正弦和余弦图gydF4y2Ba
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如果你画一个半径为1的圆,有一条射线从原点延伸并与圆相交,这样射线就形成了一个角gydF4y2Ba 与gydF4y2Ba ,我们可以说圆与射线的交点是gydF4y2Ba .我们可以定义gydF4y2Ba 随着gydF4y2Ba 坐标和的值gydF4y2Ba 随着gydF4y2Ba 坐标的值。既然我们已经定义了gydF4y2Ba基本的三角函数gydF4y2Ba,我们将通过研究这些函数的图来考虑它们的性质。gydF4y2Ba
正弦和余弦图gydF4y2Ba
在正弦函数的图像中gydF4y2Ba -axis表示的值gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba -axis表示的值gydF4y2Ba .例如,gydF4y2Ba 暗示这一点gydF4y2Ba 是正弦曲线上的一个点。如果我们画出很多角度的正弦函数值gydF4y2Ba ,我们看到这些点形成一条曲线,叫做gydF4y2Ba正弦曲线gydF4y2Ba:gydF4y2Ba
类似地,绘制大量角的余弦函数的值形成一条曲线,叫做gydF4y2Ba余弦曲线gydF4y2Ba:gydF4y2Ba
我们可以将这些图与单位圆上余弦和正弦的定义的关系形象化如下:gydF4y2Ba
图之间有多少交点gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba 在这一期间gydF4y2Ba ?gydF4y2Ba
由正弦和余弦图可知,在给定范围内交点的个数为gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
属性gydF4y2Ba
正弦和余弦图都有范围gydF4y2Ba 重复每一个值gydF4y2Ba (称为gydF4y2Ba振幅和周期gydF4y2Ba).然而,这些图表在其他方面有所不同,比如增加和减少的间隔。下面概述了每个图形的属性:gydF4y2Ba
正弦函数的性质:gydF4y2Ba
- 拦截:gydF4y2Ba
- 拦截:gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba 这里是整数吗gydF4y2Ba
- 增加在时间间隔gydF4y2Ba
- 减少在时间间隔gydF4y2Ba
- 对称:函数对原点是对称的。gydF4y2Ba
- 最大的gydF4y2Ba 实现对gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
余弦函数的性质:gydF4y2Ba
- 拦截:1gydF4y2Ba
- 拦截:gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba 这里是整数吗gydF4y2Ba
- 增加在时间间隔gydF4y2Ba
- 减少在时间间隔gydF4y2Ba
- 对称:函数是关于对称的gydF4y2Ba 设在。gydF4y2Ba
- 最大的gydF4y2Ba 实现对gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
找到所有的gydF4y2Ba 拦截了gydF4y2Ba 在这一期间gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
当曲线gydF4y2Ba 相交的gydF4y2Ba 设在,gydF4y2Ba .所以gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
自gydF4y2Ba 余弦函数的周期是gydF4y2Ba ,我们有gydF4y2Ba 哪三个gydF4y2Ba -我们要找的东西。gydF4y2Ba
两条曲线交点的个数是多少gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba 在这一期间gydF4y2Ba ?gydF4y2Ba
因为两个gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba 我们首先要找出这两条曲线之间是否有共同的交集。gydF4y2Ba
自gydF4y2Ba ,范围gydF4y2Ba 是gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
同样,自gydF4y2Ba ,范围gydF4y2Ba 是gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
因为gydF4y2Ba 是严格肯定的gydF4y2Ba 是负的,这两条曲线之间没有交点。具体来说,这些曲线在区间内没有交点gydF4y2Ba
正弦和余弦图之间的关系gydF4y2Ba
正弦曲线的形状和余弦曲线的形状是一样的。实际上,正弦的图像可以通过平移余弦的图像得到gydF4y2Ba 正方向上的单位gydF4y2Ba 设在(gydF4y2Ba 是一个整数)。同时,余弦函数的图像可以通过平移正弦函数的图像得到gydF4y2Ba 负方向上的单位gydF4y2Ba 设在。换句话说:gydF4y2Ba
简化gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
因为函数gydF4y2Ba 有一段时间gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 有一段时间gydF4y2Ba ,所以gydF4y2Ba
或者,我们认为这是gydF4y2Ba 与gydF4y2Ba .因此,它等于gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
简化gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
有几种使用方法:gydF4y2Ba
使用上面列出的属性,我们有gydF4y2Ba
画出这个图,并与我们已知的相比较。gydF4y2Ba
通过作图,我们可以直观地看到它等于gydF4y2Ba .gydF4y2Ba扩大使用gydF4y2Ba余弦和和差分公式gydF4y2Ba,这给了我们gydF4y2Ba
拉伸和移动gydF4y2Ba
有关完整信息,请参见gydF4y2Ba图形变换gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
我们可以通过添加以下常数来处理基本三角图:gydF4y2Ba
让我们考虑一下这些常量是如何改变图表的:gydF4y2Ba
- 价值gydF4y2Ba 垂直拉伸图形。gydF4y2Ba
- 价值gydF4y2Ba 水平收缩图形gydF4y2Ba
- 价值gydF4y2Ba 将图形水平平移gydF4y2Ba
- 价值gydF4y2Ba 垂直转换图表。gydF4y2Ba
求函数的振幅、周期、水平位移和垂直位移gydF4y2Ba
我们要求的是gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba 当我们把它和gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
这很容易看出来gydF4y2Ba .对这些值的解释如下:gydF4y2Ba
- 这个函数的周期gydF4y2Ba 是gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
- 振幅等于这个三角函数的标量倍数的最大绝对值。在这种情况下,它是gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
- 自gydF4y2Ba ,函数水平位移为gydF4y2Ba 单位向右。gydF4y2Ba
- 同样,自gydF4y2Ba 时,函数垂直移位为gydF4y2Ba 单位向上。gydF4y2Ba
给定的函数gydF4y2Ba 为常量gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba 的最大和最小可能值是什么gydF4y2Ba
自gydF4y2Ba ,这就引出了gydF4y2Ba .因此,最大可能值为gydF4y2Ba 最小的可能值是gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
解决问题gydF4y2Ba
弹簧的位置作为时间的函数用形式方程表示gydF4y2Ba .如果弹簧从静止点上方3个单位开始,反弹到静止点下方3个单位,然后在总共2秒内反弹到静止点上方3个单位,找到一个表示这个运动的方程。gydF4y2Ba
根据上下文“弹簧在其静止点上方3个单位处开始”,我们可以把它解释为gydF4y2Ba ,这意味着gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
从上下文“然后回到静止点以上3个单位,总共2秒”,我们可以把它解释为基本周期gydF4y2Ba 是gydF4y2Ba .所以gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
因此,表示这种运动的方程是gydF4y2Ba