三角恒等式的和与积

的和积三角恒等式类似于积和三角恒等式．

正弦和余弦的基本和积恒等式如下:

$\开始{对齐}\ sin (x) + \罪y & = 2 \ \离开的罪(\压裂{x + y}{2} \) \因为\离开(\压裂{x - y}{2} \) \ \ \因为x + \ cos y & = 2 \因为\离开(\压裂{x + y}{2} \) \因为\离开(\压裂{x - y}{2} \右)。结束\{对齐}$

从这些恒等式中，我们还可以推断出产品的差异恒等式:

$\开始{对齐}\ sin (x) - \罪y & = 2 \因为\离开(\压裂{x + y}{2} \) \罪\离开(\压裂{x - y}{2} \) \ \ \因为x -罪\ cos y & = 2 \ \离开(\压裂{x + y}{2} \) \罪\离开(\压裂{x - y}{2} \) \ \ & = 2 \罪\离开(\压裂{x + y}{2} \) \罪\离开(\压裂{x}{2} \) \{对齐}结束$

正切和恒等式和差积恒等式

$\开始{对齐}\ tan (x) + \ tan (y) & = \ tan (x + y) \大(1 - \ tan (x) \ tan (y) \大)\ \ \ tan (x) - \ tan (y) & = \ tan (x - y) \大(1 + \ tan (x) \ tan (y) \大)。结束\{对齐}$

正弦函数的基本和积恒等式的证明如下:

$\begin{aligned} 2\ sin左({\frac {\alpha + \beta} 2}右)\ cos左({\frac {\alpha - \beta} 2}右)&= 2\ frac {\sin左({\frac {\alpha + \beta} 2 + \frac {\alpha - \beta} 2}右)+ \sin左({\frac {\alpha + \beta} 2 - \frac {\alpha - \beta} 2}右)+ \sin左(\frac {2 \alpha} 2右)+ \sin左(\frac {2 \beta} 2右)+ \sin左(\frac {2 \beta} 2右)结束\{对齐}$

cos和tan的证明是相似的。 $_ \广场$

简化

$\dfrac{\cos3x-\ cosx}{\cos3x+\ cosx}。$

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我们有

$\开始{对齐}\压裂{\ cos3x - \ cos x} {\ cos3x + \ cos x} & = \压裂{2 \罪\离开(\压裂{3 x + x}{2} \) \罪\离开(\压裂3 {x}{2} \右)}{2 \因为\离开(\压裂{3 x + x}{2} \) \因为左(\ \压裂3 {x} {2} \ )} \\ & = -\ 压裂{2 \ sin2x \ sin (x)} {2 \ cos2x \因为x } \\\\ & = -\ tan2x \ tanx。\ \ _ \广场结束{对齐}$

在三角形 $三角形ABC \$证明

$罪\罪+ \ B +的罪\ C = 4 \因为\压裂{一}{2}\因为\压裂{B}{2} \因为\压裂C{}{2}。$

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我们有

$\开始{对齐}\罪+ \ B +的罪罪罪\ C & = 2 \ \离开(\压裂{A + B}{2} \) \因为\离开(\压裂{A - B}{2} \右)+ 2 \罪\压裂{C}{2} \因为\压裂{C}{2} \ \ & = 2 \因为\压裂{C}{2} \因为\离开(\压裂{A - B}{2} \右)+ 2 \罪\压裂{C}{2} \因为\压裂{C}{2} \ \ & = 2 \因为\压裂{C}{2} \离开(\因为\ \压裂{一}{2}- \压裂{B}{2} \大)+罪\ \压裂{C}{2} \) \ \ & = 2 \因为\压裂{C}{2} \离开(\因为\ \压裂{一}{2}- \压裂{B}{2} \大)+ \因为\大(\ \压裂压裂{一}{2}+ {B}{2} \大)\)\ \ & = 2 \因为\压裂{C}{2} \离开(2 \因为\压裂{一}{2}\因为\压裂{B} {2} \) \ \ & =4、因为、压裂{一}{2}\因为\压裂{B}{2} \因为\压裂C{}{2}。\ _\方形\端{对齐}$

求定义域内的所有解 $[2 \π,2π\]$这个方程

$\cos(4x) + \cos(2x) =0。$

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我们有

$\开始{对齐}\ cos (4 x) + \ cos (2 x) & = 0 2 \ \ \因为\离开(\压裂{4 x + 2 x}{2} \) \因为\离开(\压裂{4 x-2x}{2} \右)& = 0 \ \ \ cos (3 x) \ cos (x) & = 0。\ \ \{对齐}结束$

为 $\ cos (3 x) = 0, x = \压裂~ {4 n \π\ \下午π}{6}\意味着x = - \压裂{5 \π}{6},~ - \压裂{\π}{6}~ \压裂{\π}{6}~ \压裂{5 \π}{6}。$
为 $\ cos (x) = 0, x = 2 ~ n \π\ \下午压裂{\π}{2}\意味着x = - \压裂{3 \π}{2},~ - \压裂{\π}{2}~ \压裂{\π}{2}~ \压裂{3 \π}{2}。$

因此，解决方案是 $x = - \压裂{3 \π}{2},~ - \压裂{5 \π}{6},~ - \压裂{\π}{2}~ - \压裂{\π}{6}~ \压裂{\π}{6}~ \压裂{\π}{2}~ \压裂{5 \π}{6},~ \压裂{3 \π}{2}$． $_ \广场$

写 $\ sinx + \sin(2x) + \sin(3x) + \sin(4x)$作为三角函数的乘积。

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我们有

$\开始{对齐}\ sin (x) + \罪(2 x) + \罪(3 x) + \罪(4 x) & = \大(\罪(4 x) + \ sin (x) \大)+ \大(\罪(3 x) + \罪(2 x) \大)罪\ \ & = 2 \ \离开(\压裂{4 x + x}{2} \) \因为\离开(\压裂{4 x}{2} \右)+ 2 \罪\离开(\压裂{3 x + 2 x}{2} \) \因为\离开(\压裂{3 x-2x}{2} \) \ \ & = 2 \罪\离开(\压裂{5 x}{2} \) \因为\离开(\压裂{3 x}{2} \右)+ 2 \罪\离开(\压裂{5 x}{2} \) \因为\离开(\压裂{x}{2} \) \ \ & = 2 \罪\离开(\压裂{5 x}{2} \) \离开(\因为\大(\压裂{3 x}{2} \大)+ \因为\大(\压裂{x}{2} \大)\)\ \& = 2 \罪\离开(\压裂{5 x}{2} \) \离开(左2 \因为\(\压裂{\压裂{3 x}{2} + \压裂{x}{2}}{2} \) \因为\离开(\压裂{\压裂{3 x}{2} - \压裂{x}{2}}{2} \) \) \ \ & = 2 \罪\离开(\压裂{5 x}{2} \) \离开(2 \ cos (x) \因为\大(\压裂{x}{2} \大)\)\ \ & = 4 \罪\离开(\压裂{5 x} {2} \) \ cos (x) \因为\离开(\压裂{x}{2} \右)。\ _\方形\端{对齐}$