斯特林的惯例

在置换，我们表明置换的数量 $N.$阶乘函数给出了不同的物体 $n$因子函数有多快 $n$作为一个函数 $n？$在已知的近似值中捕获此行为斯特林的惯例 $（$也被称为斯特林的近似值 $的）$。

斯特林的惯例

阶乘功能 $n$近似

$n\ sim \ sqrt {2 \ pi n} \ left（\ frac {n} {e} \右）^ n。$

此外，对于任何正整数 $N.$，我们有界限

$\ sqrt {2 \ pi} \ n ^ {n + {\ small \ frac12}} e ^ { - n} \ le n！\ le e \ n ^ {n + {\ small \ frac12}} e ^ { - n}。$

二项式系数中定义的定理 ${2n \选择n} = \ frac {（2n）！} {n！^ 2}$为了 $n \ geq 0$它方法 $\ frac {4 ^ n} {\ sqrt {\ pi n}}$渐近。

鉴于斯特林的公式，我们有

$\ begin {对齐} n！＆\ \ \ sqrt {2 \ pi n} \ left（\ frac {n} {e}右）^ n \\（2n）！＆\ \ sqrt {4 \ pi n} \ left（\ frac {2n} {e} \右）^ {2n}。\结束{对齐}$

采用第二近似与第一近似的平方之比，

$\ frac {（2n）！} {n！^ 2} \意味着\ sqrt {\ frac {4 \ pi n} {（2 \ pi n）^ 2}} \ cdot \ frac {（2n）^ {2n}{n ^ {2n}} \ cdot \ frac {e ^ {2n}} {e ^ {2n}} {e ^ {2n}} = \ frac {1} {\ sqrt {\ pi n}} \ cdot 2 ^ {2n} = \frac {4 ^ n} {\ sqrt {\ pi n}}。\ _ \ square$

在各种计数问题中，加泰罗尼亚语号发生多次;它被定义为 $\大c_n = \ frac {1} {n + 1} {2n \选择n}$。有关更多信息，请转到加泰罗尼亚号码。