夹逼定理
贡献
这
这个定理对于求极限特别有用,因为其他技术可能会不必要地复杂。例如,
在右边,正在研究的函数的图形是红色的。
定理的陈述及其直观
直觉夹逼定理的另一个名字是 假设函数
然后,如果
定理的证明
这个定理等价于下一个定理:如果三个序列
一种N.的)那(B.N.的)那(CN.的)实现 N.≤B.N.≤CN.
识别和解决需要挤压定理的限制
1.上界和下界明确给出
当问题中明确绑定上限和下限时,您只需要改变
给定一个无限序列
一种N.}满足 N.+5.2N.2−7.<一种N.<6.N.−13.N.2+8.对于所有正整数 那评估
请注意,发送如果不改变这种不平等就会导致一场灾难。我们将不等式的中项转换为我们想要的表达式:
现在我们可以发送
到无穷大得到
因此我们得出结论
这种方法经常用于序列,这类问题在高中是众所周知的。
2.绝对值(通常函数值趋向于0)
当你在一个问题中看到绝对值的时候你可以尝试很多方法,夹逼定理就是其中之一。
通常,开始是通过使用绝对值的属性来包围所需的表达式。
有一个功能
:R.→R..证明,如果 →一种lim∣F(X的)∣=0.那然后
在处理此问题时,您需要了解绝对值的以下属性:
这可以很容易地通过让检查
>0.和 <0.对于各自的情况。 然后,我们利用此属性来包围所需的表达式:
请注意,
这足以得出结论
3.三角函数(我)
有时它在限制或总和中的三角函数的奇怪问题时令学生炫耀学生,如下所示:
评估的极限
请注意,
所以,我们可以写
最左边的一面是自动的
那尽管
这足以得出结论
4.总和往往是无限的
当您在倾向于无限的限制范围内看到总和时,有时使用挤压定理是明智的。
评估的极限
我们观察到这一点≤N.那这 2+N.+K.≤K.2+2N.. 我们还注意到了
≤一种+B..>0.那B.>0.这总是正确的 +B. 然后,求上界和下界:
现在我们可以
最左边的表达会聚到
1:
最右边的表达也会收敛到
1:
这足以得出结论
5.三角函数(ii)
通常情况下,常数界限是不够的。然后我们需要用三角恒等式和几何来找到一些全新的边界。
无限序列
一种N.}(N.≥1的)满足
对于所有正整数
证明.
作为思考
1这里。我们可以拥有这个,因为 1<2π对所有 . 自领域以来
B.D.是在区域之间吗 一种E.B.和 一种D.F那我们可以有
操纵这种不平等
注意的是,
我们可以说
现在我们需要观察这个:
从最初的不等式,
最左边和最右边表达的两种方法
作为倾向于无限。所以,
6.函数方程
在这种类型的问题中,您需要一些巧妙的操纵和/或替代,以确定上限和下限是什么。
给予一个功能
:R.→R.满足
对于所有真实
和那证明 是一个常量功能。 交换和 获得
我们可以看到
放
>y两边除以 −y:
放
<y并划分双方 1的)经过 −y:
这两个不等式是完全相同的,所以我们继续下一步:
所以,
所以,
'(X的)=0.对于所有真实 那这证明了 是一个常量功能。
7.杂项
有时只是没有任何模式。
无限序列
一种N.}正项满足
对于所有正整数
.证明 N.方法 作为 倾向于无限。 重要的是要注意到−∣X∣总是在范围内吗 0.那1]. 自从
我们可以看到
因为右边接近了
作为趋近于无穷,很明显
确定适当的下限和上限
例子
评估
自从
≤罪2X≤1∀X∈R.那
请注意,
N.→∞N.+2N.K.=0.为了 ∈(0.那1的)那这意味着
通过夹逼定理,我们得到
评估
让
N.=N.+11+N.+21+⋯+N.+N.1那然后
请注意,
N.→∞N.+N.N.=limN.→∞N.+1N.=1那这意味着
评估
让
N.=N.2+N.+11+N.2+N.+22+⋯+N.2+N.+N.N.那然后
请注意,
这意味着
使用挤压定理来证明这一点
→0.limX罪X=1.
当
接近0,我们有
请注意,
X→0.cosX=limX→0.1=1那这意味着
使用挤压定理,评估
请注意,
作为
1和 X1靠近 作为 →∞那
因此,
评估
我们知道
−1+K.<2K.<K.+K.+1那这意味着
请注意,
N.→∞N.2N.+1−2=2那所以
找到
→0.limT.罪T..
我们从不等式开始
T.≤T.≤棕褐色T.这就是角的弧度的定义。除以 收益率 T.≤T.罪T.≤1.但 T.=1−2罪22T.≥1−2T.2我们可以应用夹逼定理。我们假设 是积极的,但是 罪T.是偶数,所以我们做完了。实际上,我们可以简单地 =2ϵ而不是使用挤压定理来完成证明。