解对数方程gydF4y2Ba

方程涉及gydF4y2Ba对数gydF4y2Ba未知变量通常可以通过使用对数的定义，以及它的几个定义来求解gydF4y2Ba基本性质gydF4y2Ba：gydF4y2Ba

• $\log_x(a) + \log_x(b) = \log_x(ab)gydF4y2Ba$

• $\log_x(a) - \log_x(b) = \log_x\big(\frac ab\big)gydF4y2Ba$

• $A \log_x(b) = \log_x(b^ A)gydF4y2Ba$

• $= \ \ log_x (a)压裂{\ log_y (a)} {\ log_y (x)} = \ frac1 {\ log_a (x)}gydF4y2Ba$对于任何正实数gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$

• $X ^{\log_x(a)} = agydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

需要注意的常见错误包括gydF4y2Ba

• $\log_x(a) \cdot \log_x(b) \neq \log_x(ab)gydF4y2Ba$

• $\压裂{\ log_x (a)} {\ log_x (b)} \ neq \ log_x \大(\压裂{一}{b} \大)gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

一般的策略是利用这些性质巩固对数，然后对方程两边取适当的幂，以便在可能的情况下消去对数。gydF4y2Ba

对于许多带有对数的方程，解它们只是简单地使用定义的问题gydF4y2Ba $x \日志gydF4y2Ba$从方程中消去对数，并将其转化为agydF4y2Ba多项式gydF4y2Ba或gydF4y2Ba指数gydF4y2Ba方程。gydF4y2Ba

找到gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$如果gydF4y2Ba $\log_2(3x+1) = 4gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

---

根据对数的定义，gydF4y2Ba

$开始\{对齐}3 x + 1 & = 2 ^ 4 \ \ & = 16 \ \ 3 x 15 \ \ & = & = 5。\ _\方形\端{对齐}gydF4y2Ba$

另一种看待这个解的方法是gydF4y2Ba $2gydF4y2Ba$左边的次幂，得到gydF4y2Ba $3 x + 1gydF4y2Ba$，然后拿起gydF4y2Ba $2gydF4y2Ba$得到了右边的力量gydF4y2Ba $2^4 = 16gydF4y2Ba$．更复杂的对数方程通常通过两边取幂来简化。gydF4y2Ba

其它方程可以用对数的其它性质来简化。出现的一个困难是消除对数并求解结果方程可能引入伪解。这些解违反了log函数的参数必须总是正的原则。通常明智的做法是将解代入原方程，并确保两边都有定义。gydF4y2Ba

找到所有gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$这样gydF4y2Ba $\log_3(x-12) +\log_3(x-6) = 3。gydF4y2Ba$

---

将所给方程化简如下:gydF4y2Ba

$\开始{对齐}\ log_3(十二个)+ \ log_3 (x6) & = 3 \ \ \ log_3 \大((十二个)(x6) \大)& = 3 \ \(十二个)(x6) & = 27 \ \ x ^ 2-18x-45 & = 0 \ \ (x - 15)(3) & = 0。结束\{对齐}gydF4y2Ba$

这就产生了两种可能的解决方案gydF4y2Ba $x = 3, x = 15gydF4y2Ba$．但是请注意gydF4y2Ba $X = 3gydF4y2Ba$不是一个实际的解决方案，如gydF4y2Ba $\ log_3 (3 - 12)gydF4y2Ba$是未定义的。唯一的解决方法是gydF4y2Ba $x = 15gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

上述解决方案中不可逆的步骤是第一步:尽管gydF4y2Ba $(十二)(x6)gydF4y2Ba$是正的，如果gydF4y2Ba $x = 3gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $十二个gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $乘以6gydF4y2Ba$本身并不积极。gydF4y2Ba

更复杂的对数方程通常包含不止一个底数。首先引入未知数来解对数会有帮助。另一个有用的恒等式是gydF4y2Ba $\log_x(y) = \frac{\log_z(y)}{\log_z(x)}gydF4y2Ba$，特别是自从gydF4y2Ba $zgydF4y2Ba$可以选择任何简化问题的方法。gydF4y2Ba

假设gydF4y2Ba $a、bgydF4y2Ba$正实数是这样吗gydF4y2Ba

$\log_a(10)+\log_b(100) = \log_{ab}(1000000)。gydF4y2Ba$

表明,gydF4y2Ba $A = bgydF4y2Ba$或gydF4y2Ba $a ^ 2 =gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

---

重写为gydF4y2Ba

$\压裂{\ log (10)} {\ log (a)} + \压裂{\ log (100)} {\ log (b)} = \压裂{\ log (1000000)} {\ log (ab)},gydF4y2Ba$

