双角身份

三角双角公式用角本身的三角函数给出了应用于两倍角的基本三角函数之间的关系。

记住以下公式的提示：

我们可以代入这些值 $（2x）$进入总和公式 $\罪$和 $\ cos。$使用45-45-90和30-60-90度三角形，我们可以轻松地看到之间的关系 $\ sin (x)$和 $\ cos x$它们所代表的长度。几个 $\ cos 2x.$定义可以通过使用勾股定理和 $\ tan x = \ frac {\ sin x} {\ cos x}。$

双角公式

$\ begin {对齐} \ sin 2x＆= 2 \ sin x \ cos x \\\\\ \ cos 2x＆= \ cos ^ 2 x - \ sin ^ 2 x \\＆= 2 \ cos ^ 2 x - 1 \\＆= 1 - 2 \ sin ^ 2 x \\\\\ \ tan 2x＆= \ frac {2 \ tan x} {1 - \ tan ^ 2 x} \ end {对齐}$

从这些公式中，我们也有以下身份：

$\ begin {对齐} \ sin ^ 2 x＆= \ frac {1} {2}（1- \ cos 2x）\\\\\ \ cos ^ 2 x＆= \ frac {1} {2}（1+ \ cos 2x）\\\\ \ sin x \ cos x＆\ frac {1} {2} \ sin 2x \\\\\ \ tan ^ 2 x＆\ frac {1- \ cos 2x} {1+ \ cos 2x}。\结束{对齐}$

我们有以下公式:

$\ begin {对齐} \ sinh 2x＆= 2 \ sinh x \ cosh x \\\\ \ cosh 2x＆= cosh ^ 2 x + \ sinh ^ 2 x \\＆= 2 \ cosh ^ 2 x-1 \\＆= 2 \ sinh ^ 2 x + 1 \\\\\ tanh 2x＆= \ frac {2 \ tanh x} {1+ \ tanh ^ 2 x}。\结束{对齐}$

如果 $\ sin \ alpha = \ frac {1} {2}$和 $0 < \α< \压裂{\π}{2},$什么是值 $\ cos2 \ alpha？$

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给予 $\ sin \ alpha = \ frac {1} {2}$和 $0 < \α< \压裂{\π}{2},$我们有 $\ cos \ alpha = \ sqrt {1- \ sin ^ 2 \ alpha} = \ sqrt {1- \ left（\ frac {1} {2}右）^ 2} = \ frac {\ sqrt {3}}{2}。$这意味着 $\ cos2 \ alpha = \ cos ^ 2 \ alpha- \ sin ^ 2 \ alpha = \ left（\ frac {\ sqrt {3}} {2} \右）^ 2- \ left（\ frac {1} {2} \右）^ 2 = \ frac {3} {4} - \ frac {1} {4} = \ frac {1} {2}。\ _\正方形$

利用双角恒等式解决以下问题:

如果 $\ sin \ theta = \ frac {5} {13}$和 $0 <\ theta <\ frac {\ pi} {2}，$什么是值 $\ sin2 \θ?$

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给予 $\ sin \ theta = \ frac {5} {13}$和 $0 <\ theta <\ frac {\ pi} {2}，$我们有 $\ cosθ= \ \√6{1 -θ\罪^ 2 \}= \√6{1 - \离开(\压裂{5}{13}\右)^ 2}= \压裂{12}{13}。$这意味着 $\ sin2 \ theta = 2 \ sin \ theta \ cos \ theta = 2 \ cdot \ frac {5} {13} \ cdot \ frac {12} {13} = \ frac {120} {169}。\ _\正方形$

如果 $\ sin \ alpha = \ frac {3} {5}$和 $\ frac {\ pi} {2} <\ alpha <\ pi，$什么是值 $\ tan2 \ alpha？$

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给予 $\ sin \ alpha = \ frac {3} {5}$和 $\ frac {\ pi} {2} <\ alpha <\ pi，$我们有 $\ cos \ alpha = - \ sqrt {1- \ sin ^ 2 \ alpha} = - \ sqrt {1- \ left（\ frac {3} {5}右）^ 2} = - \ frac {4} {5}。$这意味着 $\ displaystyle {\ tan \ alpha = \ frac {\ sin \ alpha} {\ cos \ alpha} = - \ frac {3} {4}}。$因此，它遵循 $\ tan2 \ alpha = \ frac {2 \ tan \ alpha} {1- \ tan ^ 2 \ alpha} = \ frac {2 \ cdot \ left（ - \ frac {3} {4} \右）} {1-\左（ - \ frac {3} {4}右）^ 2} = - \ frac {24} {7}。\ _\正方形$

什么是 $\θ.$ $（0 <\ theta <\ pi）$它满足以下条件:

