解决指数方程GydF4y2Ba

到GydF4y2Ba解决指数方程GydF4y2Ba，我们需要考虑GydF4y2Ba指导法则GydF4y2Ba。这些规则在解决这些方程式方面有很多帮助我们。GydF4y2Ba

在求解指数方程中，以下定理通常有用：GydF4y2Ba

如果GydF4y2Ba $一种GydF4y2Ba$是一个非零GydF4y2Ba持续的GydF4y2Ba和GydF4y2Ba $a ^ x = a ^ y，GydF4y2Ba$然后GydF4y2Ba $X = Y。\ _ \方GydF4y2Ba$

我们有GydF4y2Ba

$\begin{aligned} a^x&=a^y, a\neq 1 \\ \frac{a^x}{a^y} &= 1 \\ a^{x-y} &= 1 \\ x-y &= 0\\ x &= y.\ _\square \end{aligned}$

以下是如何解决指数方程式：GydF4y2Ba

1. 使用该等式GydF4y2Ba指导法则GydF4y2Ba和代数中的一些方便的定理。GydF4y2Ba
2. 使用上面的定理我们刚刚证明。GydF4y2Ba

解决GydF4y2Ba $\ displaystyle {\ frac {1} {5 ^ {x-1}} = 125}。GydF4y2Ba$

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使两侧的基座等于5给出GydF4y2Ba

$\ begin {对齐} \ frac {1} {5 ^ {x-1}}＆= 125 \\ 5 ^ { - （x-1）}＆= 5 ^ 3 \\ - （x-1）＆= 3\\ x＆= -2。\ _ \ square \结束{对齐}GydF4y2Ba$

解决GydF4y2Ba $4 ^ {x-3} = 0.125。GydF4y2Ba$

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将两侧的基部转换为2给出GydF4y2Ba

$\开始{对齐} 4 ^ {X-3}＆= 0.125 \\ 4 ^ {X-3}＆= \压裂{125} {1000} \\ 2 ^ {2X-6}＆= \压裂{1}{8} \\ 2 ^ {2X-6}＆= 2 ^ { - 3} \\ 2X-6 = -3 \\ X＆= \压裂{3} {2}。\ _ \ square \结束{对齐}GydF4y2Ba$

发现价值GydF4y2Ba $XGydF4y2Ba$什么时候GydF4y2Ba $4 ^ x = 16。GydF4y2Ba$

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我们有GydF4y2Ba $4 ^ x = 16 \ lightarrow 4 ^ x = 4 ^ 2。GydF4y2Ba$那么定理“如果GydF4y2Ba $一种GydF4y2Ba$是一个非零GydF4y2Ba持续的GydF4y2Ba和GydF4y2Ba $a ^ x = a ^ y，GydF4y2Ba$然后GydF4y2Ba $x = Y.GydF4y2Ba$“给予GydF4y2Ba $X = 2 \ _ \方GydF4y2Ba$

如果GydF4y2Ba $8 ^ x = 2GydF4y2Ba$， 什么是GydF4y2Ba $XGydF4y2Ba$还是GydF4y2Ba

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我们有GydF4y2Ba

$\ BEGIN {对齐} 8 ^ X＆= 2 \\ \大（2 ^ 3 \大）^ {X}＆= 2 \\ 2 ^ {3×}＆= 2 ^ {1}。\结束{对齐}GydF4y2Ba$

等同于权力，我们得到GydF4y2Ba

$\ begin {对齐} 3x＆= 1 \\ x＆= dfrac {1} {3}。\ _ \ square \ END {对齐}GydF4y2Ba$

如果GydF4y2Ba $6 ^ x - 1 = 0，GydF4y2Ba$什么是GydF4y2Ba $X？GydF4y2Ba$

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我们有GydF4y2Ba

$\ begin {对齐} 6 ^ x-1＆= 0 \\ 6 ^ x＆= 1 \\ 6 ^ x＆= 6 ^ 0 \\ x＆= 0. \ _ \ square \ end {对齐}GydF4y2Ba$

如果GydF4y2Ba $（8）（9 ^ x）= 9 ^ x，GydF4y2Ba$什么是GydF4y2Ba $X？GydF4y2Ba$

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我们有GydF4y2Ba

$\ begin {对齐}（8）（9 ^ x）＆= 9 ^ x \\（8）（9 ^ x） - 9 ^ x＆= 0 \\（7）9 ^ x＆= 0 \\ 9 ^x＆= 0. \结束{对齐}GydF4y2Ba$

那么定理“如果GydF4y2Ba $一个\ neq 0GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $一个^ x = 0时，GydF4y2Ba$然后GydF4y2Ba $x = \ phiGydF4y2Ba$“给予GydF4y2Ba $x = \ phi。\ _ \ squareGydF4y2Ba$

如果基础是不同的，则仍有用于解决这些指数方程的技术。如果基础是公共基础的权力，我们只需要将一个或两个基础转换为公共基础并使用“相同的基础”案例进行。GydF4y2Ba

