选择定理

选择定理给出了一种求端点为整数顶点的平面上多边形面积的方法。

晶格点点的坐标都是整数，比如 $(1,2)， (-4, 11)$, $(0, 5)$．所有格点的集合形成一个网格。一个晶格多边形是由直线构成的形状，顶点都是格点，匹克定理给出了格多边形面积的公式。

首先，观察任意晶格多边形 $P$时，多边形的边界边包含一些格点 $（$包括作为顶点的格点 $P)$并且可能在其内部包含一些晶格点(不包括边界上的点)。让

$\begin{aligned} B(P) &= \mbox{多边形边界上的点数}\\ I(P) &= \mbox{多边形内部的点数}。结束\{对齐}$

选择定理

让 $P$是一个格多边形，设 $B (P)$为多边形边界上的点，令 $我(P)$为多边形内部的点数。然后

$(\mbox{多边形面积}P) = I(P) + \frac{1}{2} B(P) -1。$

注意匹克定理适用于任何多边形，不仅仅是凸多边形。

对于矩形来说 $R$的长度 $l$和高度 $h,$有 $B(R) = 2l + 2h$沿矩形边界的点，和 $I(R) = (l-1)(h-1) = lh - l- h + 1$矩形内部的点。应用匹克定理得到

$\开始{对齐}\ mbox}{区域(R) & =我(R) + \压裂{1}{2}B (R) - 1 \ \ & = lh - l - h + 1 + \压裂{1}{2}(2 l + 2 h) - 1 \ \ & = lh - l - h + 1 + l + h - 1 \ \ & = lh。结束\{对齐}$

如果没有匹克定理，我们可以通过将格多边形分解为三角形来计算格多边形的面积，然后使用正弦法则计算每个三角形的面积，然后将得到的三角形面积相加来得到格多边形的面积。作为一个强大的工具，鞋带定理可以同时计算给定坐标的任意图形的面积。匹克定理提供了一种不用进行所有这些计算就能求出晶格多边形面积的方法。匹克定理还包含以下有趣的推论:

格多边形的面积总是整数或半整数。

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证明:由匹克定理，格多边形的面积 $P$是由 $\mbox{Area}(P) = I(P) + \frac{1}{2} B(P) - 1。$在格多边形中，的内部点的数目 $P$边界上的点数 $P$都是整数。然后 $\mbox{Area}(P) = I(P) + \frac{1}{2} B(P) - 1$为整数，如果 $B (P)$偶数和二分之一是整数吗 $B (P)$是奇数。 $_ \广场$

不可能把等边三角形画成格多边形。

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证明:假设我们可以画一个等边三角形作为一个点阵多边形 $一个$， $B$而且 $C$有边长 $年代$．通过距离公式而且勾股定理， $s ^ 2$表示这两个顶点之间距离的平方，必须为整数。还要注意，等边三角形的面积可以表示为 $4 . \text{Area} = \frac{s^2 \sqrt3$，则面积一定是无理数。

另一方面，的面积 $三角形ABC \$根据前面的定理，必须是整数或半整数，这意味着面积必须是有理数，这是矛盾的。因此，不可能把等边三角形画成格多边形。 $_ \广场$

我们可以使用以下步骤来证明这一点:

1. 对于边长与坐标轴平行的矩形，这是正确的:这是显而易见的。一个 $A \乘以b$矩形有 $2 + 2 b$边界上的点， $(a - 1) (b - 1)$分在内部，和一个面积 $(a-1)(b-1) + \frac{1}{2} (2a+2b) -1 = ab$．
2. 对于底平行于坐标轴的直角三角形，这是正确的:我们可以将三角形加倍以形成一个矩形，并跟踪位于斜边上的点。
3. 这对于任意三角形都是成立的:我们取一个边平行于包含这个三角形的两个轴的矩形，然后减去那些底平行于这些轴的直角三角形。
4. 这对任何多边形都是正确的:我们对多边形进行三角剖分。

这里的主要思想是表明多边形的和和和差仍然服从匹克定理，这是什么允许我们粘/分离三角形。