球的体积

一个球是三维空间中完美的圆形几何物体。它可以被描述为所有位于距离的点的集合 $r$(半径)离给定点(中心)的距离。它是完全对称的，没有边或顶点。

注意:地球不是球体!如上所述，球体没有边或顶点。但是地球的两极稍微变平了，这就形成了它的形状un-sphere-ish．它的形状有一个特殊的名字:大地水准面。

有半径的球体 $r$有体积 $\压裂{4}{3}\πr ^ 3$和表面积 $4 \πr ^ 2$．

有趣的事实:在所有表面积相同的形状中，球体的体积最大。

一个有半径的球的体积是多少 $5$？

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回答

半径为5的球的体积是 $\压裂{4}{3}\π\ * 5 ^ 3 = \压裂{500}{3}\π= 166 \压裂{2}{3}\π$． $_ \广场$

如果一个球体的表面积是 $144年\π,$这个球的体积是多少?

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回答

观察球体的表面积可以改写为

$144年\ππ= 4 \ \ * 6 ^ 2。$

然后，因为有半径的球面的表面积 $r$是 $4 \ r^2，$由此可知，这个问题中球面的半径是 $r = 6。$因此，它的体积是

$\压裂{4}{3}\πr ^ 3 = \压裂{4}{3}\π\乘以6 ^ 3 = 288 \π。\ _ \广场$

你有一个体积是 $\ \压裂{4π}{3}\文本}{厘米^ 3。$如果你想让金球变大两倍，除了你现有的金球，你还需要带多少金子给珠宝商?

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回答

从这个公式 $V = \压裂{4}{3}\πr ^ 3$一个有半径的球体的体积 $r,$你知道金球的半径是 $r = 1}{厘米\文本。$因为你想要半径是 $2 \文本}{厘米,$制造新的更大的球体所需的黄金数量是 $π\压裂{4}{3}\ \ * 2 ^ 3 = \压裂{32 \π}{3}\离开文本(\{厘米}^ 3 \右)。$因此，所需的额外黄金数量是

$\压裂{32 \π}{3}\文本{厘米}^ 3 - \压裂{4 \π}{3}\π\文本}{厘米^ 3 = \压裂{28 \π}{3}\文本}{厘米^ 3。\ _ \广场$

球的体积 $一个$是 $\压裂{1}{27}$乘以球面 $b。$的表面积 $一个$是的表面积的多少倍 $b ?$

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回答

让 $R_a$和 $R_b$表示球体的半径 $一个$和 $b,$分别。从公式中 $V = \压裂{4}{3}\πr ^ 3$一个有半径的球体的体积 $r,$我们有

$\压裂{4}{3}\π{R_a} ^ 3 = \压裂{1}{27}\ cdot \压裂{4}{3}\π{R_b} ^ 3,$

这意味着 $R_a = \压裂{1}{3}R_b。$

因此，从公式中 $S = 4 \πr ^ 2$求有半径的球面的表面积 $r,$我们得到球面的表面积 $一个$是 $左(\ \压裂{1}{3}\右)^ 2 = \压裂{1}{9}$乘以球面的表面积 $b。$ $_ \广场$