba$成gydF4y2Ba $kgydF4y2Ba$链和gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$还是最大反链gydF4y2Ba $PgydF4y2Ba$．所以gydF4y2Ba $PgydF4y2Ba$满足迪尔沃斯定理，根据数学归纳法的原理，证明是完整的。gydF4y2Ba

米尔斯基定理。gydF4y2Ba

给定一个偏序集gydF4y2Ba $PgydF4y2Ba$，链的最大尺寸gydF4y2Ba $PgydF4y2Ba$等于分区的最小大小gydF4y2Ba $PgydF4y2Ba$反链。gydF4y2Ba

假设gydF4y2Ba $CgydF4y2Ba$链的最大长度是gydF4y2Ba $PgydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $\{A_1， \点，\，A_n \}gydF4y2Ba$是反链的覆盖。然后,自gydF4y2Ba $中C中，∑A_i中，∑le 1gydF4y2Ba$对所有gydF4y2Ba $我gydF4y2Ba$，这就引出了gydF4y2Ba $\mid C \cap (A_1 \cup \dots \cup A_n) \mid = mid C \cap P \mid = mid C \mid n。gydF4y2Ba$然后，注意有一个反链的覆盖gydF4y2Ba $\{A_1'， \点，\，A_n' \}gydF4y2Ba$在每个gydF4y2Ba $K \in \{1， \点，\，n\}gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $A_k':= \{x \in P \mid \text{the chain of maximal size containing maximal element} x \text{has length} k \}gydF4y2Ba$注意立即gydF4y2Ba $A_k”gydF4y2Ba$确实是反链;如果不同的gydF4y2Ba $x, y在A_k'内gydF4y2Ba$具有可比性(比如gydF4y2Ba $x \ preceq ygydF4y2Ba$),然后gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$长度链的最大元素是什么gydF4y2Ba $k + 1gydF4y2Ba$,由gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$与链的长度一起gydF4y2Ba $kgydF4y2Ba$和最大的元素gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$(由及物性可知，这确实是一条链)。此外,gydF4y2Ba $\ {A_k’\}_ {k \ [n]}gydF4y2Ba$形成一个分区gydF4y2Ba $PgydF4y2Ba$，因为链的最大长度是gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$，所以每个元素gydF4y2Ba $PgydF4y2Ba$某个长度链的最大元素也是吗gydF4y2Ba $1， \， 2， \点，\，ngydF4y2Ba$．因此，它们必然涵盖gydF4y2Ba $PgydF4y2Ba$因此gydF4y2Ba $\ {A_k’\}_ {k \ [n]}gydF4y2Ba$是一个封面gydF4y2Ba $PgydF4y2Ba$反链。由此可见,gydF4y2Ba $n \le \mid C \midgydF4y2Ba$．我们得出如上所述的结论。gydF4y2Ba

$\ textbf{柯尼希定理。}gydF4y2Ba$

给出一个二部图gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$的顶点匹配的最大尺寸gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$等于顶点覆盖的最小尺寸gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

假设gydF4y2Ba $G = (v， \， e)gydF4y2Ba$是二部图吗gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$顶点覆盖是gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$．让gydF4y2Ba $B = V \set - AgydF4y2Ba$．然后，考虑偏置集gydF4y2Ba $PgydF4y2Ba$在gydF4y2Ba $VgydF4y2Ba$与偏序gydF4y2Ba $\ preceqgydF4y2Ba$这样对于任何gydF4y2Ba $一个\gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $b \ bgydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $b \ preceqgydF4y2Ba$敌我识别gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$被连接到gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$．结果就是迪尔沃斯定理。gydF4y2Ba

大厅的婚姻定理gydF4y2Ba

给定一组gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$和收集gydF4y2Ba $\ mathcal{年代}= \ {S_1、\点\,S_n \} \ subseteq \ mathcal} {P (X)gydF4y2Ba$，存在一组gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$不同的元素gydF4y2Ba $\{x_1， \dots， \， x_n\} \subseteq XgydF4y2Ba$这样gydF4y2Ba $在S_i x_i \gydF4y2Ba$为每一个gydF4y2Ba $I \in \{1， \点，\，n\}gydF4y2Ba$敌我识别任何gydF4y2Ba $\ mathcal {T} \ subseteq \ mathcal{年代}gydF4y2Ba$的不平等gydF4y2Ba $math {T} \mid \mid \le \mid \bigcup \mathcal{T} \midgydF4y2Ba$成立。gydF4y2Ba

门格尔定理。gydF4y2Ba

给定一个图gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$和顶点gydF4y2Ba $vgydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $wgydF4y2Ba$，一组边缘不相交路径的最大尺寸gydF4y2Ba $vgydF4y2Ba$来gydF4y2Ba $wgydF4y2Ba$等于?的边分离集的最小尺寸gydF4y2Ba $vgydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $wgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

