:帝尔沃斯历史学定理

:帝尔沃斯历史学定理结果是关于宽度的结果部分有序的集合．它等价于(因此可以用来证明)几个漂亮的定理组合， 包含大厅的婚姻定理．Dilworth定理的一个着名的推论是Erdős和Szekeres在实数序列中的结果：每个rs+1实数序列都有一个长度为r+1的递增子序列或一个长度为s+1的递减子序列。

一个半序集是一套 $年代$有关系 $\$上 $年代$满意：
(1） $一个\ le a$为所有人 $一个\在s中$(自反性)
（2）如果 $一个\ b$和 $b \ le a$,然后 $a = b$(反对称性)
(3)如果 $A \ Le B.$和 $b \ le c$,然后 $一个\ le c$（转运）
注意，对于两个给定的元素 $一个$和 $b$，情况可能并非如此 $一个$和 $b$是类似的那是， $A \ Le B.$或者 $b \勒$．如果所有对都是如此 $一个$和 $b$在 $年代$，我们这么说 $年代$是完全下令．

套装 $年代$天下之人，与之同 $\$由“是直接后代”定义是部分有序的集合。套装 $T$正整数的 $\$由“划分”定义为部分有序集。

请注意，这些集合都不是完全订购。兄弟和姐妹在不可比较 $年代$，因为他们不是彼此的直系后代;和 $2$和 $3.$是不可比拟的 $T$，因为两者都没有划分另一个。

有两种自然的方法来定义有限部分有序集的宽度，它可以被认为是衡量它与完全有序的距离有多远;宽度被定义为一个特定的正整数，即 $1$如果且仅当集合完全有序时才。

一个链子在部分有序的集合中，是彼此相当的元素的子集。AN.反链是元素的子集，其中没有两个元素是可比较的。

（定义1）宽度有限的部分有序集 $年代$是覆盖所需的最小链数 $年代$，即，最小的链数，使任何元素 $年代$至少在一条锁链里。

(2)定义宽度有限的部分有序集 $年代$是antiChain的最大大小 $年代$．

如上所述，这两个定义都表示有多远的意义 $年代$就是被完全命令。注意，链是完全有序的子集 $年代$，所以这两个定义都给出了宽度 $1$对于一个完全有序的集合。

让 $年代$的除数的集合 $30.$，可整除为偏序。然后下面的链条盖上 $年代$： $\ {1,2,6,30 \}，\ {3,15 \}，\ {5,10 \}。$和 $\ \}{2、3、5$是长度的抗灰 $3.$．这不是显而易见的，但链覆盖是最小的(虽然不是唯一的)，反链是最大的(虽然不是唯一的)。所以宽度的两个定义都给出了 $3.$对于这个部分有序集合。

部分有序的集经常通过可视化哈斯图，是集合中元素的排列，其边连接任意两个之间没有元素的可比元素，即: $x$和 $y$如果连接 $X \ Le Y.$没有元素 $z \ ne x, y$这样 $X \le z \le y$．该图已放置 $y$上面 $x$在这种情况下。

这里有两个典型的例子。

逻辑用于{x，y，z}的集合集的图，通过包含部分排序

从0到9的整数的逻辑图，通过可分性部分排序

请注意，链条在图中表示为按边连接的一系列点表示。这些集合的宽度是 $3.$和 $5$分别使用任一定义，该定义对应于图的“宽度”。还要注意，绘制这些特定的图表，使得在任何给定水平上水平读取产生Antichain。该图还有助于阐明我们之前引用的事实，即Antichain的大小至少与覆盖集合所需的链数一样大。

:帝尔沃斯历史学定理： 让 $年代$是有限的部分有序集。最大Antichain的大小等于最小链盖的尺寸 $年代$．

所以迪尔沃斯定理说，上面给出的两种宽度的定义是一致的。

由于通常情况下，当证明有两个数量相等时，证明表明它们彼此小于或等于。这些不平等之一比另一个更容易：假设最大的AntiChain具有长度 $d$；那么任何链条罩至少要有 $d$链，因为反链中的两个元素不可能在同一条链上，但它们必须在其中一条链上，因为这些链会覆盖。

这个定理的另一部分证明在wiki的最后。下面的“对偶”定理比较容易证明:

米尔斯基定理： 让 $年代$是有限的部分有序集。最大链条的大小 $年代$等于最小的防链盖的大小 $年代$．

米尔斯基定理的证明:再次，一半很容易。假设最大链具有长度 $d$；那么任何反链罩至少有 $d$Antichains，因为链的两个元素可以在同一抗胆汁中。

现在定义一个函数 $f \冒号S \到{\mathbb N}$通过 $f (s) =$最大元素为的最大链的大小 $年代$．注意,如果 $f (s) = f (t)$,然后 $年代$和 $t$不能比较（为什么？）。所以，对于任何正整数 $n$，集合 $f ^ {1} (n)$所有元素 $年代$这样 $f (s) = n$是一个反链。如果最大链有长度 $d$，然后是布景 $F ^{-1}(1)， F ^{-1}(2)， \ldots, F ^{-1}(d)$形成一个AntiChain封面 $年代$．这些集合是否都是非空的并不明显(尽管它们确实是非空的)，但这表明存在一个最大大小的反链覆盖 $d$，这是定理证明的第二部分。 $\广场$

