波动方程的解也可以写成gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2Ba公斤ydF4y2BaxgydF4y2Ba−gydF4y2BaωgydF4y2BatgydF4y2Ba)而不是gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba−gydF4y2BavgydF4y2BatgydF4y2Ba)gydF4y2Ba,在那里gydF4y2Ba
公斤ydF4y2Ba是gydF4y2Ba波数gydF4y2Ba而且gydF4y2Ba
ωgydF4y2Ba是gydF4y2Ba频率gydF4y2Ba,利用事实gydF4y2Ba
ωgydF4y2Ba=gydF4y2BavgydF4y2Ba公斤ydF4y2Ba对于非色散波。在这种形式下,上述两端固定的弦上的谐波(正弦)驻波振幅的解为:gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba,gydF4y2BatgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba2gydF4y2BaygydF4y2Ba0gydF4y2Ba罪gydF4y2Ba(gydF4y2Ba公斤ydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba因为gydF4y2Ba(gydF4y2BaωgydF4y2BatgydF4y2Ba)gydF4y2Ba
因为振幅gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba,gydF4y2BatgydF4y2Ba)gydF4y2Ba必须在驻波的端点消失吗gydF4y2Ba
tgydF4y2Ba的允许值gydF4y2Ba
公斤ydF4y2Ba是高度受限的。假设字符串是长度gydF4y2Ba
lgydF4y2Ba,并将字符串的端点标记为坐标gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba=gydF4y2Ba0gydF4y2Ba而且gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba=gydF4y2BalgydF4y2Ba.代入上面,因为gydF4y2Ba
罪gydF4y2Ba(gydF4y2Ba0gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba0gydF4y2Ba,gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba(gydF4y2Ba0gydF4y2Ba,gydF4y2BatgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba0gydF4y2Ba不管时间gydF4y2Ba
tgydF4y2Ba.然而,在端点处gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba=gydF4y2BalgydF4y2Ba,gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba(gydF4y2BalgydF4y2Ba,gydF4y2BatgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba0gydF4y2Ba当且仅当:gydF4y2Ba
公斤ydF4y2BalgydF4y2Ba=gydF4y2BangydF4y2BaπgydF4y2Ba,gydF4y2Ba
为gydF4y2Ba
ngydF4y2Ba任何整数。波数gydF4y2Ba
公斤ydF4y2Ba因此被限制为一组值:gydF4y2Ba
公斤ydF4y2Ba=gydF4y2BangydF4y2BalgydF4y2BaπgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
利用波数与波长相关的事实gydF4y2Ba
λgydF4y2Ba由:gydF4y2Ba
公斤ydF4y2Ba=gydF4y2BaλgydF4y2Ba2gydF4y2BaπgydF4y2Ba,gydF4y2Ba
可能允许的波长同样是离散的:gydF4y2Ba
λgydF4y2Ba=gydF4y2BangydF4y2Ba2gydF4y2BalgydF4y2Ba,gydF4y2Ba
频率如下:gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba=gydF4y2BangydF4y2Ba2gydF4y2BalgydF4y2BavgydF4y2Ba=gydF4y2BangydF4y2Ba2gydF4y2Ba公斤ydF4y2BalgydF4y2BaωgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
驻波的允许频率(一般来说,任何振荡系统的允许频率)通常称为gydF4y2Ba正常模式gydF4y2Ba,与gydF4y2Ba
ngydF4y2Ba=gydF4y2Ba1gydF4y2Ba频率称为gydF4y2Ba基频gydF4y2Ba频率对应更高gydF4y2Ba
ngydF4y2Ba被称为gydF4y2Ba谐波gydF4y2Ba,其中gydF4y2Ba
ngydF4y2Ba谐波对应于整数gydF4y2Ba
ngydF4y2Ba.gydF4y2Ba
为了找到允许的波数或频率,通常有用的做法是首先绘制一些允许的波模式的情况,从这些情况中可以首先提取波长,如下图所示:gydF4y2Ba
驻波形态随增加而增加gydF4y2Ba
ngydF4y2Ba对应的波长和频率[3]。gydF4y2Ba
4gydF4y2Ba0gydF4y2Ba0gydF4y2Ba1gydF4y2Ba
1gydF4y2Ba2gydF4y2Ba0gydF4y2Ba1gydF4y2Ba
2gydF4y2Ba0gydF4y2Ba0gydF4y2Ba1gydF4y2Ba
2gydF4y2Ba4gydF4y2Ba0gydF4y2Ba1gydF4y2Ba
摆动的张力线gydF4y2Ba
1gydF4y2Ba0gydF4y2Ba0gydF4y2BaNgydF4y2Ba单位长度的质量密度gydF4y2Ba
μgydF4y2Ba=gydF4y2Ba1gydF4y2Ba公斤gydF4y2Ba/gydF4y2Ba米gydF4y2Ba两端固定有基频gydF4y2Ba
4gydF4y2Ba0gydF4y2Ba0gydF4y2Ba赫兹gydF4y2Ba.第二次谐波和第三次谐波对应的波长之间的米差是多少?gydF4y2Ba
这种分析不仅适用于弦上的横波,实际上也适用于波动方程的一般正弦解。另一个常见的例子是纵向压力/声波在管道中传播。两端闭合的管道代表了管道中声波的狄利克雷边界条件,因为管道两端的纵向位移必须为零。如果打开管道的一端,则边界条件变为诺伊曼:一端的压力应为大气压力,因此波离开管道时压力没有变化,纵向位移的斜率是平坦的。gydF4y2Ba
半开口的管道中允许的纵向压力波频率是多少gydF4y2Ba
lgydF4y2Ba?gydF4y2Ba
解决方案:gydF4y2Ba
首先,分析三个最长的允许波长,以确定一个模式。管道长度上的纵向位移如下图所示:gydF4y2Ba
管道中压力波纵向位移的幅值为三个最低频率的谐波。gydF4y2Ba
最低频率的谐波长度为四分之一波长gydF4y2Ba
lgydF4y2Ba.次高的谐波完成波长的四分之三,之后的谐波完成波长的四分之五。观察图案时,允许的波长必须是:gydF4y2Ba
lgydF4y2Ba=gydF4y2Ba4gydF4y2Ba2gydF4y2BangydF4y2Ba−gydF4y2Ba1gydF4y2BaλgydF4y2Ba⟹gydF4y2BaλgydF4y2Ba=gydF4y2Ba2gydF4y2BangydF4y2Ba−gydF4y2Ba1gydF4y2Ba4gydF4y2BalgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
从关系式中求出相应的频率gydF4y2Ba
λgydF4y2BafgydF4y2Ba=gydF4y2BavgydF4y2Ba,得到:gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba=gydF4y2Ba4gydF4y2BalgydF4y2Ba(gydF4y2Ba2gydF4y2BangydF4y2Ba−gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)gydF4y2BavgydF4y2Ba,gydF4y2Ba
在哪里gydF4y2Ba
vgydF4y2Ba压力波的速度,和gydF4y2Ba
ngydF4y2Ba∈gydF4y2Ba{gydF4y2Ba1gydF4y2Ba,gydF4y2Ba2gydF4y2Ba,gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba...gydF4y2Ba}gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
长度相同gydF4y2Ba
八倍长gydF4y2Ba
四倍的长度gydF4y2Ba
两倍长的gydF4y2Ba
与半开的管道相比,要使纵向压力波具有相同的基频,管道两端需要开多长时间?gydF4y2Ba