在它的数学公式中，agydF4y2Ba线性规划gydF4y2Ba接受gydF4y2Ba $m \ ngydF4y2Ba$矩阵gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$和列向量gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$的长度gydF4y2Ba $米gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $cgydF4y2Ba$的长度gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$．其目标如下:gydF4y2Ba

求列向量gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$的长度gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$令人满意的gydF4y2Ba $Ax \ bgydF4y2Ba$这样gydF4y2Ba $c ^ T xgydF4y2Ba$是最大的。否则，决定没有gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$满足这个约束条件或者不存在最大值gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$是无限的。gydF4y2Ba

如果这样的一个gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$存在，它被称为gydF4y2Ba最优解gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

这个问题被称为gydF4y2Ba不可行gydF4y2Ba如果没有解决办法gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$令人满意的gydF4y2Ba $A x \ lebgydF4y2Ba$，它被称为gydF4y2Ba无限gydF4y2Ba对于所有实数gydF4y2Ba $rgydF4y2Ba$，有一个列向量gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$这样gydF4y2Ba $(c * T * b * bgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

任何非不可行和非无界的线性规划都必须有一个最优解。gydF4y2Ba

从本质上说，这是由定理得出的gydF4y2Ba线性代数gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

线性规划通常用多面体来讨论，当多面体有界时，用多面体来讨论。图形化,分gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$令人满意的gydF4y2Ba $A x \ lebgydF4y2Ba$创建一个多面体，其尺寸为gydF4y2Ba $n - \text{max}(\text{rank}(A) \mid A \text{is an} n \times n \text{-matrix with} Ax = Ay \text{for all points} x \text{and} y)。gydF4y2Ba$通过在多面体的表面上移动，可以找到一个最优解。这就产生了单纯形方法，它虽然有效(和多项式)一般在最坏的情况下有非常差的(指数)性能。gydF4y2Ba

所有的线性规划都可以简化为“标准形式”gydF4y2Ba ${马克斯}\文本(c \ x)gydF4y2Ba$在哪里gydF4y2Ba $A x = bgydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $x \通用电气0gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

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例如，假设一个线性规划有以下约束条件gydF4y2Ba $x_1gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $x_2gydF4y2Ba$,gydF4y2Ba $x_3gydF4y2Ba$:gydF4y2Ba

$\begin{aligned} x_1 + x_2 & le10 \\ 2x_1 + x_2 + x_3 & le21 \\结束\{对齐}gydF4y2Ba$

然后是“松弛变量”gydF4y2Ba $y_1gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $y_2gydF4y2Ba$(每gydF4y2Ba $通用电气\ 0gydF4y2Ba$)应加以介绍，以便gydF4y2Ba

$\{对齐}开始x_1 + x_2 + y_1 & = 10 \ \ 2 x_1 + x_2 + x_3 + y_2 & = 21。结束\{对齐}gydF4y2Ba$

因此，无论线性规划寻求的是什么，都可以通过引入gydF4y2Ba $y_igydF4y2Ba$的年代。gydF4y2Ba

整洁的算法gydF4y2Ba给出了一种求解最简单的组合优化问题之一的方法:求agydF4y2Ba最小生成树gydF4y2Ba在(加权)图上。它利用了以下事实:压力是最小连通图，且图具有矩阵结构(因此容易受到贪婪算法的某些实现的影响)。其工作原理如下:gydF4y2Ba

1. 在图上选择一个顶点。gydF4y2Ba
2. 在将选定的顶点连接到图的其余部分的边中，选择权重最小的边(和关联的顶点)。gydF4y2Ba
3. 重复步骤2，直到所有顶点都在树中。gydF4y2Ba

该算法设法迭代地获取局部特征(图的某些邻域的最小权值)，并将其转换为全局特征(图的最小生成树)。这是一个贪心算法。通过适当的实现，该算法具有一定的复杂性gydF4y2Ba $O(E + V \log V)。gydF4y2Ba$

克鲁斯卡算法gydF4y2Ba解决了相同的问题，并利用了树是最大无环图的事实。其工作原理如下:gydF4y2Ba

1. 从最小权值到最大权值排列边，并从一组空边开始。gydF4y2Ba
2. 加上不使集合包含任何环的最小权值边。gydF4y2Ba
3. 重复步骤2，直到集合确定了生成树。gydF4y2Ba

这个算法之所以有效，是因为任何其他生成树都可以通过相同的过程生成——但在序列的后面。由此可见，所讨论的生成树是最小的。算法比较复杂gydF4y2Ba $O (E \ log V)gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

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