三倍角的身份

三角triple-angle身份给出一个角的三倍三角函数与角本身三角函数的关系。

Triple-angle身份

$\sin 3 \theta = 3 \sin theta - 4 \sin ^3 \theta$ $\cos 3\theta = 4 \cos ^ 3\theta - 3\ cos theta$

为了证明三角恒等式，我们可以这样写 $\罪3 \θ$作为 $\sin(2 \theta + \theta)$．然后我们可以用求和公式和二倍角的身份要获得所需的表格:

$\开始{对齐}\罪3 \θ& = \罪(2θ+ \ \θ)\ \ & = \ sinθ2 \ \ cosθ+ \ \ cosθ2 \ \ sinθ\ \ \ & =(2θ\罪\ \ cosθ\ \ cosθ+ \ \大(1 -θ2 \罪^ 2 \ \大)θ罪\ \ \ \ &θ= 2 \罪\ \因为^ 2 \θ+ \罪\θ- 2θ\罪^ 3 \ \ \ & = 2θ\罪\ \大罪(1 - \ ^ 2θ\ \大)+罪罪\ \θ- 2 \ ^ 3\theta \\ & = 2 \sin \theta - 2 \sin^3 \theta + \sin \theta - 2 \sin^3 \theta \\ & = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta.\ _\square \end{aligned}$

三角形恒等式 $3 \ \ cosθ$可以用非常相似的方式证明。

从这些公式中，我们也得到了以下恒等式 $罪\ ^ 3(\θ)$和 $(\ \因为^ 3θ)$在较低的权力方面:

$罪\ ^ 3(\θ= \压裂{3 \罪罪θ(\)\ \离开(θ3 \ \右)},{4}\四\因为^ 3(\θ= \压裂{\ cosθ(3 \)+ 3 \ cosθ(\)}{4}。$

为了记住余弦公式，我喜欢使用的技巧是将余弦理解为“美元”然后,我们说

" 30美元等于4美元30减去3美元"

$\begin{array} {l l l l} \$1。30 & = \$ 4.30 & - \$ 3 \\ 1 \cos 3 \theta & = 4 \cos ^3 \theta & - 3 \cos theta \\ end{array}$

只是在这里留个记号，

$\开始{对齐}\ tanx \ tan(60 ^ \保监会- x) \ tan(60 ^ \保监会+ x) & = & \ tan (3 x) \ \四\ sin (x) \罪(60 ^ \保监会- x) \罪(60 ^ \保监会+ x) & = & \罪(3 x) \ \四\ cos x \ cos(60 ^ \保监会- x) \ cos(60 ^ \保监会+ x) & = & \ cos (3 x) \ \ \ tan (3 x) & = & \压裂{3 \ tan x - \ tan ^ 3 x} {1 - 3 \ tan ^ 2 x}。结束\{对齐}$

证明

$\ tan(6 ^ \保监会)= \ tan(12 ^ \保监会)\ tan(24 ^ \保监会)\ tan(48 ^ \保监会)。$

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