解决GydF4y2Ba $4 ^ {3x} = 8 ^ {x-1}。GydF4y2Ba$

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我们看到，虽然4和8是不同的基础，但它们都是共同基础的权力，即2.我们将在其共同基础方面重写4和8：GydF4y2Ba

$\ BEGIN {对齐} 4 ^ {3×}＆= 8 ^ {X-1} \\ \大（2 ^ 2 \大）^ {3×}＆= \大（2 ^ 3 \大）^ {X-1} \\ 2 ^ {6×}＆= 2 ^ {3X-3} \\ 6X＆= 3X-3 \\ X＆= -1。\ _ \ square \结束{对齐}GydF4y2Ba$

求解GydF4y2Ba $X：GydF4y2Ba$ $\ dfrac {8 ^ {4x - \ sqrt {x}}} {{16} ^ {2x + \ sqrt {x}}}} = 2 ^ {2 \ sqrt {x}}GydF4y2Ba$

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我们有GydF4y2Ba

$\ BEGIN {对齐} \ {dfrac 8 ^ {4倍 - \ SQRT {X}}} {{16} ^ {2×+ \ SQRT {X}}}＆= 2 ^ {2 \ SQRT {X}} \\ \\ \ dfrac {{\大（2 ^ 3 \大）} ^ {4倍 - \ SQRT {X}}} {{{\大（2 ^ 4 \大）}} ^ {2×+ \ SQRT {X}}}＆= 2 ^ {2 \ SQRT {X}} \\ \ dfrac {2 ^ {12倍 - 3 \ SQRT {X}}} {2 ^ {8×+ 4 \ SQRT {X}}}＆= 2^ {2 \ SQRT {X}} \\ 2 ^ {12倍 - 3 \ SQRT {X} - 8倍速 - 4 \ SQRT {X}}＆= 2 ^ {2 \ SQRT {X}} \\2 ^ {4倍 - 7 \ SQRT {X}}＆= 2 ^ {2 \ SQRT {X}}。\结束{对齐}GydF4y2Ba$

等同于权力给予GydF4y2Ba

$\开始{对齐} 4X - 7 \ SQRT {X}＆= 2 \ SQRT {X} \\ 4X＆= 9 \ SQRT {X} \\？\ SQRT {X}＆= \ dfrac {9} {4} \\ X＆= \ dfrac {81} {16}。\ _ \平方\ {端对齐}GydF4y2Ba$

解决GydF4y2Ba $\ FRAC {27 ^ {3x-2}} {243}} {243} = 81 ^ {3x-6}。GydF4y2Ba$

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减少两侧的27,81和243的碱基至3个产量GydF4y2Ba

$\ BEGIN {对齐} \压裂{27 ^ {3×-2}} {243}＆= 81 ^ {3倍6} \\ \压裂{3 ^ {9X-6}} {3 ^ 5}＆= 3 ^{12X-24} \\ 3 ^ {9X-6-5}＆= 3 ^ {12X-24} \\ 3 ^ {9X-11}＆= 3 ^ {12X-24} \\ 9X-11 =12X-24 \\ 3X＆= 13 \\ X＆= \压裂{13} {3}。\ _ \ square \结束{对齐}GydF4y2Ba$

不幸的是，在上面的示例中，我们并不总是可以转换为公共基础。GydF4y2Ba

例如，在解决方面GydF4y2Ba $5 ^ {X} = 3 ^ {X + 2}GydF4y2Ba$，我们注意到5和3不是一个很好的共同基础的力量。在这种情况下，我们需要利用Logarithms。GydF4y2Ba

解决GydF4y2Ba $5 ^ {x} = 3 ^ {x + 2}。GydF4y2Ba$

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我们有GydF4y2Ba

$\ begin {对齐} 5 ^ {x}＆= 3 ^ {x + 2} \\ \ log_ {10}（5 ^ {x}）＆= \ log_ {10} \ big（3 ^ {x + 2}\ big）\\ x \ log_ {10} 5＆=（x + 2）\ log_ {10} 3 \\ x \ log_ {10} 5＆= x \ log_ {10} 3 + 2 \ log_ {10}3.\\ x\log_{10}5 - x\log_{10}3 &= 2\log_{10}3 \\ x\big(\log_{10}5 - \log_{10}3\big) &= 2\log_{10}3. \end{aligned}$

所以，GydF4y2Ba

$X = \压裂{2 \ LOG_ {10} 3} {\ LOG_ {10} 5 - \ LOG_ {10} 3}。\约4.3013 \ _ \方GydF4y2Ba$

给予GydF4y2Ba $1728 = 2 ^ a.3 ^ bGydF4y2Ba$，找到正整数GydF4y2Ba $一种GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $B.GydF4y2Ba$。GydF4y2Ba

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我们有GydF4y2Ba

$\ begin {对齐} 1728＆= {12} ^ {3} \\＆= {（4×3）} ^ {3} \\＆= 4 ^ 3×3 ^ 3 \\＆= {（2 ^ 2）}^3 × 3^3\\ & = 2^6 × 3^3\\ \Rightarrow a & = 6, \ b = 3.\ _\square \end{aligned}$