一种查看集合的方法 $f ^ {1} (k)$如果在证明中构造的一个点被画在水平面上，那么它就像哈塞图的水平“条” $k$如果在该点结束的最长链条具有长度 $k$．检查上述示例中的两个哈斯图图是简单的，以这种方式构造。

Erdős-Szekeres定理:至少是一个序列 $RS + 1$实数具有增加的长度随后 $r + 1$或者是长度递减的子序列 $s + 1$．

例如:任意序列的 $7$实数具有增加的长度随后 $4$或者是长度递减的子序列 $3.$．或者：任何序列 $101.$实数有一个长度单调的子序列 $11.$．

证明:假设我们已知一个序列 $RS + 1$实数。定义一个排序 $preceq.$在这个序列上 $a_i \ preceq a_j$如果 $我\ le j$和 $ai \ le a_j$．按照这个顺序，链就是一个递增的子序列，而反链就是一个递减的子序列。假设没有长度的反链 $s + 1$．然后设置的宽度是最大的 $年代$，所以通过Dilworth的定理，可以覆盖该套装 $\ s$链。如果这些链都有长度 $r \勒$，那么该集合最多 $卢比$这是不可能的。所以至少有一条链是有长度的 $\ ge r + 1$子序列的长度是递增的 $r + 1$． $\广场$

这是关于部分有序集的一般事实的一个特殊情况，它以完全相同的方式遵循迪尔沃斯定理:

部分有序的大小集 $\ GE RS + 1$有一个长度 $r + 1$或者是反链的长度 $s + 1$．

让 $I_1 I_2 ldots I_{10}$是实数线的间隔。假设没有四个间隔是不相交的。表明必须有四个共享共同点的间隔。

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解决方案：定义部分顺序 $我是我'$如果并且只有 $我$和 $我$是不相交的 $我$在左边吗 $我$．假设是没有长度链 $3 + 1$，所以必须有一个长度的抗灰 $3 + 1$，它是四个区间的子集，其中没有两个是不相交的。因此他们有一个共同点。(为什么?)

最简单的证据是诱导集合的大小。让 $d$为最大反链的大小 $年代$．证据将证明这一点 $年代$可以覆盖 $d$链。基本情况是平凡的。假设所有小于的集合都证明了这个结果 $年代$．

首先，如果没有两个要素 $年代$那么是可比的，然后 $年代$本身就是一个antiChain，它可以被覆盖 $d = | |$链条每个长度 $1$，所以结果成立。否则，考虑的元素集 $年代$与至少一个其他元素相当 $S.$让 $米$是这套的最小元素（ $m \ z勒$对于所有可比性 $z$),并选择 $米$成为非空的子集的最大要素 $\ {x \在s |x \ ne m，m \ le x}。$然后 $米$显然是一个极大元素( $M z \通用电气$对于所有可比性 $z$）.让 $T = S - {m, m \}$．如果最大的反链在 $T$有大小 $\ le d 1$,然后 $T$可以覆盖 $d 1$链,所以 $年代$可以被那些加链条所覆盖 $\ \}{米,米$，其结果将得到证实 $年代$．

现在假设最大的反链 $T$有大小 $d$（它不能更大，因为 $T$是 $年代$）.打电话给这个AntiChain. $一个$．

证明的其余部分的想法是:画出Hasse图 $年代$其中最大的反链由水平条组成。把所有在带钢下面的东西和带钢上面的东西，用感应法把这些东西用链条盖住，然后把链条连接在一起，把它们跨带钢连接起来。

也就是说，构造这两个集合 $S^- &= \{x\in S\冒号x\ ge a \text{for some} a \} a \} a \} a \}$然后 $^ + \杯年代^ -$一定是全部的 $年代$，因为如果它不这样做 $一个$不是最大反链 $年代$．和 $s ^ + \ cap s ^ - = a$， 因为如果 $x$是在十字路口吗 $A x b$对于一些元素 $a，b \ in a$，所以 $一个$和 $b$都可以通过传递性进行比较，所以唯一的可能性是 $a = b$它们都相等 $x$．

自 $米$和 $米$不是在 $一个$，情况一定是这样 $m \投入s ^ +$和 $m \ notin s ^ -$，所以是两个集合 $s ^ +$和 $s ^ -$严格小于 $年代$．归纳假设适用于两者 $s ^ -$和 $s ^ +$，所以它们都被覆盖 $d$链条，每个链必须包含一个元素 $一个$．给他们打电话 $c_a ^ -$和 $C_A ^ +$．现在我们可以把这些封面缝合在一起，得到所有的封面 $年代$被锁链锁住 $c_a ^ - \ cup \ {a \} \ cup c_a ^ +$．这个封面 $d$链条，所以结果归因于诱导。 $\广场$