布劳尔不动点定理

的布劳尔不动点定理说明任何连续函数 $f$发送一个紧凑的凸集合本身包含至少一个不动的点，即一个点 $从$令人满意的 $f(从)=从$．例如，给定两张大小不同的国家的相似地图，在这两张地图上总是存在一个点代表相同的地方。

紧凸集最简单的例子是

• 实数的闭合区间
• 一个封闭的圆盘(被圆圈包围的区域)
• 平面上的任何凸区域，即一个区域 $R$对于任意两点 $X, Y$在 $R$,段 $XY$完全在于 $R,$

因此，Brouwer不动点定理适用于所有这些例子。

Brouwer的不动点定理在非常广泛的情况下是有用的，其应用范围从拓扑结构(在这里它本质上是一个基本定理)到博弈论(如纳什均衡)切蛋糕．

有许多真实的例子可以说明Brouwer的定理，尽管它们有些违反直觉。最著名的是以下几点:

考虑一个国家的地图。如果地图被放置在该国的任何地方，地图上总会有一个点代表该国的确切点。

同样,

给定两张大小不同的国家的相似地图，在这两张地图上总有一个点代表相同的地方。

标出的点位于俄克拉荷马州的某个地方，在这两份美国地图上代表的是同一个点

这适用于任何映射，包括旋转区域的映射。在下面由a定义的映射中 $60 ^{\保监会}$旋转时，三角形的中心是一个不动的点:

下面是另一个例子:

其结果是应用Borsuk-Ulam定理．Borsuk-Ulam定理隐含了Brouwer不动点定理。

一个紧凑的Set指的是两者兼而有之有界的而且关闭，意思如下:

• 所有点之间的距离都是固定的(直觉上，没有什么是无穷大的)。有一些 $l$这样 $f (x)$是否小于等于 $l$无论值是多少 $x$在域。
• 集合包含它的所有极限点;也就是说，如果集合中的一个点序列接近某个值 $l$，集也包含 $l$．

例如, $R \ mathbb {}$是无界的，因为它的元素变得无限大;然而，它是关闭的。的时间间隔 $(1,1)$是不是封闭的，作为限位点 $－1$而且 $1$不是区间的一部分，尽管区间是有界的(所有点之间的距离都在2以内)。

一个凸集之前在上面定义过。

布鲁厄定理指出，如果 $R$是紧凸集，和 $f: \ rightarrow R$是一个连续函数，那么存在一个点 $从$这样 $f(从)=从$．请注意，所有这些条件都是必要的;例如，函数

$f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}，\ f(x)=x+1$

真的占据了这个地区吗 $R \ mathbb {}$对自身，却没有固定的点。同样地,函数

$F:(0,1) \rightarrow (0,1)，\ F (x)=\frac{x+1}{2}$

也包括这个区域 $(0,1)$对自身来说，也没有固定的点 $\大($这个函数 $F:[0,1] \rightarrow [0,1]， F (x)=\frac{x+1}{2}$但是，它的固定点是1 $\大)。$

在一维情况下，布劳尔定理，定理说明

给定一个连续函数 $f: [a, b] \ rightarrow [a, b]$，存在一个 $c \ [a, b]$这样 $f (c) = c$．

事实上，这种说法的直接后果是介值定理，也有非常直观的图形解释:

这里，这个表述等价于

任何从左边到右边的连续路径(图中深绿色)都必须与绿线在某一点相交。

这是显而易见的。

众所周知，Brouwer定理是很难证明的，但是有一个非常直观且易于理解的证明(如果有点缺乏动机的话)Sperner引理．

定义 $n$单纯形成为一切的集合 $n$坐标和为1的维数点。最有趣的例子是 $n = 2$，因为更高的维度是通过归纳法来实现的(而且更难可视化);在这种情况下，2-单纯形只是一个三角形。一个三角测量这个三角形分为几个更小的三角形:

一个2-单形的三角定位

一个Sperner着色这种三角定位中有一种是满足的

• 每个顶点用其中之一着色 $n + 1$(二维情况下为3)种颜色;
• 在an上的顶点 $(n - 1)$单纯形的-face(二维情况下的大三角形的边缘)仅用该面的角(二维情况下的大三角形的顶点)的颜色着色。

上图三角形的Sperner着色图

那么Sperner的引理如下:

Sperner引理:

对于单形三角形剖分的任何Sperner着色，都存在三角形剖分的一个元素(小三角形)，它的各个角都有不同的颜色。

事实上，上面的Sperner颜色确实包含这样一个三角形(在右下)。

现在把颜色想象成一个“房子”，每条边都有“门”，其端点是红色和绿色。首先要证明边界有奇数扇门。但只有大三角形的一侧可以包含门，因为点的颜色与两个主顶点中的一个相同，而且很明显门的数量是奇数，因为每个门表示颜色的交替(在最后，颜色交替)。

现在考虑一条穿过三角形的路径，从三角形外的某个点开始，只穿过门。这条路的终点是

• 走出三角，或者
• 进入红绿蓝三角形(因为那里没有地方可去)。

此外，一旦进入三角形，路径就完全确定了，因为没有三角形有3条红绿边。这意味着在一个小三角形中没有两条路径相交。

现在的关键是:结束于三角形外的路径决定了大三角形边界上的两个门，而进入红绿蓝三角形只决定一个门。但是在大三角形的边界上有奇数扇门，所以一定有一些路径进入了红绿蓝三角形，所以红绿蓝三角形一定存在!这证明了斯珀纳引理。

穿过边界上唯一一扇门的路径，正如所料，以红绿蓝三角形结束。

现在我们证明了斯珀纳引理隐含着布鲁厄尔定理。对于每个点 $P$在单纯形中，令 $f (P)$它的形象。考虑向量 $v = f - P (P)$它指向单一体的一些角落，又远离另一些角落。颜色 $P$通过顶点的颜色，它指向最远离的地方(在平局的情况下任意选择)。

很容易看出这满足Sperner着色约束:一条边上的任何点都将指向最远离定义该边的两个顶点之一的地方，因此它将使用这两种颜色中的一种来着色。因此，根据斯珀纳引理，存在一个小三角形，它的顶点都有不同的颜色。在这个三角形内无限地重复这个过程，会得到一个同时具有三种颜色的点，这是可能的只有如果这个点是一个不动的点(因为得到的向量不指向任何顶点)。这证明了一个不动点存在于任何连续 $f$从单纯形到单纯形，因为单纯形是同胚的对于一个闭球，这证明了布劳威尔定理。

• 公平的划分
• 纳什均衡
• 同胚
• 拓扑结构