解决GydF4y2Ba $3 ^ {x ^ 2} = 3 ^ {x}。GydF4y2Ba$

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由于等式的两侧具有相同的基础，因此他们的指数也必须是相同的：GydF4y2Ba

$\ begin {对齐} 3 ^ {x ^ 2}＆= 3 ^ {x} \\ x ^ 2＆= x \\ x ^ 2-x＆= 0 \\ x（x-1）＆= 0 \\ \RightRarrow x＆= 0,1。\ _ \ square \结束{对齐}GydF4y2Ba$

如果GydF4y2Ba $2 ^ x \ cdot 3 ^ y \ cdot 5 ^ z = 45，GydF4y2Ba$什么是价值GydF4y2Ba $X + Y + Z？GydF4y2Ba$

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遵守这一点GydF4y2Ba $45.GydF4y2Ba$可以修改如下：GydF4y2Ba

$45 = 3 ^ 2 \ cdot5 = 2 ^ 0 \ cdot3 ^ 2 \ cdot5 ^ 1。GydF4y2Ba$

然后GydF4y2Ba $x = 0，y = 2，z = 1，GydF4y2Ba$这使GydF4y2Ba $x + y + z = 0 + 2 + 1 = 3。GydF4y2Ba$ $_\正方形GydF4y2Ba$

如果GydF4y2Ba $x ^ x \ cdot y ^ y = 108，GydF4y2Ba$什么是价值GydF4y2Ba $x + y？GydF4y2Ba$

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$108.GydF4y2Ba$可以修改如下：GydF4y2Ba

$108 = 2 ^ 2 \ cdot 3 ^ 3。GydF4y2Ba$

这意味着它也是如此GydF4y2Ba $X = 2，Y = 3GydF4y2Ba$或者GydF4y2Ba $x = 3，y = 2。GydF4y2Ba$因此答案是GydF4y2Ba $x + y = 2 + 3 = 5。\ _ \正方形GydF4y2Ba$

如果GydF4y2Ba $\ frac {2 ^ 5} {2 ^ 3} \ cdot 3 ^ 0 \ cdot 3 ^ 1 \ cdot 3 ^ 2 = 2 ^ x \ cdot 3 ^ y，GydF4y2Ba$什么是价值GydF4y2Ba $x + y？GydF4y2Ba$

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$\ frac {2 ^ 5} {2 ^ 3}GydF4y2Ba$可以重写为GydF4y2Ba

$\ FRAC {2 ^ 5} {2 ^ 3} = {2} ^ {5-3} = 2 ^ 2。QQuad（1）GydF4y2Ba$

$3 ^ 0 \ cdot 3 ^ 1 \ cdot 3 ^ 2GydF4y2Ba$可以重写为GydF4y2Ba

$3 ^ 0 \ cdot 3 ^ 1 \ cdot 3 ^ 2 = 3 ^ {0 + 1 + 2} = 3 ^ 3。QQuad（2）GydF4y2Ba$

从GydF4y2Ba $（1）GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $（2），GydF4y2Ba$ $XGydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $yGydF4y2Ba$是GydF4y2Ba

$\ begin {对齐} \ frac {2 ^ 5} {2 ^ 3} \ cdot 3 ^ 0 \ cdot 3 ^ 1 \ cdot 3 ^ 2＆= 2 ^ 2 \ cdot 3 ^ 3 \\＆= 2 ^ x \CDOT 3 ^ y \\ \ lightarrow x＆= 2，\ y = 3。\结束{对齐}GydF4y2Ba$

因此，GydF4y2Ba $x + y = 2 + 3 = 5. \ _ \ squareGydF4y2Ba$

一个GydF4y2Ba指数方程式GydF4y2Ba是一个在指数中发生的变量。如果等式的两侧具有相同的基础，则两侧的指数也是如此：GydF4y2Ba

$a ^ x = a ^ y \意味着x = y。GydF4y2Ba$

以下是一些关于指数函数的规则的列表：GydF4y2Ba

$\四（1）~~一个^ M \次^ N = A ^ {M + N}GydF4y2Ba$
$\四（2）~~一个^ M \ DIV一个^ N = A ^ {M-N}GydF4y2Ba$
$\四（3）~~（a ^ m）^ n = a ^ {mn}GydF4y2Ba$
$\四（4）~~（ab）^ n = a ^ {n} b ^ {n}GydF4y2Ba$
$\四（5）~~ a ^ 0 = B ^ 0GydF4y2Ba$
$\四（6）~~ 1 ^ m = 1 ^ n，GydF4y2Ba$

在哪里GydF4y2Ba $一个\ neq0.GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $b \ neq0。GydF4y2Ba$总是谨慎GydF4y2Ba $（5）GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $（6）GydF4y2Ba$;永远不要忘记在指数工作中插入零，或者是否有等于1的基部。GydF4y2Ba