所有的日志都在哪里gydF4y2Ba $10gydF4y2Ba$．这可以简化为gydF4y2Ba

$\ frac1 {\ log ()} + \ frac2 {\ log (b)} = \ frac6 {\ log (ab)}。gydF4y2Ba$

让gydF4y2Ba $M = \log(a)gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $N = \log(b)gydF4y2Ba$．然后gydF4y2Ba $\log(ab) = m+ngydF4y2Ba$,所以gydF4y2Ba

${对齐}\ \开始frac1 {m} + \ frac2 {n} & = \ frac6 {m + n} \ \ n + 2 m & = \压裂{6 mn} {m + n} \ \ (2 m + n) (m + n) & = 6 mn \ \ 2 m ^ 2 + 3 mn + n ^ 2 & = 6 mn \ \ 2 m ^ 2-3mn + n ^ 2 & = 0 \ \ (2 m n) (mn) & = 0。结束\{对齐}gydF4y2Ba$

所以gydF4y2Ba $m = ngydF4y2Ba$或gydF4y2Ba $2 m = ngydF4y2Ba$．在第一种情况下，gydF4y2Ba $日志(a) = \ \ log (b)gydF4y2Ba$,所以gydF4y2Ba $a = bgydF4y2Ba$．在第二种情况下，gydF4y2Ba $2\log(a) = \log(b)gydF4y2Ba$,所以gydF4y2Ba $日志(^ 2)= \ \ log (b)gydF4y2Ba$,所以gydF4y2Ba $a ^ 2 =gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

包含指数的方程通常可以通过取对数来简化:gydF4y2Ba

解出gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$如果gydF4y2Ba

$\左(\frac{x}2 \右)^{\log_2(x)} = 8x。gydF4y2Ba$

---

取gydF4y2Ba $\ log_2gydF4y2Ba$双方的:gydF4y2Ba

${对齐}\ log_2 \ \开始离开(\左(\压裂{x} 2 \右)^ {\ log_2 (x)} \右)& = \ log_2 (8 x) \ \ \ log_2 (x) \ log_2 \离开(\压裂x2 \右)& = \ log_2 (x) + 3 \ \ \ log_2 (x) \大(\ log_2 (x) 1 \大)& = \ log_2 (x) + 3 \{对齐}结束gydF4y2Ba$

和替换gydF4y2Ba $Y = \log_2(x)gydF4y2Ba$把它变成gydF4y2Ba $y (y-1) = y + 3gydF4y2Ba$,或gydF4y2Ba $Y ^2-2y-3 = 0gydF4y2Ba$．所以gydF4y2Ba $Y = 3gydF4y2Ba$或gydF4y2Ba $Y = -1gydF4y2Ba$，这就导致gydF4y2Ba $X = 8gydF4y2Ba$或gydF4y2Ba $X = \frac 12gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

对数在某些实际情况下也可以使计算更容易。例如，带底的对数gydF4y2Ba $10gydF4y2Ba$给出一个数字的十进位数的信息。gydF4y2Ba

考虑到gydF4y2Ba

$\开始{对齐}\ log_ {10} (2) & = 0.3010299 \ ldots \ \ \ log_ {10} (3) & = 0.4771212 \ ldots \ \ \ log_ {10} (7) & = 0.8450980 \ ldots \{对齐}结束gydF4y2Ba$

哪个更大，gydF4y2Ba $12 ^ {50}gydF4y2Ba$或gydF4y2Ba $7 ^ {64}gydF4y2Ba$？这两个数有几个十进制数?gydF4y2Ba

---

计算gydF4y2Ba

${对齐}\ \开始log_{10} \大(2 ^ 3 ^{100}{50}\大)& = 100 \ log_ {10} (2) + 50 \ log_ {10} (3) \ \ & = 30.10299 \ ldots + 23.85656 \ ldots \ \ & = 53.9595 \ ldots \ \ \ \ \ log_{10} \大(7 ^{64}\大)& = 64 \ log_ {10} (7) \ \ & = 64 (0.8450980 \ ldots) \ \ & = 54.0862 \ ldots。结束\{对齐}gydF4y2Ba$

所以gydF4y2Ba $7 ^ {64}gydF4y2Ba$更大。的十进制位数gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $\lfloor \log_{10}(x) \rfloor +1gydF4y2Ba$,所以gydF4y2Ba $2 ^ 3 ^ {100} {50}gydF4y2Ba$有gydF4y2Ba $54gydF4y2Ba$数字和gydF4y2Ba $7 ^ {64}gydF4y2Ba$有gydF4y2Ba $55gydF4y2Ba$位数。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

注意，这比将数字相乘并直接进行比较要容易得多。对于需要较大数字的应用程序(例如gydF4y2BaRSA加密gydF4y2Ba)，这很重要。gydF4y2Ba