沃利斯产品

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沃利斯产品可以表示为无穷积吗

$\begin{aligned} \dfrac\pi 2 &= \prod_{n=1}^\infty \left (\dfrac{2n}{2n-1} \cdot \dfrac{2n}{2n+1} \right) \\ &= \ dfra21 \乘\dfrac23 \乘\dfrac43 \乘\dfrac 45 \乘\dfrac65 \乘\dfrac67 \乘\dfrac87 \乘\dfrac89 \乘\cdots。结束\{对齐}$

证明:

这个诱人的陈述可以通过积分的应用来证明，这是相当出乎意料的，但通过观察，这是一种相当合乎逻辑的方法 $\压裂{\π}2$在一边。

这实际上就是沃利斯证明它的方法，通过积分，通过比较 $\int_0^\pi \sin^nx \ dx$的偶数和奇数值 $n,$利用递增的事实 $n$加1导致的变化减少了的变化 $n$作为 $n$变得越来越大。

这个证明不需要积分(请看这个问题)沃利斯产品证明）.

• 斯特林公式
• 夹逼定理