理性的指数

理性的指数(也称为分数指数)是带有指数的表达式有理数(而不是整数)．

而所有的标准规则的指数仔细考虑有理指数是很有帮助的。

有理指数写成 $x ^{\压裂{一}{b}},$与基础 $x$和指数 $\压裂{一}{b}$．这个表达式等价于 $b ^{\文本{th}}$根的 $x$提出的 $一个^{\文本{th}}$权力,或者 $\ sqrt [b] {x ^}$．例如, $8 ^{\压裂{2}{3}}$可以重写为 $\ sqrt[3]{8 ^ 2}。$

注意，指数是先应用的，之前根号，如果基是负的，根就不再简单了，需要复数求幂．

当解决这类问题时，首先尝试将根号内的数字表示为指数通常更容易。例如, $8$可以重写为 $2 ^ 3$．所以,

$\{对齐}开始8 ^{\压裂{2}{3}}& = \ sqrt [3] {8 ^ 2 } \\ & = \ 左\√[3]{8}\右)^ 2 \ \ & = \左\√[3]{2 ^ 3}\右)^ 2 \ \ & = 2 ^ 2 \ \ & = 4 \{对齐}结束$

是什么 $一个$式中: $2 ^{\压裂{4}{3}}= \ sqrt () {16} ?$

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自 $2 ^{\压裂{4}{3}}= \ sqrt [3] {2 ^ 4} = \ sqrt [3] {16},$将这等同于 $\ sqrt () {16}$给了 $= 3。$ $_ \广场$

评估 $\√6{125 ^{\压裂{2}{3}}}。$

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我们有 $\√6{125 ^{\压裂{2}{3}}}= \ sqrt[2]{125 ^{\压裂{2}{3}}}= 125 ^{\压裂{1}{2}\ * \压裂{2}{3}}= \离开(5 ^ 3 \右)^{\压裂{1}{2}\ * \压裂{2}{3}}=左(5 ^ 3 \右)^ \ \压裂{1}{3}= 5 ^{3 \ * \压裂{1}{3}}= 5。$ $_ \广场$

是什么 $x$式中: $5 ^{\压裂{2}{3}}=左\ \√[3]{5}\右)x ^ ?$

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自 $5 ^{\压裂{2}{3}}= \离开(5 ^{\压裂{1}{3}}\右)^ 2 =左\ \√[3]{5 ^ 1}\右)^ 2 =左\ \√[3]{5}\右)^ 2,$将这等同于 $左\ \√[3]{5}\右)^ x$给了 $x = 2。$ $_ \广场$

评估 $27 ^{\压裂{2},{3}}。$

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我们有 $27 ^{\压裂{2},{3}}= \离开(3 ^ 3 \右)^{- \压裂{2}{3}}= 3 ^{3 \ * \离开(- \压裂{2}{3}\右)}= 3 ^{2}= \离开(3 ^{2}\右)^{1}= \压裂{1}{3 ^ 2}= \压裂{1}{9}。$ $_ \广场$

是什么 $一个$式中: $\ sqrt[3]{8 ^{\压裂{2}{5}}}= \离开(3 ^ \右)^ \压裂{1}{15}?$

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自 $\ sqrt[3]{8 ^{\压裂{2}{5}}}= 8 ^{\压裂{1}{3}\ * \压裂{2}{5}}= 8 ^{\压裂{2}{15}}= \离开(8 ^ 2 \右)^{\压裂{1}{15}}= \左(64 \右)^{\压裂{1}{15}}= \离开(4 ^ 3 \右)^{\压裂{1}{15}}。$将这等同于 $左\(^ 3 \右)^ \压裂{1}{15}$给了 $= 4。$ $_ \广场$

下面哪个不等于 $8：$ $c \开始{数组}{}& (a) 4 ^{\压裂{3}{2}}&左(b) \ \√{2}\右)^ 6 & c \√{4 ^ 3}& (d) 64 ^{\压裂{1}{3}}?结束\{数组}$

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自 $x ^{\压裂{y} {n}} = \ sqrt [n] {x ^ y},$因此 $4 ^{\压裂{3}{2}}= \ sqrt[2]{4 ^ 3}大概4 ^ {3}= = \ \ sqrt{64} = 8。$这意味着两者都不是 $(一)$和 $(c)$就是答案。现在,因为 $x ^{\压裂{y} {n}} = \离开(x ^{\压裂{1}{n}} \右)^ y =左\ \√[n] {x} \右)^ y = \ sqrt [n] {x ^ y},$因此 $左\ \√{2}\右)^ 6 = \ sqrt {2 ^ 6} = \ sqrt {64} = 8,$这意味着 $(b)$也不是答案。最后,由于 $64 ^{\压裂{1}{3}}= \离开(2 ^ 6 \右)^{\压裂{1}{3}}= 2 ^{6 \ *{\压裂{1}{3}}}= 2 ^ 2 = 4 \ ne 8,$因此答案是 $(d)。$ $_ \广场$

简化 $\离开((8)^{2}\右)^{\压裂{3}{2}}$．

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我们可能会想用权力规则，所以我们会说 $\离开((8)^{2}\右)^{\压裂{3}{2}}=(8)^{2 \ \压裂{3}{2}}=(8)^ 3 = -512。$然而,这是不正确的！

我们必须记住这一点订单的操作要求我们在执行其他操作之前先执行括号内的操作。因此,正确的解决方法如下:

${对齐}\ \开始离开(8)^{2}\右)^{\压裂{3}{2}}& =(64)^{\压裂{3}{2 }} \\ &= \ √6{64 ^ 3}\ \ & = 8 ^ 3 \ \ & = 512 \{对齐}结束$

当将如下表达式输入计算器时，

(-27) ^ (2/3)

结果可能正确，也可能不正确，这取决于计算器的功能。正确答案是9，但有些计算器可能返回错误或复数这是计算器计算有理指数的捷径。在用计算器计算这类问题时要小心。

• 规则的指数
• 有理数