$\ frac {\ tan2 \ theta + \ sec2 \ theta-1} {\ tan2 \ theta + \ sec2 \ theta + 1} = - 1？$

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观察到给定的等式可以如下重写：

$\ begin {senutal} \ frac {\ tan2 \ theta + \ sec2 \ theta-1} {\ tan2 \ theta + \ sec2 \ theta + 1}＆= \ frac {\ frac {\ sin2 \ theta} {\ cos2 \ theta}+ \ frac {1} {\ cos2 \ theta} -1} {\ frac {\ sin2 \ theta} {\ cos2 \ theta} + \ frac {1} {\ cos2 \ theta} +1} \\\\＆=\frac{\sin2\theta+1-\cos2\theta}{\sin2\theta+1+\cos2\theta}\\\\ &=\frac{2\sin\theta\cos\theta+2\sin^2\theta}{2\sin\theta\cos\theta+2\cos^2\theta}\\\\ &=\frac{\sin\theta(\cos\theta+\sin\theta)}{\cos\theta(\sin\theta+\cos\theta)}\\\\ &=\tan\theta=-1. \end{aligned}$

然后，自从 $0 <\ theta <\ pi，$ $\ theta = \ frac {3 \ pi} {4}。$ $_\正方形$

如果 $csc \α= \ \压裂{2 \√{3}}{3}$为了 $0 < \α< \压裂{\π}{2},$什么是 $\ sin2 \ alpha + \ cos2 \ alpha？$

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自 $\ sin \ alpha = \ frac {1} {\ csc \ alpha} = \ frac {3} {2 \ sqrt {3}} = \ frac {\ sqrt {3}}}} {2}$和 $0 < \α< \压裂{\π}{2},$ $\ alpha = \ frac {\ pi} {3}$和 $\ cos \ alpha = \ frac {1} {2}。$因此,

$\ begin {对齐} \ sin2 \ alpha + \ cos2 \ alpha＆= 2 \ sin \ alpha \ cos \ alpha + big（\ cos ^ 2 \ alpha - \ sin ^ 2 \ alpha \ big）\\＆= 2 \ cdot\ frac {\ sqrt {3}} {2} \ cdot \ cdot \ frac {1} {2} + \ left（\ frac {1} {2}右）^ 2- \ left（\ frac {\ sqrt {3}} {2} \右）^ 2 \\＆= \ frac {\ sqrt {3}} {2} + \ frac {1} {4} - \ frac {3} {4} \\＆= \ frac{\ sqrt {3} -1} {2}。\ _ \ square \结束{对齐}$

什么是 $X$在以下身份中： $\ displaystyle{1 + \床^ 2 \θ= \压裂{X}{\罪^ 2θ2 \}}?$

$\ begin {array} {c}（a）\ cos ^ 2 \ theta &&&（b）\ 4 \ cos ^ 2 \ theta &&&（c）\ sin ^ 2 \ theta &&&（d）\ 4 \ sin ^ 2 \Theta \ End {array}$

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自 $1 + \床^ 2 \ csc ^ 2θ= \ \θ$， 我们有

$\ begin {对齐} \ csc ^ 2 \ theta＆= \ frac {x} {\ sin ^ 22 \ theta} \\ \ left（\ frac {\ sin2 \ theta} {\ sin \ theta} \ of of）^ 2＆=X。\结束{对齐}$

使用身份 $\ sin2 \ theta = 2 \ sin \ theta \ cos \ theta$给

$x = \ left（\ frac {\ sin2 \ theta} {\ sin \ theta} \ otive）^ 2 = \ left（\ frac {2 \ sin \ theta \ cos \ theta} {\ sin \ theta} \右）^ 2 = 4 \ cos ^ 2 \ theta。$

因此，答案是 $(b)。$ $_\正方形$

使用双角度公式来证明身份

$\ csc 2 \ theta - \ cot 2 \ theta = \ tan \ theta。$

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我们有

$\ begin {对齐} \ csc 2 \ theta - \ cot 2 \ theta＆= \ dfrac {1} {\ sin 2 \ theta} - \ dfrac {\ cos 2 \ theta} {\ sin 2 \ theta} \\ \\＆= dfrac {1- \ cos 2 \ theta} {\ sin 2 \ theta}。\结束{对齐}$

使用身份 $1- \ cos 2 \ theta = 2 \ sin ^ 2 \ theta$和 $\ sin 2 \ theta = 2 \ sin \ theta \ cos \ theta$给

$\ csc 2 \ theta - \ cot 2 \ theta = \ dfrac {1- \ cos 2 \ theta} {\ sin 2 \ theta} = \ dfrac {2 \ sin ^ 2 \ theta} {2 \ sin \ theta \ cos\ theta} = \ dfrac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta} = \ tan \ theta。\ _\正方形$